孫訓紅, 陳維樂, 都海波, 李世華

(1.合肥工業(yè)大學電氣與自動化工程學院,安徽合肥 230000;2.東南大學自動化學院,江蘇南京 210096)

1 引言

眾所周知,對于控制系統(tǒng),收斂性能和抗干擾性能是重要的性能指標,這也是工程師在設計控制器時所關(guān)注的重點.注意到大多數(shù)控制器設計滿足局部利普希茨條件,這意味著閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的,收斂速度只能做到指數(shù)收斂.為了提高收斂速度,文獻[1-5]等相繼提出并發(fā)展了有限時間控制算法,系統(tǒng)狀態(tài)將在有限時間內(nèi)收斂到平衡點.目前主要的有限時間控制算法有齊次性法[3]、加冪積分法[4]和終端滑模算法[5]等.其中,齊次性法控制器結(jié)構(gòu)簡單且易于設計[6-7],但是在高階系統(tǒng)中是一種存在性設計而不是構(gòu)造性設計,抗干擾能力難以定量分析[3].而加冪積分法一方面能夠結(jié)合反步設計思想,另一方面可以通過顯式構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù),定量分析抗干擾性能,因此得到了廣泛應用[4,8-11].終端滑模方法結(jié)合了傳統(tǒng)滑模控制算法和有限時間算法,設計了非線性滑模面,從而使得狀態(tài)在到達滑模面后,能夠沿著滑模面有限時間內(nèi)收斂到平衡點[5,12].特別地,如果將有限時間控制算法定義為能夠使系統(tǒng)穩(wěn)定且系統(tǒng)狀態(tài)有限時間收斂的算法,滑模算法[13-14]也可以看成是一類有限時間控制算法.

文獻[4]提出并利用加冪積分技術(shù)構(gòu)造了非光滑連續(xù)狀態(tài)反饋控制器,對一類廣泛的本質(zhì)非線性系統(tǒng)實現(xiàn)了全局漸近鎮(zhèn)定.隨后,結(jié)合加冪積分技術(shù),文獻[15]考慮了一類帶不確定動力學的非線性系統(tǒng)的有限時間鎮(zhèn)定問題.文獻[16]基于邏輯切換,實現(xiàn)了一類不確定非線性系統(tǒng)的自適應有限時間鎮(zhèn)定.此外,文獻[17]針對一類帶匹配不確定非線性動力學的系統(tǒng),提出了一種時變反饋調(diào)節(jié)方法,可以在預定的時間內(nèi)對系統(tǒng)狀態(tài)進行調(diào)節(jié).值得注意的是,上述的控制器設計方法都是基于全狀態(tài)反饋的,這意味著系統(tǒng)的所有狀態(tài)都必須是已知的.而在實際中,有一些場合,如電機系統(tǒng),由于技術(shù)限制或成本考慮,采用無速度傳感器實現(xiàn)其控制[18-19].因此,基于輸出反饋的有限時間控制算法值得深入研究.在文獻[20]中,首次實現(xiàn)了雙積分系統(tǒng)的有限時間輸出反饋鎮(zhèn)定問題.隨后,在文獻[21-22]中,利用遞歸設計方法和齊次控制方法,研究了一類高階不確定非線性系統(tǒng)的全局有限時間輸出反饋鎮(zhèn)定問題.

文獻[20-22]等盡管已經(jīng)考慮了系統(tǒng)的不確定動力學,但是沒有考慮外部干擾的影響.在實際工程中,外部干擾是不可避免的.考慮到系統(tǒng)的輸出反饋需要對系統(tǒng)狀態(tài)進行觀測,而外部干擾將影響觀測器的收斂性.對于有界干擾,超螺旋算法具有良好的收斂性能和抗干擾性能,因此得到了廣泛的研究和應用[23-26].然而,由于不確定動力學的存在,無法“獨立”證明觀測器的收斂性.此時,“分離原理”不適用.因此本文采用了“非分離原理”,主要思路如下.首先,設計了一種狀態(tài)反饋控制器,實現(xiàn)了系統(tǒng)的有限時間鎮(zhèn)定.然后,考慮到只有系統(tǒng)輸出可知的情況,設計了一種基于狀態(tài)觀測器的復合有限時間控制器,實現(xiàn)了系統(tǒng)的有限時間輸出鎮(zhèn)定.此外,本文的有限時間觀測器與控制器采用了狀態(tài)的非連續(xù)函數(shù),這導致在通常意義下無法解釋系統(tǒng)解,而是Filippov意義下的解[27].

本文的結(jié)構(gòu)如下:第2節(jié)介紹了被控系統(tǒng)的模型,以及預備知識,包括一些有用的假設、定義和引理;第3節(jié)是全文的主要內(nèi)容,分為3個步驟并在開始時作了詳細介紹;第4節(jié)給出了一個仿真實例;最后,第5節(jié)對本文進行總結(jié).

2 問題描述和預備知識

2.1 問題描述

考慮一類具有不確定動力學和未知外部擾動的二階非線性系統(tǒng)

其中x=[x1x2]∈R2是系統(tǒng)狀態(tài)向量,y ∈R是系統(tǒng)輸出,u ∈R為控制輸入,f1(·)是系統(tǒng)非匹配未知非線性動力學,f2(t,x,d)= ˉf2(t,x)+d(t), ˉf2(t,x)和d(t)分別是控制輸入通道中的不確定動力學和未知外部干擾.

本文的最終目的是為非線性系統(tǒng)(1)設計一個基于輸出反饋的控制器,實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的有限時間鎮(zhèn)定.控制器設計和穩(wěn)定性分析面臨以下難點:i)系統(tǒng)存在不確定的非線性動力學和未知的外部擾動;ii)對于系統(tǒng)的狀態(tài),只有x1作為系統(tǒng)的輸出是可測量的.一些假設如下.

假設1 對于系統(tǒng)(1),有兩個已知的非負常數(shù)a1,a2使得

注1參考文獻[21-22,28-30]等均有類似的假設.文獻[21-22]不考慮外部有界干擾,而本文假設匹配不確定動力學ˉf2(t,x)和未知外部干擾d(t)都是全局有界的.文獻[28-29]的非線性動力學形式是已知的,但是假設條件更加寬松.而對于非匹配干擾f1,其約束條件直接參考了文獻[30]的假設條件.實際上,本文也可以看成是對文獻[30]的部分結(jié)論進行了基于輸出反饋的擴展.此外,文獻[30]中對于Buck型電路的應用,也體現(xiàn)了上述假設的合理性.

2.2 預備知識

定義1(Sig函數(shù))

引理1[2]考慮如下系統(tǒng):

其中f(·):Rn →Rn是一個連續(xù)函數(shù).假設存在一個正定連續(xù)函數(shù)V(x):U →R,有實數(shù)c>0和α ∈(0,1),并且存在一個包含原點開區(qū)域U0?U使得˙V(x)+c(V(x))α≤0,x ∈U0{0}.那么V(x)將在有限時間內(nèi)到達0.此外,有限收斂時間T滿足

引理2[5]如果m>1,那么

3 主要結(jié)果

通過坐標變換,將本文的控制目標轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)(6)的有限時間輸出鎮(zhèn)定.

本節(jié)分為3個步驟.

步驟1 對于系統(tǒng)(6),設計了狀態(tài)反饋控制器來實現(xiàn)全局有限時間鎮(zhèn)定.

步驟2 考慮到z2不能直接測量,設計了一個觀測器來估計z2.這種觀測器的形式是基于超螺旋觀測器.但是,由于非匹配不確定動力學g1的存在,不能單獨證明觀測器的有限時間收斂性.

步驟3 步驟1和步驟2表明系統(tǒng)不能使用“分離原理”進行輸出反饋控制.因此,本文同時進行控制器和觀測器的穩(wěn)定性分析.通過設計總李雅普諾夫函數(shù),證明了總閉環(huán)系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性,同時實現(xiàn)了z2的有限時間估計和系統(tǒng)的全局有限時間輸出鎮(zhèn)定.

3.1 狀態(tài)反饋控制器設計

定理1 對于系統(tǒng)(6),在假設1條件下,如果狀態(tài)反饋控制器設計為

這意味著系統(tǒng)的狀態(tài)會在有限時間內(nèi)收斂到原點.

3.2 狀態(tài)觀測器設計

定理2 對于系統(tǒng)(6),在假設1條件下,如果狀態(tài)觀測器設計為式(22),

·在李雅普諾夫函數(shù)(24)下,W沿系統(tǒng)(23)的導數(shù)滿足式(42).

·如果a1=0,則存在合適的增益k1,k2>0實現(xiàn)狀態(tài)的有限時間觀測.

證 構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

接下來,本文在兩種情況下估計不等式(26)的最后一項.

這實際上是超螺旋算法(super twisting algorithm,STA).因此,與已有超螺旋算法的李雅普諾夫函數(shù)法證明[32-34]不同,本文設計了一個新的李雅普諾夫函數(shù),提供了一種新的、簡潔的STA算法的證明方法.

注3根據(jù)定理1和定理2,如果a1=0,可以使用“分離原理”實現(xiàn)系統(tǒng)(6)的有限時間輸出鎮(zhèn)定.具體地,首先通過定理2,在有限時間T1后得到z2的估計.之后,輸出反饋控制實際上變成了狀態(tài)反饋控制,由定理1可知,在T1+T2之后,系統(tǒng)將收斂到0.但本文主要考慮a1>0的情況.在這種情況下,“分離原理”并不適用.因此,接下來本文將利用“非分離原理”來解決有限時間輸出鎮(zhèn)定問題.

3.3 基于輸出反饋的有限時間控制器設計

當不能直接獲得狀態(tài)z2時,上述狀態(tài)反饋控制不再適用.此時,使用如下輸出反饋控制器:

定理3 對于系統(tǒng)(6),在假設1條件下,若將輸出反饋控制器設計為式(44)且狀態(tài)觀測器設計為式(22),則存在適當?shù)恼鲆姒?,β2,k1,k2和L使得整個閉環(huán)系統(tǒng)有限時間輸出鎮(zhèn)定.

由于擺桿在運動過程中會受到各種擾動因素的影響.為提高擺桿的控制精度，下面采用自抗擾控制方法設計控制倒立擺擺桿角度的控制器.

其中?ρ是一個正的常數(shù).

基于式(57),U(z,e)會在有限時間內(nèi)收斂到0.因此,V(z)和W(e)都將在有限時間內(nèi)收斂到0,這意味著本文同時實現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)的有限時間估計和系統(tǒng)的有限時間輸出反饋鎮(zhèn)定.

回到最初的問題,即系統(tǒng)(1)的有限時間輸出反饋鎮(zhèn)定.根據(jù)定理3和坐標變換(5),可以得到以下結(jié)論.

定理4 對于系統(tǒng)(1),在假設1條件下,若將輸出反饋控制器設計為

則存在合適的增益β1,β2,k1,k2和L使得整個閉環(huán)系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定.證畢.

4 仿真

在仿真中,假設系統(tǒng)(1)的不確定動力學和未知外部擾動滿足

則|f1|≤1.5|x1|1/2和|f2|≤3,滿足假設1.控制增益分別取β1=15,β2=3,k1=20,k2=15和L=2.為了更好地表現(xiàn)系統(tǒng)能夠全局有限時間輸出鎮(zhèn)定,選擇較大的輸出初值,即y(0)=x1(0)=100.其它初值選取為x2(0)=0, ?x1(0)=0, ?x2(0)=0.仿真結(jié)果見圖1-3,其中圖1是系統(tǒng)狀態(tài)x1和x2,圖2是系統(tǒng)狀態(tài)x1及其估計?x1,圖3是系統(tǒng)狀態(tài)x2及其估計?x2.從圖1可知,系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂到原點;由圖2和圖3可知,在系統(tǒng)狀態(tài)鎮(zhèn)定的同時,實現(xiàn)了狀態(tài)的有限時間觀測.

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)x1和x2Fig.1 System’s states x1 and x2

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)x1及其估計?x1Fig.2 System’s state x1 and its estimate ?x1

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)x2及其估計?x2Fig.3 System’s state x2 and its estimate ?x2

5 總結(jié)

本文研究了一類具有不確定動力學和未知外部擾動的二階非線性系統(tǒng)的輸出鎮(zhèn)定問題.當系統(tǒng)狀態(tài)可測時,提出了一種全局狀態(tài)反饋有限時間控制器.當只有系統(tǒng)輸出可測時,采用“非分離原理”,構(gòu)造了狀態(tài)觀測器和基于觀測器的輸出反饋控制器,通過李雅普諾夫函數(shù)方法,證明了整個閉環(huán)系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性.最后,一個仿真實例驗證了理論的有效性.