孫紅亮，柳富勇，冷慧梅

（1.南京市浦口新城開發(fā)建設有限公司，江蘇 南京 210000；2.南京長江隧道有限責任公司；3.南京市水利規(guī)劃設計院股份有限公司，江蘇 南京 210037）

1 引言

地震災害是一種常見的自然災害，我國地處環(huán)太平洋和亞歐地震帶之間，是世界上大陸地區(qū)中地震活動最活躍的國家之一。大量研究發(fā)現(xiàn)，實際地震時的地面運動是一種包括六個分量（三個平動分量和三個扭轉分量）的多維運動，但與單方向設計反應譜相匹配的地震動加速度時程常用于評價結構的抗震性能，幾乎世界主流的抗震設計規(guī)范都有相應的條文規(guī)定[1，2]。我國的建筑和橋梁設計規(guī)范雖然都考慮了雙向水平地震作用，但只是通過直接對兩個方向地震最大效應進行平方和開方，此種方法過度簡化了雙向地震耦合效應。

針對此情況，國內外學者進行了研究。王東升等[3]結合實際地震動的多維性和結構非線性反應的空間耦合特性，建立了恢復力特性滿足二維屈服面模型的理想彈塑性單質點體系。余波等[4]通過對比強度退化、剛度退化等幾種典型滯回模型和對平面不對稱結構非彈性地震動力響應分析，提出了考慮雙向抗側恢復力之間的耦合效應以及抗側和抗扭恢復力之間的耦合效應的平扭耦聯(lián)Bouc-Wen模型。寧超列等[5]在文獻[4]研究的基礎上，通過幾種滯回模型和雙向恢復力耦合效應對結構地震延性需求的影響進行了量化分析，進一步提出了等強度延性需求的均值譜和標準差譜的預測方程。Pavese等[6]對凹面滑塊在雙向地震作用下的橫向響應進行了試驗研究，結果表明，與單向地震相比，激勵有顯著性差異。Cheng X等[7]考慮了二維粘彈性邊界條件的影響，建立了結構和流場模型，對跨海隧道結構在滲流和雙向地震作用下的穩(wěn)定性進行了研究。Solberg K等[8]通過雙向準靜態(tài)和擬動力橋墩試驗研究了橋墩的損傷避免設計，結果表明，基于雙向抗震設計的橋墩抗震設防能力有了很大提高。余文正等[9]對等效線性化方法中的等效周期、等效阻尼比、阻尼調整系數(shù)和國外規(guī)范中的加速度反應譜進行了系統(tǒng)的研究和分析，結果表明，若根據(jù)中國規(guī)范中的加速度反應譜采用國外的等效線性化方法進行時程分析，其計算精度較低。

與減震結構不同，橋梁隔震結構主要是通過延長橋梁周期、增大橋梁阻尼，限制地震能量進入上部結構，將結構與地面運動分離開，減少地震動對結構的影響。由于橋梁隔震結構的非線性比一般結構更為復雜，對其進行非線性時程分析時，受到計算耗時長、結果離散性較大等許多因素制約。

等效線性化方法雖然可簡便、快速地估算出結構非線性響應。但國內外等效線性化方法都是基于非線性單自由度體系的，如圖1所示。隨著雙向地震動耦合作用的深入研究，以往的等效線性化分析方法不能夠滿足雙向地震動耦合模型的研究需求，需要提出新的基于雙向地震動耦合作用的等效線性化分析方法。

圖1 非線性單自由度體系簡化為等效線性單自由度體系

2 雙向地震耦合模型及等效線性模型

2.1 雙向地震動耦合模型

本文動力分析部分采用Newmark積分算法，非線性計算部分采用Newton-Raphson迭代法。同時考慮阻尼對結構體系地震動響應的影響，雙向地震分析采用雙向耦合的雙線性模型，如圖2所示。圖中，dypos、dyneg分別表示正、負方向，F(xiàn)ypos、Fyneg分別表示正、負方向屈服強度，K表示初始剛度，Khpos、Khneg分別表示正、負方向退化剛度。

雙向耦合雙線性模型是在雙線性模型的基礎上，考慮兩個垂直方向的相互作用關系，并通過歐拉過程實現(xiàn)雙向耦合作用，屈服面由式（1）決定。

考慮兩個垂直方向的相互③作用關系，并通

式中，F(xiàn)1、F2分別表示兩個方向上的力；Fy1、Fy2分別表示兩個方向的屈服強度；n表示雙向耦合作用系數(shù)。本文n值取2，以圓形屈服面假定為基礎，建立雙向耦合的恢復力模型如圖3所示。

圖3 有無耦合作用的屈服面示意圖

2.2 等效線性模型

考慮水平地震作用的非線性單自由度體系的運動方程如式（2）所示。

式中，m、ξ0、RF（）分別為體系質量、體系阻尼比和恢復力函數(shù)為地面加速度；為質量相對于地面的位移；ω0為體系的自振圓頻率，根據(jù)初始剛度k0和體系的振動周期來定義初始周期T0。

將式（3）代入式（2）得：

非線性單自由度體系能夠承受最大的非線性變形由延性系數(shù)μ決定。按照等效線性化方法，公式（4）可以由公式（5）近似計算。

式中，Teq和ξeq分別為等效周期和等效阻尼比。

本文采用割線法確定等效周期和有效阻尼比的常用方法，如圖4所示。

圖4 割線剛度法示意圖

圖中，k0為彈性剛度；αk0為屈服后剛度；Fy為屈服強度；Uy為屈服位移；Um為峰值位移；μ=Um/Uy，為延性系數(shù)；keq為等效線性體系剛度。

由于非線性體系中的滯回行為消耗能量，Teq將比T0長，ξeq將大于ξ0，其中：

2.3 基于初始周期的Teq、ξeq研究

選取多個具有代表意義的計算方法進行對比，本文僅列出其中三種方法。Kwan和Billington[10]使用Iwan的方法和20個地面運動記錄，得出以下等式（有效周期為0.1s-1.5s)：

式中，系數(shù)C1和C2隨著滯回模型不同而變化，對于彈塑性模型和輕/中度退化模型，C1=0.5，C2=0.56。

Blandon和Priestley[11]使用六個合成地震波進行迭代分析，提出了以式（12）來求解等效阻尼比：

式中，N為標準化因子；a、b、c、d為考慮滯回模型的常數(shù)。

Zaharia和Taucer[12]以Iwan公式為基礎，提出與歐洲規(guī)范頻譜相兼容的等效線性化方程，如下所示：

式中，A、a、B、b 為考慮滯回模型和反應譜類型的常數(shù)。

圖5為目前主流的經(jīng)典等效線性化模型計算效果圖。

圖5 不同等效線性化模型的計算效果對比圖

3 計算模型

現(xiàn)有研究表明，無論是等效周期還是等效阻尼比，均是以初始周期為影響參數(shù)。因此，本文將等效周期和等效阻尼比定義為延性系數(shù)和初始周期的等式，分別計算X方向和Y方向的等效周期和等效阻尼比。同時，選取地震波數(shù)據(jù)庫太平洋工程地震研究中心（PEER）的4條地震波記錄，見表1。

表1 地震波參數(shù)表

考慮到對于同一次地震，地震動記錄儀不同方向的最大地震響應各不相同，因此，通過Hilbert變換法進行地震波合成，將原地震波作為X方向地震動輸入，Hilbert轉換波作為Y方向地震動輸入。其中，Teq的等式定義為μ和T0的函數(shù)，Teq=Teq（μ,T0）；ξeq的等式定義為ξ0、μ和T0的函數(shù)，。計算模型如下：

式中，A、B、C、a、b、c為回歸分析確定的計算常數(shù)。

在初始周期i范圍內，Teq和ξeq的值是使平均非線性位移和平均等效線性位移之間比值的均方根誤差最小的耦合，由下式給出：

式中，N為地震波總數(shù)。

具體步驟為（以X方向為例）：

①設置等效阻尼比的最小值和最大值。

②設置等效周期的有效范圍。

③設置延性系數(shù)的取值和用于非線性分析的滯回模型。

④根據(jù)結構初始周期、初始阻尼和延性系數(shù)，計算第k組地震波作用下的結構非線性位移（SDnl）k：

⑤擬定等效周期和等效阻尼比，將結構等效為線性單自由度體系，計算第k組地震波作用下的結構等效線性位移（SDe）k：

⑥計算初始周期為i的等效線性位移和非線性位移的誤差ε：

⑦計算對于所有地震波作用下，初始周期為i的等效線性位移譜和非線性位移譜之間的比值的均方根誤差

式中，Nk為地震波的總組數(shù)。

⑧找出Teq（T0,μ）和ξeq（ξ0,T0,μ）的最佳組合，給出最小RMS誤差。

為了驗證最佳組合是否合理，在每個周期（i）中計算等效線性位移與非線性位移的比值和所有地震波的平均比值：

⑨對Teq和ξeq的曲線進行非線性回歸分析。

4 計算結果分析

初始參數(shù)及條件分為線性分析和非線性分析條件。

①線性條件。

ξeq取5%至50%，間隔為1%，并以等式（11）計算的結果為上限；周期比的范圍Teq/T0設置為1s～4s，間隔為0.01s，并以等式（10）計算的結果為上限。

②非線性條件。

雙向非線性計算采用雙向耦合的雙線性模型，屈服后剛度取相應線性剛度的0.05倍；延性系數(shù)μ取值分別為1、1.5、2、3、4、5、6；初始阻尼系數(shù)ξ0設置為5%；周期范圍T0設置為0.1s～4s，間隔為0.02s。

計算最大位移估計誤差時，采用Guyader 和Iwan（2006）提出的誤差容許范圍，將誤差值的最佳范圍控制在-20%和+20%之間。

利用線性位移和非線性位移對4條地震波的計算效果如圖6～圖9所示，可以看出兩者吻合較好。將不同地震波計算出來的等效周期和等效阻尼比取平均值，經(jīng)過非線性回歸分析擬合曲線可得到式（13）和式（14）各系數(shù)的值，見表2。

圖6 非線性位移與等效線性位移對比（地震波RIV180）

圖7 非線性位移與等效線性位移對比（地震波MEL090）

圖8 非線性位移與等效線性位移對比（地震波BLD090）

圖9 非線性位移與等效線性位移對比（地震波L4B090）

表2 等效線性方程各參數(shù)數(shù)值

本文提出的公式與Guyader和Iwan（2006）給出的公式相比整體上趨勢相同，與其他的等效線性化方法沒有出現(xiàn)較大誤差，說明本文提出的等效線性化方法具有合理性，如圖10所示。同時，Teq/T0和ξeq整體上隨著初始周期T0變化而變化。當初始周期較小時，T0對Teq/T0和ξeq的影響較大；當初始周期較大時，T0對Teq/T0和ξeq的影響較小，說明本文提出的計算方法也具有合理性。

圖10 X方向上不同線性化模型計算效果對比

5 結語

本文參照較為成熟的單向地震動作用下的等效線性化研究方法，結合國內外研究成果，提出了基于雙向耦合恢復力模型、等效阻尼比ξeq和初始周期T0有關的等效線性化研究方法。將線性位移和非線性位移的誤差控制在-20%至+20%范圍之內，并通過與經(jīng)典的等效線性化方法進行對比，驗證了本文方法的合理性。但是本文在地震波的處理上仍有欠缺，僅通過Hibert變換進行了簡單的波處理，沒有進一步對地震波的噪聲進行處理，因而導致結果可能有誤差。