胡 純，韓明哲，鄭德智,3，彭 鵬

(1.北京航空航天大學 電子信息工程學院，北京 100191；2.北京航空航天大學 儀器科學與光電工程學院，北京 100191；3.北京航空航天大學 前沿科學技術創(chuàng)新研究院，北京 100191；4.重慶德新機器人檢測中心有限公司，重慶 400700)

流量測量、壓力測量與溫度測量被稱為工業(yè)測量領域的三大參數(shù)測量，其中以流量測量最為復雜、精度要求最高，其測量的經(jīng)濟性、安全性、可靠性對生產(chǎn)過程有著重要影響，在工業(yè)中具有重要地位[1]。流量傳感器分為體積流量傳感器與質(zhì)量流量傳感器。體積流量會受到壓力、溫度、黏度與密度等因素的影響，并且標定過程煩瑣；質(zhì)量流量則不受上述因素的影響，并且適用于氣液兩相流，因此日益得到人們的青睞[2]。

目前針對靈敏度的理論較為成熟，對測量管振動模型、集中質(zhì)量的影響、最佳檢測位置等的研究較為充分，針對U型管和直管都進行了較多研究。文軍浩等[3]關注了科氏質(zhì)量流量傳感器中的非線性因素，并研究了其對U型管質(zhì)量流量傳感器的影響。樊剛等[4]就溫度對科氏質(zhì)量流量傳感器進行了分析，并建立了流量傳感器溫度補償模型，對溫度補償進行了仿真。曹勝強等[5]將污垢按集中質(zhì)量處理，通過微分方程和ANSYS仿真的方法分析了污垢對單直管科氏質(zhì)量流量傳感器靈敏度的影響。部分科氏質(zhì)量傳感器采用了在測量管兩端安裝波紋管的結構，波紋管剛度遠小于鋼管，因此此類測量管狀態(tài)與一般測量管不同，徐偉國等[6]和紀彩虹等[7]分別就兩段波紋管和三段波紋管的直管科氏質(zhì)量流量傳感器進行了靈敏度計算，但尚沒有用于科氏質(zhì)量流量傳感器靈敏度分析的軟件。為彌補此空缺，本文設計了一款具有靈敏度分析、頻率計算、最佳檢測位置分析等功能的軟件，為科氏質(zhì)量流量傳感器的設計與開發(fā)提供便利。

首先從科氏質(zhì)量流量傳感器的數(shù)學模型入手，對科氏質(zhì)量流量傳感器進行了分析，建立了測量管的歐拉梁靜力模型，并分別計算了測量管在激振力與科氏力作用下的撓度曲線；建立了測量管的微分方程模型，并通過求解其振動微分方程，計算出了測量管在激振力下的諧振頻率和科氏質(zhì)量流量傳感器的靈敏度；接下來分析了測量管的壓力損失，給出了在層流和湍流下的壓損計算公式；研究了溫度對科氏質(zhì)量流量傳感器的影響，對當前測量管的常用材料進行了調(diào)研，采用線性模型估計了溫度對彈性模量的影響，并用以對分析結果進行補償。

在理論分析的基礎上，通過Matlab軟件的APP Designer模塊制作了直管科氏質(zhì)量流量傳感器的分析軟件，實現(xiàn)了計算靈敏度、頻率、壓損等數(shù)據(jù)的功能；并使用ANSYS Workbench進行有限元分析；對其進行了靜態(tài)結構分析，分別得到其在激振力和科氏力作用下的靜撓度曲線，由此計算出傳感器的最佳安裝位置；進行了瞬態(tài)動力學分析，計算測量管在激振力作用下的振動；進行了模態(tài)分析得到其各階模態(tài)及諧振頻率，并分析了溫度對諧振頻率的影響；最后通過諧響應分析得到測量管位移振幅曲線。有限元仿真的結果被用于驗證模型與所設計軟件的計算結果，以確保所設計軟件的正確。

1 直管型科氏質(zhì)量流量傳感器的數(shù)學模型

為設計靈敏度分析軟件，首先要建立科氏質(zhì)量流量傳感器的數(shù)學模型。為此分別采用了靜力學和微分方程的方法進行分析，得到了靈敏度等傳感器指標的計算公式，為GUI軟件的設計提供支持。

1.1 直管型科氏質(zhì)量流量傳感器的靜力學模型

在科氏質(zhì)量流量傳感器工作時，其激振力頻率應當接近測量管的固有頻率，此時為簡便分析過程，可以將測量管在恒定激振力下的靜撓度曲線近似為測量管撓度曲線進行分析[8]。直管型測量管的雙端固定且長細比大，符合雙端固支梁模型，可視為雙端固支梁進行計算。

雙端固支梁為超靜定結構，為對其進行分析，需要解除多余的約束條件并采用等效的作用力和力矩建模。將激振力F=Ffsin(ωt+φ)視為恒定的力F，設測量管兩端約束力與約束力矩分別為Fa,Fb,Ma,Mb，由于測量管結構對稱，因此有

(1)

Ma=Mb

(2)

為計算兩固支端的約束力矩，考慮其兩端和中心的轉(zhuǎn)角。由于兩端是固支端，其3個自由度都受到約束，其轉(zhuǎn)角和撓度均為0；又由于雙端固支梁為對稱結構，故在作用于中點的激振力作用下，梁的形變同樣具有對稱性。因此梁的中點轉(zhuǎn)角也為0。

通過材料力學的方法分析梁的彎曲變形，通常借助梁的撓曲線近似微分方程：

(3)

對于集中力P作用下的測量管，其彎矩為

(4)

使用積分法求解梁的中點轉(zhuǎn)角，將式(3)從梁的端點到中點積分，得

(5)

(6)

因此，結合式(3)～式(6)，得到在激振力F作用下梁的撓度微分方程：

(7)

對其進行積分得到梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程：

(8)

(9)

激振力F作用下梁的靜撓度曲線如圖1所示。

圖1 激振力F作用下梁的靜撓度曲線

圖1中對橫坐標x和撓度y都做了去量綱處理。

在工作過程中，測量管所受科氏力載荷為

dFk=2Qω(x)dx

(10)

式中，w(x)為角速度，即角度對時間的微分：

(11)

為對測量管上的科氏力載荷進行分析，考慮在測量管上橫坐標a處施加集中力dFk的情況。可以使用與分析激振力時相同的方法，將其視為恒定的力，解除其一邊約束，并加以等效的約束力F′(a)和約束力矩M′(a)進行求解。再將求解出的撓度曲線關于dFk進行積分，得到科里奧利力載荷作用下的撓度曲線。經(jīng)計算，前半段梁的撓度為

5.64×10-4x3L3+1.95×10-4x2L4)

(12)

后半段梁的撓度可由前半段關于中點對稱得到。其撓度曲線如圖2所示。

圖2 科里奧利力載荷作用下梁的靜撓度曲線

分析式(12)，可以得到在x=0.287L處，梁的撓度取得最大值。因此，最佳檢測位置在0.287L處和0.713L處。

1.2 直管型科氏質(zhì)量流量傳感器的微分方程模型

對于等截面歐拉梁振動力學中已有成熟的理論，根據(jù)達朗貝爾原理可以列出其動力學方程：

(13)

式中，X,Y分別為測量管橫縱坐標；T為時間；V為待測流體流速；E為測量管的彈性模量；I為測量管的截面慣性矩；m1,m2,m3分別為科氏質(zhì)量流量傳感器的檢測器和激振器質(zhì)量，其中m1,m3為檢測器，m2為激振器，兩檢測器質(zhì)量相等，安裝在關于中點對稱的位置上；mp,mf分別為測量管線密度和待測流體的線密度。

為計算諧振頻率，需要對該微分方程進行求解。首先為方便分析，將其變形為無量綱形式：

(14)

式中，x,y,t,σk,v,β分別為無量綱的橫坐標、縱坐標、時間、集中質(zhì)量、流速、流體密度。

記測量管震動角頻率為Ω，測量管無量綱振動角頻率為ω：

對于此類微分方程，已經(jīng)有成熟的求解理論，其解為[9]

y(x,t)=RΦ(x)eiωt

(15)

式中，R為常系數(shù)；Φ(x)為振型函數(shù)；i為單位虛數(shù)。對測量管的振型函數(shù)，可以各階振型函數(shù)構成的無窮級數(shù)來表述：

(16)

其振型函數(shù)為[10]

φr(x)=cosh(krx)-cos(krx)-λr(sinh(krx)-sin(krx))

(17)

本文關注的是梁在激振力作用下的振動和在科里奧利力作用下的振動，分別對應一階和二階振型，振型曲線如圖3與圖4所示，其參數(shù)k和λ分別為：k1=4.730,k2=7.853,λ1=0.9825,λ2=1.001。

圖3 一階振型函數(shù)曲線

圖4 二階振型函數(shù)曲線

注意到微分方程解的一、二階振型函數(shù)，與前文所推導的測量管在激振力與科氏力作用下的撓度方程具有相同的物理意義，由于在分析過程中采用了不同的方法去量綱以簡化分析，因此二者應當具有線性關系。在此采用了相關系數(shù)的方法進行驗證。

首先對計算出的函數(shù)進行采樣，將其離散化。采樣間隔設為0.001，取1000個采樣點，然后分別計算一階振型與激振力撓度、二階振型與科氏力撓度的皮爾遜相關系數(shù)，分別為r1=0.999052,r2=0.999849，這說明二者高度相關，驗證了上述分析結果。二階振型函數(shù)在x=0.290處取得最大值，與2.1節(jié)中分析得到的最大值位置0.287相接近。歸一化后的對比圖如圖5、圖6所示。

圖5 一階振型與激振力撓度對比圖

圖6 二階振型與科氏力撓度對比圖

由圖5和圖6可以看出，兩種計算方法所得到的振型與撓度曲線高度相似，此結果對上述分析的正確性提供了支持。

使用伽遼金法求解微分方程(14)，并取其前2階振型作為該微分方程的近似解，解得：

(18)

(19)

在科氏質(zhì)量流量傳感器工作時，測量管同時存在激振力引起的振動和科氏力引起的振動，這使得測量點存在振動的相位差。因為科氏質(zhì)量流量傳感器通過測量此相位差以得到待測流體的質(zhì)量流量，所以將科氏質(zhì)量流量傳感器的靈敏度定義為單位流量的相位差，即：

(20)

由式(19),可以得到測量管的振動函數(shù)：

(21)

其相位差Δφ為

(22)

進一步計算出科氏質(zhì)量流量傳感器的靈敏度K：

(23)

其中，

1.3 壓損計算

壓損按照產(chǎn)生的機理可以分為沿程壓力損失和局部壓力損失。對于直管型測量管，不存在閥口、彎管等通流截面變化或流動方向改變的結構，因此局部壓力損失可以忽略不計。

圓管層流是流體運動中較為簡單的一種情況，也是能夠得出流速分布及壓力損失解析解的為數(shù)不多的情況之一。經(jīng)計算，在層流中沿程壓力損失系數(shù)為[11]

(24)

湍流運動的情況較為復雜，沿程壓力損失系數(shù)的計算往往依賴經(jīng)驗公式或半經(jīng)驗公式。1913年德國水力學家布拉修斯(Blasius)提出了計算湍流沿程壓力損失系數(shù)的經(jīng)驗公式:

(25)

布拉修斯公式適用于Re<105的紊流光滑區(qū)，計算簡單方便，且具有較高精度。

沿程壓力損失的理論計算公式為

(26)

式中，l為測量管長度；ρ為測量管密度；v為流體流速，且滿足

(27)

在層流和湍流下測量管的壓損計算公式為

(28)

式中，Q為流體質(zhì)量流量(kg/s)；η為流體動力黏度(Pa·s)；ρ為流體密度(kg/m3)。

1.4 溫度對科氏質(zhì)量流量傳感器的影響

科氏質(zhì)量流量傳感器在工業(yè)領域中的應用逐步廣泛，其所面臨的工作環(huán)境也多種多樣。因此，在各種環(huán)境下都能保持較高的精度已成為科氏質(zhì)量流量傳感器的迫切需要。為此，科氏質(zhì)量流量傳感器通常會設置溫度傳感器，測量被測介質(zhì)的溫度，通過溫度補償?shù)姆椒ǖ窒麥囟葞淼挠绊?，以保證測量數(shù)據(jù)的精度。

科氏質(zhì)量流量傳感器最常用的材料是316L不銹鋼，除此之外哈氏合金c-22也被用于科氏質(zhì)量流量傳感器，在直管科氏質(zhì)量流量傳感器上，有時以硅合金作為測量管材料。筆者選取了最常見的這3種金屬作為備選材料，對其屬性進行了調(diào)研，結果如表1～表4所示。

表1 316L不銹鋼(Acerinox公司)屬性(自20 ℃起)

表2 哈氏合金c-22(Hastelloy公司)屬性(自20 ℃起)

表3 鈦合金Ti 6Al-4V(NeoNickel公司)屬性(自20 ℃起)

表4 常見材料密度

上述各材料的平均線膨脹系數(shù)都在10-5量級，因此在本研究中，可以忽略溫度對密度和測量管結構參數(shù)的影響，溫度的影響主要體現(xiàn)在彈性模量上。對溫度與彈性模量進行線性回歸分析，其結果如圖7～圖9所示。

圖8 哈氏合金c-22彈性模量與溫度的線性回歸模型

圖9 鈦合金Ti 6Al-4V彈性模量與溫度的線性回歸模型

上述回歸分析相關系數(shù)R2均大于0.997，下面使用F檢驗法進行回歸方程顯著性檢驗。

相關系數(shù)R2與統(tǒng)計量F有如下關系：

(29)

由式(29)計算得，上述回歸分析統(tǒng)計量F分別為

F1=5795.89，F(xiàn)2=4340.53，F(xiàn)3=2896.18

對于316L不銹鋼、哈氏合金c-22和鈦合金Ti 6Al-4V的數(shù)據(jù)，其樣本容量分別為n=6,5,4。對F檢驗進行查表，得

F0.01(1,4)=21.20

F0.01(1,3)=34.12

F0.01(1,2)=98.49

因此上述回歸均在0.01的水平上高度顯著，故接受回歸分析的結果，并在靈敏度計算中采用上述模型進行彈性模量的計算。在軟件設計中還加入了自定義材料的功能，支持直接輸入材料的彈性模量和密度，以適應使用其他材料或用戶具有準確的材料屬性的情況。

2 GUI軟件設計

本GUI軟件基于Matlab的APP designer進行設計，由參數(shù)設置、材料屬性設置、集中質(zhì)量設置、最佳檢測位置分析、指定位置靈敏度分析、壓損分析和曲線繪制7個面板構成，根據(jù)以上各節(jié)所推導計算的公式，完成了研究目標中所提出的靈敏度分析、諧振頻率分析、壓損分析等目標，實現(xiàn)了輸入測量管結構參數(shù)、材料屬性參數(shù)、傳感器集中質(zhì)量等數(shù)據(jù)，進行分析計算最佳檢測位置、靈敏度、頻率、壓損等數(shù)據(jù)的功能，并繪制相關曲線圖。軟件還具有根據(jù)溫度對材料屬性進行補償?shù)墓δ堋ＴO計的GUI軟件功能架構圖如圖10所示，GUI軟件界面如圖11所示。

圖10 軟件功能架構圖

圖11 GUI軟件界面

Matlab的APP Designer提供了豐富而強大的回調(diào)函數(shù)，極大地便利了軟件的設計。本軟件充分利用了APP Designer的回調(diào)函數(shù)，基本上全部功能都通過回調(diào)函數(shù)實現(xiàn)。在程序運行的初期，先進行GUI界面的初始化，生成GUI界面、初始化數(shù)據(jù)并繪制表格和坐標軸；然后等待用戶對界面進行操作，根據(jù)用戶的操作執(zhí)行相對應的回調(diào)函數(shù)。程序流程如圖12所示。

3 科氏質(zhì)量流量傳感器的仿真分析

使用ANSYS Workbench對測量管進行了有限元仿真。首先建立了直管型測量管的模型，然后分別對其進行了靜態(tài)結構分析、瞬態(tài)動力學分析、模態(tài)分析和諧響應分析，以驗證理論計算結果。所使用的測量管結構為單圓直管，并忽略了集中質(zhì)量，其結構參數(shù)如表5所示。

表5 測量管結構尺寸

3.1 靜態(tài)結構分析

于測量管兩端施加固定約束，施加作用于測量管外表面上、作用位置為測量管中央的正上方、方向豎直向下的激振力F，以進行激振力作用下的靜撓度仿真；為計算科氏力作用下的撓度，采用了分段施加載荷的方式，將測量管分為20段，在每段下施加相應的科氏力載荷，以模擬實際的科氏力載荷分布。在網(wǎng)格劃分方面，采用了由ANSYS軟件智能劃分的自由網(wǎng)格。其仿真結果如圖13、圖14所示。

圖13 激振力作用下的靜態(tài)結構仿真

圖14 科氏力作用下的靜態(tài)結構仿真

通過將激振力作用下測量管的靜撓度曲線和以靜力學模型計算出撓度曲線、微分方程的振型函數(shù)進行對比，驗證了前文所進行分析的正確性。

3.2 模態(tài)分析和諧響應分析

同樣于兩端施加固定約束，無預應力輸入，取20 ℃常溫下的材料屬性，同樣采用自由網(wǎng)格劃分。激振力作用下的振動為一、二階模態(tài)，科氏力作用下的振動為三、四階模態(tài)，因此選取前六階模態(tài)進行模態(tài)分析。得到其前六階模態(tài)諧振頻率如表6所示。

表6 模態(tài)分析諧振頻率

直管型測量管結構關于其中軸線對稱，因此其一二階、三四階、五六階的諧振頻率相同，其振型函數(shù)在空間上正交，且在繞測量管中軸線旋轉(zhuǎn)90°后重合，可以看作是一個二自由度振動在空間上的分解。

上述仿真得到測量管的諧振頻率為131.53 Hz，運行所設計的GUI軟件，輸入表1所示的材料屬性數(shù)據(jù)和表5所示的結構尺寸參數(shù)，選擇測量管內(nèi)流體為空，將溫度設置為20 ℃，計算得到的諧振頻率為132.2 Hz，其相對誤差為+0.5094%。

施加在測量管外表面中央正上方，方向向下的簡諧激振力作為激勵，進行諧響應分析結果見圖15。

圖15 幅值響應

通過修改模態(tài)分析中的溫度條件，對軟件的溫度補償功能進行驗證。計算與仿真結果如表7所示。

表7 諧振頻率仿真驗證數(shù)據(jù)

上述兩組數(shù)據(jù)關于溫度的線性回歸分析都在0.01的水平上顯著，此結果支持了溫度對諧振頻率具有線性影響的結論，驗證了前文中進行的溫度對科氏質(zhì)量流量傳感器的影響的正確性。

4 結束語

設計了直管型科氏質(zhì)量流量傳感器的靈敏度分析軟件，通過理論分析得到的公式進行靈敏度、頻率、壓損的計算，并具有對溫度進行補償?shù)墓δ?。并使用ANSYS進行有限元仿真，對所設計軟件的計算結果進行了驗證，表明其具有較高的可靠性。