張 鵬，李穎男

(太原工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系,山西 太原 030008)

GM(1,1)模型是一個連續(xù)性的微分方程，它主要根據(jù)灰導(dǎo)數(shù)、關(guān)聯(lián)度等數(shù)學(xué)思想建立起來的，是數(shù)量經(jīng)濟模型的一個子結(jié)構(gòu)[1].其優(yōu)點在于不需要依靠大量的樣本數(shù)據(jù)，也不需要利用統(tǒng)計學(xué)的思想去挖掘信息規(guī)律.灰色預(yù)測模型更多的是依靠累加生成對原始數(shù)據(jù)序列進行變換，并從累加生成序列中挖掘數(shù)據(jù)潛藏的規(guī)律.

GM(1,1)模型作為灰色預(yù)測模型的核心與基礎(chǔ)，被廣泛地應(yīng)用于社會各領(lǐng)域，尤其是在“小樣本，貧信息，數(shù)據(jù)不完全掌握”的情況下，該模型取得了優(yōu)異的預(yù)測成果[2].但該模型并非在任何情形下都能得到有效的預(yù)測成果，有時該模型的預(yù)測結(jié)果與實際情況存在較大的差距，甚至還會出現(xiàn)背道而馳的情況.

本文首先簡要介紹了傳統(tǒng)GM(1,1)模型，并對該模型的定義和性質(zhì)進行了分析研究.接下來，從模型的定義出發(fā)，發(fā)現(xiàn)對該模型的優(yōu)化要先從提高原始數(shù)據(jù)序列的光滑度入手，而通過對比研究可得，調(diào)和變權(quán)緩沖算子可以實現(xiàn)作用強度的微調(diào)，具有良好的調(diào)節(jié)性，因此，本文將引進調(diào)和變權(quán)緩沖算子，使其作用于原始數(shù)據(jù)序列.

原始數(shù)據(jù)序列得到優(yōu)化后，將對GM(1,1)模型的背景值和時間響應(yīng)函數(shù)進行優(yōu)化，通過白化響應(yīng)式解出參數(shù)的值，將得到新的背景值與時間響應(yīng)函數(shù)的表達式.由此，該模型得到了優(yōu)化.

1 傳統(tǒng)的GM(1,1)模型

設(shè)原始非負數(shù)據(jù)序列為：

X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))

X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))

稱累加后的數(shù)據(jù)序列X(1)為原始數(shù)據(jù)序列X(0)的1-AGO序列.

GM(1,1)的灰色微分方程[3]為

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(1)

其中x(0)(k)為灰導(dǎo)數(shù)，a為發(fā)展系數(shù)，z(1)(k)為白化背景值，且：

由(1)式得

通過最小二乘法得[ab]T=(BTB)-1BTY.

GM(1,1)的白化微分方程[4]為

(2)

2 GM(1,1)模型的優(yōu)化

2.1 調(diào)和變權(quán)緩沖算子的構(gòu)造

對GM(1,1)模型的優(yōu)化要先從提高原始數(shù)據(jù)序列的光滑度開始，在原始數(shù)據(jù)序列中引進調(diào)和變權(quán)緩沖算子[5].

設(shè)X=(x(1),x(2),...,x(n))，其中x(k)>0,k=1,2,...,n.

記XD=(x(k)d)，x(k)d=(λ(x(n))-1+(1-λ)(x(k))-1)-1，λ為可變權(quán)重，0<λ<1,k=1,2,…,n.此時，無論X是單調(diào)遞增序列還是單調(diào)衰減序列，或者振蕩序列，D均為弱化緩沖算子.

數(shù)據(jù)序列X=(x(1),x(2),...,x(n))中由x(k)到x(n)的平均變化率為r(k)；將緩沖算子D作用于數(shù)據(jù)序列X，得到XD=(x(1)d,x(2)d,...,x(n)d)，定義緩沖算子D在k點的調(diào)節(jié)度為：

調(diào)節(jié)度反映了緩沖算子對數(shù)據(jù)序列的作用強度.不同的緩沖算子對數(shù)據(jù)序列的作用強度大小不同，因此，通過調(diào)節(jié)可變的權(quán)重能夠調(diào)整緩沖算子的作用強度[6].

在實際應(yīng)用中，權(quán)重的取值可以隨著模擬精度的變化規(guī)律進行調(diào)節(jié)，也可以基于一定的誤差最小化原則選擇最優(yōu)的權(quán)重.常見的最優(yōu)衡量標(biāo)準(zhǔn)為誤差平方和最小、平均相對誤差最小，但由于權(quán)重的選取與預(yù)測誤差之間并非線性關(guān)系，因此難以用確切的解析式表達出來[7].所以，可以在一定的誤差準(zhǔn)則下，在λ∈(0,1)內(nèi)尋找最優(yōu)值.在賦權(quán)時，可以將權(quán)重取為遞增的等差數(shù)列或遞增的等比數(shù)列，在確定好大概范圍后，再精細確定權(quán)重的最優(yōu)取值.

2.2 背景值及時間響應(yīng)函數(shù)的優(yōu)化

x(1)(t)=GeBt+C

令(x(1)(t))`=BGeBt，得

因此x(1)(t)在區(qū)間[k-1,k]上積分就可得到GM(1,1)的背景值為：

(3)

通過(3)式可知，只要得到B和C的值，則能得到背景值z(1)(k)的表達式.

由白化響應(yīng)式[8]：

(4)

將B的代入方程(1)、(2)并相減得：

(5)

將(4)式和(5)式帶入(a)式可得到C值為：

(6)

將B、C的值代入z(1)(k)中，得到重構(gòu)的背景值為：

且，x(0)(k)≠x(0)(k-1)，k=2,3,...,n.若x(0)(k)=x(0)(k-1)，則此時的背景值與原GM(1,1)模型一致.

其中根據(jù)文獻[9]可得：

通過上式可以得到GM(1,1)模型的時間響應(yīng)函數(shù)為：

對優(yōu)化后的結(jié)果進行還原：

3 實例驗證

3.1 數(shù)據(jù)的獲取

太原市是國務(wù)院批復(fù)確定的中國中部地區(qū)重要的中心城市，是國家歷史文化名城，是一座擁有2 500多年建城歷史的古都，是“控帶山河，距天下之肩背”，“襟四塞之要沖，控五原之都邑”的歷史古城，它吸引了來自五湖四海的游客，使得太原市的旅游業(yè)蓬勃發(fā)展.太原2010—2019年的旅游人數(shù)見表1.

表1 2010—2019太原市旅游人數(shù)統(tǒng)計表

數(shù)據(jù)來源：根據(jù)《太原統(tǒng)計年鑒》[10]歷年數(shù)據(jù)整理計算

3.2 傳統(tǒng)模型的建立和預(yù)測

由表1可得到太原市近十年來的旅游人數(shù)初始序列：

x(0)=(2 023.32,2 461.88,2 983.89,3 691.33,4 196.51,4 912.48,5 688.12,6 780.95,8 126.20,9 655.80)

對原始數(shù)列做累加后生成數(shù)列x(1)：

x(1)=(2 033.32,4 485.20,7 469.09,11 160.42,15 356.93,20 269.41,25 957.53,32 738.48,40 864.68,50 520.48)

由此得到：

通過以上計算可得到傳統(tǒng)的GM(1.1)模型為

該模型對2010—2019年太原市旅游人數(shù)的預(yù)測結(jié)果見表2.

表2 傳統(tǒng)GM(1,1)模型的預(yù)測結(jié)果

3.3 優(yōu)化模型的建立和預(yù)測

由表1可計算出2010—2019年太原市旅游人數(shù)的增長速度，見表3.

表3 2010—2019年太原市旅游人數(shù)增長速度表

從表3中還可以得出2013年以后的增長速度明顯低于2013年以前的增長速度，因此數(shù)據(jù)變化規(guī)律難以準(zhǔn)確把握.若將本文構(gòu)造的調(diào)和變權(quán)緩沖算子引進該原始序列，結(jié)果見表4.

表4 可變權(quán)重不同取值時的2013—2014年預(yù)測誤差表

通過表4可以得到，隨著λ的增大，預(yù)測的誤差也越來越大，由此取λ=0.01最為合適.

由此，得到了一個新的原始序列：x1(0)=(2 023.32,2 513.72,2 969.20,3 714.27,4 220.37,4 936.73,5 711.59,6 801.20,8 139.09,9 655.80)，利用新的原始序列建立傳統(tǒng)的GM(1,1)模型，計算得到時間響應(yīng)式為：

由該模型得到的預(yù)測值及預(yù)測誤差參見表5.

表5 改進原始序列后的傳統(tǒng)GM(1,1)模型預(yù)測結(jié)果

引進調(diào)和變權(quán)緩沖算子后計算得到的預(yù)測誤差為1.282 5%.因此，引進調(diào)和緩沖算子可以很好地提高原始序列的光滑度，優(yōu)化了GM(1,1)模型，提高了預(yù)測精度.下面對引進緩沖算子后的GM(1,1)模型進行背景值和時間響應(yīng)函數(shù)的優(yōu)化，以期得到更加精準(zhǔn)的預(yù)測結(jié)果.通過公式(4)得到：

計算(BTB)-1BTyn得到：

因而得到：

a=-0.165 88，b=2 001.674 9

利用以上計算結(jié)果，通過公式(6)計算得到：

進而得到優(yōu)化后的GM(1,1)模型的時間響應(yīng)函數(shù)為：

將優(yōu)化后的GM(1,1)模型應(yīng)用到實際預(yù)測中，通過計算得到預(yù)測值及預(yù)測誤差，并將結(jié)果見表6.

表6 優(yōu)化后的GM(1,1)模型預(yù)測結(jié)果

從表6可知采用優(yōu)化后的GM(1,1)模型預(yù)測得到的平均相對誤差為0.969 6%，相比于未優(yōu)化的GM(1,1)預(yù)測得到的平均相對誤差1.414 4%，預(yù)測精度明顯得到了提高，因此對GM(1,1)模型的優(yōu)化具有實際意義，而優(yōu)化后的GM(1,1)模型也更適于解決現(xiàn)實中原始數(shù)據(jù)序列變化平緩的問題.

4 結(jié)論

1) GM(1,1)模型是一種對“貧信息，小樣本”適用的解決方法，其對一些已經(jīng)知道的信息進行生成、開發(fā)和提取，從看似無規(guī)律的數(shù)據(jù)中找尋潛藏的規(guī)律，使其具有獨特的研究手段，從而被廣泛地應(yīng)用于實際問題的解決.

2) 在對模型的優(yōu)化過程中，本文首先從提高原始序列的光滑度開始入手，引進了調(diào)和變權(quán)緩沖算子，使其作用于原始序列，從而很好地提高了原始序列的光滑度，有利于后續(xù)的建模過程.

3) 在對原始序列引進緩沖算子作用后，本文又對傳統(tǒng)GM(1,1)模型的背景值進行了指數(shù)函數(shù)的擬合，使模型本身固有的問題得到了優(yōu)化，接著對時間響應(yīng)函數(shù)進行了改造，使其更加貼合實際，非常有效地提高了預(yù)測的精度.

4) 最后，將優(yōu)化后的GM(1,1)模型應(yīng)用于太原市旅游人數(shù)的預(yù)測研究中，并用現(xiàn)實問題驗證了優(yōu)化后的GM(1,1)模型更具有實用性和精確性，同時也為該領(lǐng)域的預(yù)測研究提供了一種新的解決方法.