鄒文龍， 余 輝， 郭 佳， 石美雪

( 1. 深圳市燃?xì)饧瘓F(tuán)股份有限公司，廣州 深圳 518049； 2.中海石油(中國)有限公司 上海分公司，上海 200335 )

0 引言

煤層氣作為中國常規(guī)能源的重要補(bǔ)充，具有重要的開發(fā)意義[1-2]。煤層氣儲(chǔ)層具有低滲透率、低壓力及低飽和度的特征[3-4]，需要對其壓裂才能達(dá)到經(jīng)濟(jì)開采目的[5]，應(yīng)用較廣泛的為壓裂直井技術(shù)。同時(shí)，采用試井技術(shù)可以了解儲(chǔ)層物性參數(shù)及流體流動(dòng)特征[6]，在煤層氣開發(fā)中應(yīng)用廣泛[7]。對于煤層氣藏壓裂直井問題，ANBARCI K等[8]建立試井模型，研究擬穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散的影響；鄭利[9]研究煤層氣藏的線性流試井模型；曹海濤[10]研究煤層氣藏的對稱雙翼壓裂直井試井模型；ZHAO Y L等[11]考慮縫網(wǎng)建立煤層氣藏復(fù)合壓裂直井試井模型。

在進(jìn)行直井壓裂改造時(shí)，受地應(yīng)力影響，壓開的裂縫一般不是單條裂縫，而是沿井筒向周圍各個(gè)方向延伸的多翼裂縫，形成多翼壓裂直井[12]。LUO W J等[13]提出一種半解析方法，建立多翼壓裂直井試井模型，并在煤層氣試井中得到應(yīng)用。CHEN Z M等[14]研究煤層氣藏多翼壓裂直井試井模型，耦合應(yīng)力敏感特性的影響。ZHANG L H等[15]耦合壓裂改造區(qū)，建立復(fù)合煤層氣藏多翼壓裂直井試井模型。這些模型的建立基于煤層氣藏儲(chǔ)層中孔隙裂縫均勻分布，但實(shí)際孔隙裂縫復(fù)雜、無序[16]，傳統(tǒng)歐幾里得空間下的試井模型無法描述該特征。基于分形理論的分形幾何，由于其自相似性及標(biāo)度不變性，能較好描述儲(chǔ)層多孔介質(zhì)的復(fù)雜性、無序性，更接近實(shí)際[17]。目前，已有研究成果將分形理論應(yīng)用于煤層氣藏的試井模型[18]，但并沒有關(guān)于煤層氣藏有限導(dǎo)流能力多翼壓裂直井試井模型的應(yīng)用。

基于分形理論，筆者考慮煤層氣儲(chǔ)層復(fù)雜、無序的裂縫分布，耦合應(yīng)力敏感特性，建立分形煤層氣藏多翼壓裂直井試井模型，求解模型得到井底壓力動(dòng)態(tài)曲線。根據(jù)曲線特征劃分流動(dòng)階段，并進(jìn)行敏感性參數(shù)分析，為研究煤層氣藏提供一種參數(shù)反演方法。

1 物理模型

煤層氣藏多翼壓裂直井物理模型見圖1?；緟?shù)及假設(shè)條件：(1)在壓裂過程中形成以井筒為中心的M條人工裂縫，人工裂縫貫穿整個(gè)儲(chǔ)層，長為LF，滲透率為KF，寬度為WF，壓力降方向?yàn)閺闹翰康礁?，氣體先流入人工裂縫，再流入井筒；(2)氣井產(chǎn)量為qsc，儲(chǔ)層初始壓力為pi；(3)考慮儲(chǔ)層裂縫分布復(fù)雜、無序性，天然裂縫系統(tǒng)視為分形體，基質(zhì)中氣體向天然裂縫擬穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散；(4)忽略溫度變化、毛管力及重力，為單相氣體滲流。

圖1 煤層氣藏多翼壓裂直井物理模型Fig.1 Physical model for multi-wing fractured vertical well in the coalbed methane reservoir

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 模型建立

2.1.1 儲(chǔ)層線源模型

當(dāng)不考慮天然裂縫分形特征時(shí)，結(jié)合質(zhì)量守恒方程、運(yùn)動(dòng)方程及狀態(tài)方程，得到天然裂縫系統(tǒng)的滲流數(shù)學(xué)模型為

(1)

式中：r為徑向距離；Kf為天然裂縫系統(tǒng)滲透率；pf為天然裂縫系統(tǒng)壓力；μg為氣體黏度；Z為真實(shí)氣體偏差因子；φf為天然裂縫系統(tǒng)孔隙度；t為時(shí)間；q*為基質(zhì)系統(tǒng)向天然裂縫擴(kuò)散的氣體量。

天然裂縫系統(tǒng)擬壓力Ψf的表達(dá)式為

(2)

結(jié)合式(2)，對式(1)進(jìn)行線性化得

(3)

式中：Ctf為天然裂縫系統(tǒng)綜合壓縮系數(shù)。

考慮天然裂縫系統(tǒng)的分形特征，引入天然裂縫系統(tǒng)的滲透率kf和孔隙度φf表達(dá)式[19]：

(4)

式中：Kfr和φfr分別為參考長度為Lref的天然裂縫系統(tǒng)滲透率和孔隙度；dmf為分形維數(shù)，反映天然裂縫系統(tǒng)的無序性和各向異性；d為歐幾里得幾何空間維數(shù)，對于徑向系統(tǒng)，取值為2；θ為反常擴(kuò)散指數(shù)。

考慮天然裂縫的應(yīng)力敏感性，引入按照氣體擬壓力定義的應(yīng)力敏感因子κp[20]：

(5)

氣體由基質(zhì)向天然裂縫的擴(kuò)散量為

(6)

式中：ρgsc為煤層氣密度；Vm為基質(zhì)中煤層氣體積分?jǐn)?shù)。

將式(4-6)代入式，進(jìn)行無因次化，得到考慮分形特征的煤層氣藏天然裂縫系統(tǒng)滲流數(shù)學(xué)模型：

(7)

對于基質(zhì)向天然裂縫擴(kuò)散的氣體，采用Fick第一定律描述，其無因次形式為

(8)

無因次化的初始條件、外邊界條件及內(nèi)邊界條件分別為

ΨfD|t=0=0;

(9)

ΨfD|r→∞=0;

(10)

(11)

2.1.2 人工裂縫模型

描述第i條人工裂縫內(nèi)氣體流動(dòng)的滲流微分方程為

(12)

式中：pFi為第i條人工裂縫的壓力；ξ、χ為人工裂縫坐標(biāo)。

人工裂縫區(qū)域與儲(chǔ)層區(qū)域相比很小，可忽略人工裂縫壓縮性，對式(12)進(jìn)行線性無因次化，得到人工裂縫內(nèi)氣體滲流微分方程[9]為

(13)

邊界條件為

(14)

(15)

2.2 模型求解

2.2.1 儲(chǔ)層線源模型

考慮應(yīng)力敏感效應(yīng)的數(shù)學(xué)模型非線性較強(qiáng)，經(jīng)過Pedrosa變換[21]、攝動(dòng)變換[22]及Laplace變換[23]，得到天然裂縫系統(tǒng)和基質(zhì)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型：

(16)

式(16)為廣義貝塞爾方程，其解為

(17)

式中：

(18)

2.2.2 人工裂縫模型

應(yīng)用Pedrosa變換、攝動(dòng)變換及Laplace變換，得到拉式空間下的人工裂縫數(shù)學(xué)模型：

(19)

忽略人工裂縫寬度方向氣體的流動(dòng)，對式(19)進(jìn)行二重積分[9]得

(20)

假設(shè)與儲(chǔ)層交界面處人工裂縫內(nèi)壓力與儲(chǔ)層壓力相等，式(20)可寫為

(21)

式(21)表示井底壓力與人工裂縫上任意一點(diǎn)壓力響應(yīng)差，而儲(chǔ)層任意一點(diǎn)壓力響應(yīng)可由疊加原理得到，結(jié)合儲(chǔ)層線源模型的解，相互耦合，最終求得井底壓力。

3 井底壓力

采用數(shù)值離散方法[24]，將每條壓裂裂縫按逆時(shí)針方向進(jìn)行編號，最靠近x軸正方向的人工裂縫編號為1，依次排序，直到編號為M，且第i條人工裂縫與x軸正方向的夾角為θi(見圖2)。將每條人工裂縫離散成N個(gè)微元段，每個(gè)微元段的長度可由人工裂縫長度計(jì)算得到，第i條人工裂縫的第j個(gè)微元段的中點(diǎn)坐標(biāo)可以表示為

圖2 煤層氣藏多翼裂縫編號示意Fig.2 Schematic of numbering for multi-wing fracture of coalbed methane reservoir

(22)

式中：LFi為第i條人工裂縫長度；ΔLFi,j為第i條人工裂縫的第j個(gè)微元段長度。

根據(jù)疊加原理，儲(chǔ)層任意一點(diǎn)的壓力響應(yīng)由所有微元段在該點(diǎn)形成的壓力響應(yīng)疊加而得：

(23)

由徑向坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系，式(23)可以寫為關(guān)于直角坐標(biāo)的積分：

(24)

對于人工裂縫上任意一點(diǎn)可以取微元段的中點(diǎn)，則

(25)

對于第a條人工裂縫的第b個(gè)微元段，化簡式(25)可得

(26)

取所有微元段中點(diǎn)，根據(jù)式(26)得到M×N個(gè)線性方程組，但未知數(shù)有M×N+M+1個(gè)，由流量關(guān)系可以得到另外兩個(gè)限制條件。

每條人工裂縫的微元段產(chǎn)量和等于該條人工裂縫的產(chǎn)量：

(27)

所有人工裂縫的產(chǎn)量和等于生產(chǎn)井的產(chǎn)量：

(28)

從而構(gòu)成M×N+M+1維線性方程組：

AX=B,

(29)

式中：A、B為方程組系數(shù)矩陣。

求解式(29)得到拉式空間下井底壓力，進(jìn)而得到真實(shí)空間下的井底壓力和產(chǎn)量。根據(jù)杜哈美疊加原理[25]，得到考慮井筒儲(chǔ)集效應(yīng)和表皮效應(yīng)的井底壓力為

(30)

式中：S為量綱一的表皮因數(shù)；CD為量剛一的井筒儲(chǔ)集系數(shù)。

對拉式空間下的井底壓力解進(jìn)行Stehfest數(shù)值反演[26]，得到真實(shí)空間下的井底壓力解。

4 模擬結(jié)果

4.1 典型曲線特征

繪制分形煤層氣藏有限導(dǎo)流多翼壓裂直井壓力動(dòng)態(tài)曲線(見圖3)。根據(jù)壓力導(dǎo)數(shù)曲線特征，將壓力動(dòng)態(tài)曲線劃分為9個(gè)流動(dòng)階段：(1)井儲(chǔ)效應(yīng)；(2)表皮效應(yīng)；(3)雙線性流，存在儲(chǔ)層氣體垂直流入人工裂縫和人工裂縫氣體流入井筒兩種線性流，考慮分形特征的壓力導(dǎo)數(shù)曲線斜率大于；(4)儲(chǔ)層線性流，儲(chǔ)層氣體垂直流入人工裂縫，考慮分形特征的壓力導(dǎo)數(shù)曲線斜率大于；(5)人工裂縫干擾，垂直流入人工裂縫的氣體產(chǎn)生干擾，導(dǎo)數(shù)曲線呈現(xiàn)一個(gè)淺駝峰；(6)過渡流；(7)天然裂縫第一徑向流，考慮分形特征的壓力導(dǎo)數(shù)不是一條水平線，呈斜線；(8)竄流，基質(zhì)系統(tǒng)吸附的煤層氣逐漸解吸出來擴(kuò)散運(yùn)移進(jìn)入天然裂縫系統(tǒng)，壓力導(dǎo)數(shù)曲線存在“凹子”；(9)儲(chǔ)層第二徑向流，基質(zhì)與天然裂縫系統(tǒng)氣體運(yùn)移達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡，但考慮分形特征的壓力導(dǎo)數(shù)曲線不再是一條水平線，呈斜線。

圖3 分形煤層氣藏有限導(dǎo)流多翼壓裂直井壓力動(dòng)態(tài)曲線Fig.3 Dynamic pressure curve for multi-wing fractured vertical well with finite conductivity in the fractal CBM reservoir

4.2 參數(shù)敏感性分析

4.2.1 質(zhì)量分形維數(shù)和反常擴(kuò)散指數(shù)

質(zhì)量分形維數(shù)dmf與反常擴(kuò)散指數(shù)θ對壓力動(dòng)態(tài)曲線的影響較大(見圖4-5)，主要表現(xiàn)在試井曲線的前中期(雙線性流、儲(chǔ)層線性流、人工裂縫干擾階段)及后期(天然裂縫第一徑向流、竄流、儲(chǔ)層第二徑向流階段)。質(zhì)量分形維數(shù)越小，前中期的壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線位置越低，后期二者的位置越高(見圖4)。反常擴(kuò)散指數(shù)與之相反，隨反常擴(kuò)散指數(shù)增加，前中期曲線位置越低，后期位置越高(見圖5)。二者的變化并不改變各流動(dòng)階段的出現(xiàn)時(shí)間。

圖5 反常擴(kuò)散指數(shù)對壓力動(dòng)態(tài)曲線的影響Fig.5 The influence of anomalous diffusion index on dynamic pressure curve

4.2.2 人工裂縫條數(shù)

人工裂縫條數(shù)M對壓力動(dòng)態(tài)曲線的影響見圖6。由圖6可以看出，隨人工裂縫條數(shù)的增加，前中期(雙線性流、儲(chǔ)層線性流、人工裂縫干擾階段)階段的壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線整體位置降低。這是由于人工裂縫越多，壓裂改造程度越大，氣體更容易產(chǎn)出，所需生產(chǎn)壓差較小；隨人工裂縫條數(shù)的增加，干擾越容易發(fā)生，人工裂縫干擾階段的淺駝峰越明顯，且出現(xiàn)得越早，儲(chǔ)層線性流持續(xù)時(shí)間變短，甚至被掩蓋。

圖6 人工裂縫條數(shù)對壓力動(dòng)態(tài)曲線的影響Fig.6 The influence of number of artificial fractures on dynamic pressure curve

4.2.3 人工裂縫長度

隨人工裂縫長度的增加，整個(gè)壓裂改造范圍擴(kuò)大，形成的泄流區(qū)域面積越大，氣體流動(dòng)需要的能量損耗變小。人工裂縫長度LFD對壓力動(dòng)態(tài)試井曲線的影響見圖7。由圖7可以看出，LFD越大，整個(gè)雙線性流、線性流及人工裂縫干擾階段的壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線位置越低，雙線性流階段持續(xù)時(shí)間變長，線性流階段持續(xù)時(shí)間變短。

圖7 人工裂縫長度對壓力動(dòng)態(tài)曲線的影響Fig.7 The influence of length of artificial fracture on dynamic pressure curve

4.2.4 人工裂縫角度

人工裂縫角度越小，干擾階段的壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線位置越高，并且干擾階段出現(xiàn)得越早，同時(shí)掩蓋儲(chǔ)層線性流階段(見圖8)。這是由于裂縫角度越小，相鄰裂縫靠得更近，干擾越容易發(fā)生且干擾程度更大，導(dǎo)致整個(gè)生產(chǎn)中能量損耗變大。

圖8 人工裂縫角度對壓力動(dòng)態(tài)曲線的影響Fig.8 The influence of angle of artificial fracture on dynamic pressure curve

4.2.5 人工裂縫導(dǎo)流能力

人工裂縫導(dǎo)流能力CFD對壓力動(dòng)態(tài)曲線的影響見圖9。由圖9可以看出，隨人工裂縫導(dǎo)流能力的增加，雙線性流階段的持續(xù)時(shí)間變短，儲(chǔ)層線性流階段的持續(xù)時(shí)間變長。若導(dǎo)流能力大到一定程度、近似無限大導(dǎo)流能力時(shí)，雙線性流階段被掩蓋，只剩儲(chǔ)層線性流階段。

圖9 人工裂縫導(dǎo)流能力對壓力動(dòng)態(tài)曲線的影響Fig.9 The influence of conductivity of artificial fracture on dynamic pressure curve

4.2.6 應(yīng)力敏感因子

隨應(yīng)力敏感因子γpD的增加，后期壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線位置升高(見圖10)。這是由于生產(chǎn)壓差降低到一定程度時(shí)，應(yīng)力敏感效應(yīng)才明顯體現(xiàn)，應(yīng)力敏感因子越大，整個(gè)儲(chǔ)層滲透率降低越大，導(dǎo)致氣體流動(dòng)阻力增加，能量損耗大，不利于壓裂生產(chǎn)。

圖10 應(yīng)力敏感因子對壓力動(dòng)態(tài)曲線的影響Fig.10 The influence of stress sensitivity factor on dynamic pressure curve

5 結(jié)論

(1)考慮煤層氣儲(chǔ)層復(fù)雜、無序及非均質(zhì)性，應(yīng)用分形理論建立有限導(dǎo)流多翼壓裂直井試井模型，通過數(shù)值離散方法和疊加原理等求解模型，并繪制典型井底壓力圖版。

(2)根據(jù)曲線特征劃分為9個(gè)流動(dòng)階段：井儲(chǔ)效應(yīng)、表皮效應(yīng)、雙線性流、儲(chǔ)層線性流、人工裂縫干擾、過渡流、天然裂縫第一徑向流、竄流和后期儲(chǔ)層第二徑向流階段。與傳統(tǒng)試井曲線相比，曲線位置和斜率發(fā)生變化。

(3)質(zhì)量分形維數(shù)和反常擴(kuò)散指數(shù)對壓力動(dòng)態(tài)曲線的前中期和后期影響較大，二者的影響規(guī)律相反；人工裂縫條數(shù)、長度、角度及導(dǎo)流能力對壓力動(dòng)態(tài)曲線的影響主要體現(xiàn)在中期的雙線性流、儲(chǔ)層線性流及人工裂縫干擾階段；應(yīng)力敏感因子主要影響曲線后期，其增加導(dǎo)致壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線位置上升。