韓麗美，張毅,2，葉貴根，薛世峰，賈朋

(1. 中國石油大學(xué)(華東)儲運與建筑工程學(xué)院，山東青島，266580；2. 阿爾伯塔大學(xué)機械工程系，加拿大埃德蒙頓，T5J4P6)

聚乙烯(polyethylene，PE)是一種高分子聚合物材料，具有耐磨、耐腐蝕、耐沖擊和耐化學(xué)性等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于燃?xì)夤?、水管等管道制造業(yè)中。在燃?xì)夤苤圃鞓I(yè)中，PE 管道已經(jīng)成為主要的管道類型，特別是在中低壓燃?xì)夤芫W(wǎng)中，PE 管道是新鋪設(shè)管道和舊管道修復(fù)及更新的主要甚至是唯一的選擇[1]。在PE 管道生產(chǎn)、運輸、安裝及使用過程中，會不可避免地出現(xiàn)微裂紋、微孔隙等損傷，損傷導(dǎo)致的PE 管道失效甚至爆炸事故在世界各地都有發(fā)生，因此，研究PE 材料損傷與破壞機理具有重大意義。

對于半結(jié)晶聚合物，損傷和斷裂通?；趯娱g微孔洞導(dǎo)致斷裂的假設(shè)進(jìn)行建模[2?3]。CDM模型是一種唯象型模型，從宏觀現(xiàn)象出發(fā)模擬宏觀力學(xué)行為，其基本假設(shè)是將損傷視為嵌入不可逆過程熱力學(xué)中的內(nèi)部變量，使得含損傷變量的本構(gòu)關(guān)系能真實描述受損材料的宏觀力學(xué)行為。JEAN[4]將損傷變量引入材料應(yīng)力?應(yīng)變本構(gòu)方程，建立了CDM模型的框架，并提出用彈性模量的衰減計算材料的損傷程度；BONORA 等[5?6]提出了材料的損傷演化方程，并采用實驗和有限元分析相結(jié)合的方法研究了低合金鋼在三軸應(yīng)力狀態(tài)下的韌性損傷行為；CELENTANO等[7]也采用實驗和有限元分析相結(jié)合的方法研究了鋼在塑性大變形下的損傷演化；ZHANG 等[8]對高密度聚乙烯(HDPE)材料的損傷演化進(jìn)行了表征，研究了應(yīng)變率對損傷演化的影響；ZHANG 等[9]研究了加載歷史對PE材料損傷演化的影響，發(fā)現(xiàn)PE 材料損傷演化與加載速度和加載方式無關(guān)；黃學(xué)偉等[10]結(jié)合實驗與有限元分析，確定了Q690D 鋼材的連續(xù)損傷模型參數(shù)，并應(yīng)用此模型分析了圓棒試樣和帶初始間隙試樣在不同加載制度下的斷裂破壞；ZHANG 等[11]引入了基于應(yīng)力的損傷變量來表征PE 材料的延性損傷，并通過實驗與數(shù)值模擬相結(jié)合的方法發(fā)現(xiàn)基于應(yīng)力的損傷變量與基于能量等效方法的損傷變量具有良好的一致性；王鐸等[12]將拉伸實驗與ABAQUS 數(shù)值模擬相結(jié)合，推演出延性金屬的彈塑性損傷模型，得出損傷變量；李非凡等[13]介紹了預(yù)測金屬延性斷裂行為的非耦合唯象型延性斷裂準(zhǔn)則，并進(jìn)一步總結(jié)了唯象型延性斷裂準(zhǔn)則在鎂合金斷裂預(yù)測中的應(yīng)用現(xiàn)狀。上述研究大多針對金屬材料損傷斷裂機理，而對PE 材料這方面的研究很少。

材料的損傷斷裂機理不僅與材料本身性質(zhì)有關(guān)，而且與材料的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。當(dāng)應(yīng)力狀態(tài)不同時，材料內(nèi)產(chǎn)生的塑性變形與應(yīng)力集中程度不同，材料的損傷及斷裂機理也將發(fā)生變化，為了簡明反映材料受力時不同的應(yīng)力狀態(tài)情況，引入應(yīng)力狀態(tài)參數(shù)的概念。研究中常見應(yīng)力三軸度、應(yīng)力狀態(tài)軟性系數(shù)和羅德參數(shù)3 種應(yīng)力狀態(tài)參數(shù)。相較于應(yīng)力狀態(tài)軟化系數(shù)和羅德參數(shù)，應(yīng)力三軸度(即平均正應(yīng)力與等效應(yīng)力之比)能更合理地體現(xiàn)應(yīng)力狀態(tài)對塑性變形與斷裂破壞的影響[14]。

BRIDGMAN[15]研究了應(yīng)力三軸度對金屬材料延性的影響，建立了帶有缺口的圓柱試樣應(yīng)力三軸度的計算公式。直接從BRIDGMAN解析式得到是初始應(yīng)力三軸度，而應(yīng)力三軸度隨著變形過程而不斷變化，為此，B?RVIK 等[16?18]修正了應(yīng)力三軸度的計算公式。近年來，人們針對應(yīng)力三軸度對聚合物材料的影響進(jìn)行了研究。CASTAGNET等[19]發(fā)現(xiàn)當(dāng)三軸度越高時，徑向應(yīng)變的變化越小。BOISOT 等[20]用掃描電子顯微鏡(SEM)觀察聚酰胺11 斷流實驗中微切口表面，并結(jié)合數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)應(yīng)力三軸度隨徑向應(yīng)變增大而減小，在應(yīng)力軟化階段體積變化可以降低應(yīng)力三軸度比。OGNEDAL等[21]對含預(yù)加工缺口和不含預(yù)加工缺口的礦物填充聚氯乙烯(PVC)和HDPE 進(jìn)行拉伸實驗和數(shù)值模擬，證明了唯象型本構(gòu)模型可以在高應(yīng)力三軸度條件下得到應(yīng)用。PVC 材料是靜水壓力的敏感材料，塑性膨脹隨靜水應(yīng)力變化而變化，HDPE是非靜水壓力敏感材料，但當(dāng)應(yīng)力三軸度較高時體積變化明顯。HAN 等[22]通過實驗測試與數(shù)值模擬相結(jié)合的方法研究了應(yīng)力三軸度對PE 材料損傷的影響，發(fā)現(xiàn)損傷隨應(yīng)力三軸度增加而增大。SAWADA[23]采用指數(shù)函數(shù)法和有限元法研究了聚四氟乙烯斷裂前應(yīng)力三軸度與等效塑性應(yīng)變之間的關(guān)系。

相較于金屬材料，應(yīng)力三軸度對PE 的損傷斷裂機理尚不成熟。因此，本文采用實驗與數(shù)值模擬相結(jié)合的方法，建立不同應(yīng)力狀態(tài)條件下PE 材料的損傷本構(gòu)模型，分別得出有損傷與無損傷的真實應(yīng)力?應(yīng)變曲線，分析臨界損傷參數(shù)和臨界斷裂應(yīng)變隨應(yīng)力三軸度的變化，研究不同應(yīng)力狀態(tài)對PE材料損傷及斷裂的影響。

1 拉伸實驗

實驗的所有試樣均由HDPE材料加工而成。圓棒形缺口試樣可以有效模擬三軸應(yīng)力狀態(tài)，使單軸拉伸后的試樣的缺口處產(chǎn)生復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)[24]，因此，本文采用缺口半徑分別為20.0，5.0，2.0和0.5 mm的圓棒試樣進(jìn)行實驗。所有試樣均以1 mm/min 的恒定速度在實驗機上進(jìn)行單軸拉伸實驗，直至斷裂。試樣均為軸對稱結(jié)構(gòu)，缺口處的最小截面的直徑均為6 mm。圖1所示為試樣模型圖。

圖1 試樣模型圖Fig.1 Specimens models

2 數(shù)值模擬

2.1 有限元模型

利用ABAQUS/CAE(2016)建立缺口試樣的二維軸對稱有限元模型，確定試樣在變形過程中的真實應(yīng)力?應(yīng)變曲線和變形后的應(yīng)力三軸度、損傷參數(shù)及臨界斷裂應(yīng)變。

1)不考慮損傷的有限元模型。由于試樣具有幾何對稱性，所以采用圖1(b)所示的1/4 二維軸對稱模型。邊界條件與實驗條件一致，具體如下：AB邊限制x方向移動，BC邊限制y方向移動，在DE邊設(shè)置位移載荷，模擬采用的位移載荷與實驗的位移載荷相同。采用CAX8R 軸對稱8 節(jié)點單元對整個模型網(wǎng)格進(jìn)行有規(guī)則地劃分。

2)包含損傷的有限元模型。為了在ABAQUS中直觀看到模型的斷裂現(xiàn)象，在考慮損傷時采用圖1(c)中的1/2 二維軸對稱模型。邊界條件設(shè)置與不考慮損傷的有限元模型相同。

2.2 損傷本構(gòu)模型

PE的本構(gòu)模型和損傷模型是研究PE材料的力學(xué)性能的有效工具，近年來有很多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究，尋找一個與PE材料對應(yīng)的精確本構(gòu)模型。KWON 等[25]提出一種簡單的修正因子來確定有限元模型輸入所需要的等效Mises應(yīng)力，再現(xiàn)實驗所得的變形行為，且需要的迭代步驟也大幅減少。武艷霞等[24,26?28]采用KWON修正后的模型研究了PE材料，證明了KWON 修正后本構(gòu)模型的適用性。本文也使用KWON提出的本構(gòu)模型進(jìn)行研究。

本構(gòu)模型包括線彈性階段、非線性彈性階段、頸縮階段和應(yīng)變硬化階段4 個部分。NEALE 等[29]采用胡克定律描述線彈性階段的變形，KWON等[25]采用修正后OGDEN 公式[30]描述非線性彈性階段的變形，HUTCHINSON等[31]將G'SELL等[32]提出的經(jīng)驗公式進(jìn)行了修正，并描述了頸縮和應(yīng)變硬化階段的變形。

式中：σ為等效應(yīng)力，MPa；ε為等效應(yīng)變；εy為線彈性到非線彈性的臨界應(yīng)變點；εn為頸縮起始應(yīng)點；εn為硬化起始應(yīng)變點。其他參數(shù)如a，b，c，d，e，l，k，N，M，β，A，n和m均是用戶自定義參數(shù)，修改這些參數(shù)與應(yīng)變區(qū)間，直到可以通過有限元模擬重現(xiàn)實驗所得的工程應(yīng)力?位移曲線為止。

將由本構(gòu)模型得出的應(yīng)力?應(yīng)變曲線輸入有限元模型中，計算后得出工程應(yīng)力?位移曲線，當(dāng)由有限元模擬獲得的工程應(yīng)力?位移曲線與實驗吻合時，即得出準(zhǔn)確的有限元模型。

3 實驗與數(shù)值模擬結(jié)果

3.1 拉伸實驗結(jié)果

圖2所示為實驗得出的工程應(yīng)力?位移曲線，4種缺口試樣均拉伸至斷裂。由圖2可見：隨缺口半徑減小，屈服應(yīng)力逐漸增加，斷裂位移顯著減小。因此，PE 材料有明顯的缺口效應(yīng)，隨缺口半徑減小，PE材料由塑性轉(zhuǎn)為脆性。

圖2 缺口半徑為0.5，2.0，5.0和20.0 mm PE試樣的工程應(yīng)力?位移曲線Fig.2 Engineering stress-displacement curves from PE specimens with notch radii of 0.5,2.0,5.0 and 20.0 mm

3.2 數(shù)值模擬結(jié)果

3.2.1 不考慮損傷的數(shù)值模擬結(jié)果

圖3所示為實驗與有限元分析得出的工程應(yīng)力?位移曲線對比圖。從圖3可見：在不考慮損傷時，有限元模擬可以重現(xiàn)斷裂前的實驗結(jié)果，但不能模擬斷裂部分的應(yīng)力?應(yīng)變曲線。式(1)中具體的參數(shù)與應(yīng)變區(qū)間分別在表1與表2中列出。由實驗與有限元結(jié)合的方法得出的試樣變形過程中的真實應(yīng)力?應(yīng)變曲線如圖4 所示。由圖4 可見：在真實應(yīng)變小于0.3 時，缺口半徑越大，真實應(yīng)力越大；在應(yīng)變大于0.3時，隨缺口半徑減小，真實應(yīng)力增加越快；斷裂時，真實應(yīng)力隨缺口半徑增大而增大。

圖3 不同缺口半徑試樣實驗結(jié)果與有限元模擬結(jié)果的對比Fig.3 Comparison between experimental testing results and FE simulation results from specimens with different notch radius

表1 有限元模擬確定的公式(1)中參數(shù)值Table 1 Values for parameters in Eq.(1)determined from FE simulation

表2 有限元模擬確定的公式(1)中應(yīng)變范圍Table 2 Strain ranges in Eq.(1)determined from FE simulation

3.2.2 包含損傷的數(shù)值模擬結(jié)果

由圖3可見：在模擬中引入損傷模型后，有限元模擬可以重現(xiàn)試樣變形斷裂全過程，并得出圖4中的無損傷真實應(yīng)力?應(yīng)變曲線，表明本文得出的損傷模型可以準(zhǔn)確模擬PE材料的損傷斷裂。

PAWLAK等[33?34]發(fā)現(xiàn)HDPE材料在屈服點附近開始出現(xiàn)空洞，因此，認(rèn)為PE 材料在屈服點時開始損傷。本文采用CDM模型，模擬中采用的指數(shù)型損傷演化如圖5所示，具體參數(shù)見表3。

表3 有限元模擬中使用損傷參數(shù)Table 3 Damage parameter in FE simulation

圖5 有限元模擬中采用的損傷演化Fig.5 Damage evolution used in FE simulation

由圖4 可以看出損傷出現(xiàn)前的真實應(yīng)力?應(yīng)變曲線沒有變化，在損傷出現(xiàn)后，真實應(yīng)力較無損傷真實應(yīng)力明顯增加，且有損傷與無損傷真實應(yīng)力之間的差值隨缺口半徑減小而增大。

圖4 有損傷與無損傷的真實應(yīng)力?應(yīng)變曲線Fig.4 True stress-strain curves from damaged FE and undamaged FE

4 討論

4.1 不同階段應(yīng)力/應(yīng)變的分布規(guī)律

記錄最小橫截面上應(yīng)力應(yīng)變分布的取點位置如圖6 所示，據(jù)此研究PE 試樣拉伸到點1(屈服前)、點2(屈服點)、點3(應(yīng)變軟化)和點4(應(yīng)變硬化)橫截面上徑向/軸向應(yīng)力、應(yīng)變分布規(guī)律。徑向應(yīng)力在最小截面上沿徑向方向的變化如圖7 所示。從圖7 可見，4 個點的徑向應(yīng)力都隨缺口半徑減小而增大，且徑向應(yīng)力隨離中心點距離增大而減小。軸向應(yīng)力的變化趨勢與徑向應(yīng)力有所不同，從點1到點4，軸向應(yīng)力隨缺口半徑減小而減小，如圖8所示。

圖6 記錄最小橫截面上應(yīng)力應(yīng)變分布的取點位置Fig.6 Schematic description of the positions at which the stress and strain distribution within the minimum cross section is recorded

圖7 徑向應(yīng)力在PE試樣最小橫截面上沿徑向方向的變化Fig.7 Variation of radial stress along radial direction at minimum cross section of PE specimen

圖8 軸向應(yīng)力在PE試樣最小橫截面上沿徑向方向的變化Fig.8 Variation of axial stress along radial direction at minimum cross section of PE specimen

圖9所示為徑向應(yīng)變在最小截面上沿徑向方向的變化。從圖9可見：點1、點2和點3的變化趨勢相同；在橫截面的中心位置，徑向應(yīng)變變化平緩且隨缺口半徑增大而增大；在距中心點2 mm位置處徑向應(yīng)變開始有較大變化，最終在橫截面的邊界部位變?yōu)閺较驊?yīng)變隨缺口半徑增大而減小，點4的徑向應(yīng)變始終隨缺口半徑增大而增大。圖10 所示為軸向應(yīng)變在PE 試樣最小橫截面上沿徑向方向的變化，由圖10 可見軸向應(yīng)變變化與徑向應(yīng)變變化趨勢基本相同，徑向應(yīng)變與軸向應(yīng)變從1 點到4點持續(xù)增加。需要注意的是，圖7～10 中R0.5 試樣在點3 和點4 距中心點的距離小于3 mm 的原因是此時R0.5試樣已經(jīng)開始斷裂。

圖9 徑向應(yīng)變在PE試樣最小橫截面上沿徑向方向的變化Fig.9 Variation of radial strain along radial direction at minimum cross section of PE specimen

圖10 軸向應(yīng)變在PE試樣最小橫截面上沿徑向方向的變化Fig.10 Variation of axial strain along radial direction at minimum cross section of PE specimen

4.2 應(yīng)力三軸度

應(yīng)力三軸度定義為平均應(yīng)力與等效應(yīng)力的比[15]，計算公式為

4.2.1 應(yīng)力三軸度隨位置的變化

基于數(shù)值模擬得出損傷本構(gòu)模型，利用有限元得到4種缺口試樣單軸拉伸情況下試樣最小橫截面上應(yīng)力三軸度。X為取樣點到中心點的距離，將有限元分析得出的數(shù)據(jù)代入式(2)，得到如圖11 所示的4種不同缺口半徑的試樣應(yīng)力三軸度隨變化曲線。圖11 中的應(yīng)力三軸度均為變形最初階段的應(yīng)力三軸度。

圖11 4種試樣應(yīng)力三軸度隨X的變化曲線Fig.11 Variation of stress triaxiality with X for four specimens

從圖11 可見：R20，R5 和R2 這3 種試樣在最小截面中心部位(即X=0處)應(yīng)力三軸度最大，然后隨X增大，應(yīng)力三軸度減?。坏玆0.5 試樣的應(yīng)力三軸度在截面中心點到邊界的變化趨勢為先增大后減小，在X=2.25 mm 處應(yīng)力三軸度最大。因為應(yīng)力三軸度在最小截面上的分布不均勻，且最小截面中心處的應(yīng)力三軸度最大，所以，多數(shù)研究者都選用最小截面中心點的應(yīng)力三軸度。但是，這種選擇對缺口半徑小的試樣并不適合，因為對于缺口半徑小的試樣，其應(yīng)力三軸度最大的位置并不在中心點處，而在最小截面中心與邊界之間的某個位置。LAIARINANDRASANA 等[35,21]認(rèn)為當(dāng)試樣的最小直徑明顯大于缺口半徑R時，從試樣截面中心到邊界的應(yīng)力三軸度不再單調(diào)減小。

由圖11 還可以看出：隨缺口半徑減小，應(yīng)力三軸度明顯增加；且缺口半徑越大，應(yīng)力三軸度隨位置變化的曲線越趨于平滑。本文取每種試樣最小截面上的最大應(yīng)力三軸度作為修正后的應(yīng)力三軸度。R20，R5，R2 和R0.5 試樣的應(yīng)力三軸度分別取0.386 8，0.563 8，0.934 6和1.218 2。

4.2.2 應(yīng)力三軸度對損傷的影響

損傷變量D被定義為有損傷真實應(yīng)力與無損傷真實應(yīng)力的比，即

式中：σd為有損傷真實應(yīng)力；σn為無損傷真實應(yīng)力。

本文將每種試樣斷裂時真實應(yīng)力比作為該試樣臨界損傷參數(shù)，并應(yīng)用到有限元模擬中。將圖4中真實應(yīng)力代入式(3)，計算得出不同缺口半徑PE材料的損傷演化規(guī)律，如圖12 所示。由圖12 可見：缺口半徑越小，PE 材料的損傷發(fā)展越快。圖13 所示為臨界損傷參數(shù)和臨界斷裂應(yīng)變隨應(yīng)力三軸度的變化。由圖13 可見：隨應(yīng)力三軸度增加，臨界損傷參數(shù)也隨之增加。因此，損傷隨應(yīng)力三軸度增加而增大。

圖12 不同缺口試樣的損傷演化過程Fig.12 Damage evolution of different notched specimens

圖13 臨界損傷參數(shù)和臨界斷裂應(yīng)變隨應(yīng)力三軸度的變化Fig.13 Variation of critical damage parameter and critical fracture strain with stress triaxiality

4.2.3 應(yīng)力三軸度對斷裂的影響

圖14所示為R2試樣的等效應(yīng)變圖。由圖14(a)可見：最小截面上邊界處等效塑性應(yīng)變最大，離中心軸越近等效塑性應(yīng)變越小，與應(yīng)力三軸度在最小截面上的變化規(guī)律相反。由圖14(b)可見：試樣在最小截面的邊界處開始斷裂，即在等效塑性應(yīng)變最大處開始斷裂。其他3種缺口試樣等效塑性應(yīng)變在最小截面上的變化規(guī)律與斷裂起始位置都與R2 試樣的相同，這與B?RVIK 等[36]的研究結(jié)果一致。

圖14 R2試樣的等效應(yīng)變圖Fig.14 The equivalent strain diagram of R2 specimen

PE 材料拉伸變形很大，拉斷后的試樣直徑不便于直接測量，因此，利用有限元損傷模型獲得各試樣斷裂起始時的等效塑性應(yīng)變作為臨界斷裂應(yīng)變。應(yīng)力三軸度與臨界斷裂應(yīng)變的關(guān)系如圖13所示，可以看出臨界斷裂應(yīng)變隨應(yīng)力三軸度增大而減小。

5 結(jié)論

1)隨缺口半徑減小，屈服應(yīng)力逐漸增加，斷裂位移顯著減小。PE 材料有明顯缺口效應(yīng)，隨缺口半徑減小，PE材料由塑性轉(zhuǎn)為脆性。

2)有損傷和無損傷的真實應(yīng)力都在應(yīng)變小于0.3時隨著應(yīng)力三軸度減小而增大，在應(yīng)變大于0.3時，有損傷和無損傷的真實應(yīng)力隨著應(yīng)力三軸度增大而增大。在應(yīng)變相同時，無損傷與有損傷真實應(yīng)力之間的增幅隨缺口半徑減小而增大。

3)應(yīng)力三軸度在試樣最小橫截面上分布不均勻，隨著應(yīng)力三軸度增大，應(yīng)力三軸度最大位置由中心點向外移動到離中心點2/3半徑的位置；應(yīng)力三軸度隨著缺口半徑減小而增大。

4)損傷演化和臨界損傷參數(shù)隨應(yīng)力三軸度增加而增大，PE 材料的損傷隨應(yīng)力三軸度增加而增大。

5) 臨界斷裂應(yīng)變隨應(yīng)力三軸度增加而減小，三軸度越高的PE試樣越容易達(dá)到斷裂臨界點。