孟獻青

(1.山西大同大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，山西大同 037009;2.山西大同大學量子信息科學研究所，山西大同，037009）

冪級數(shù)求和函數(shù)是級數(shù)部分的重點和難點，冪級數(shù)的和函數(shù)在求數(shù)列極限、數(shù)項級數(shù)求和、不等式的證明、近似計算等方面都有著非常廣泛的應(yīng)用。雖然冪級數(shù)求和函數(shù)，主要是利用和函數(shù)的性質(zhì)，通過四則運算、逐項可導和逐項積分，轉(zhuǎn)化為常見的已知和函數(shù)的冪級數(shù)進行求解。但在學習過程中，部分同學遇到具體問題卻不知從何下手。著重討論了教學過程中遇到的三類冪級數(shù)的求和問題，并介紹了冪級數(shù)和函數(shù)的應(yīng)用。文中假定以下所有操作均在冪級數(shù)的收斂區(qū)間內(nèi)進行。

1 常用結(jié)論

2 主要內(nèi)容

2.1 p(n)在分子上

例1求下列冪級數(shù)的和函數(shù)。

解（1）與等比級數(shù)相比，需要消掉系數(shù)n，因為(xn)′=nxn-1，所以可以把nxn-1先替換成(xn)′，再根據(jù)冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)，先求等比級數(shù)的和，再求導進行計算。

（3）難點是n2，不能直接利用上面的方法，但是可以把系數(shù)做相應(yīng)的變形，從而把級數(shù)轉(zhuǎn)換成熟悉的類型進行求解。

2.2 p(n)在分母上

例2求下列冪級數(shù)的和函數(shù)。

（2）分母是n，分子的冪次是n+1，xn+1直接求導不能約去n，故可以先提出一個x，使分母和分子的冪次相同，然后再逐項求導，轉(zhuǎn)化成（1）的類型計算。

（3）分母是n+1，分子的冪次是n，xn直接求導不能約去n+1，故可以先乘x，使分母和分子的冪次都為n+1，然后再逐項求導，轉(zhuǎn)化成熟悉的類型進行計算。

（4）因為(xn+1)″=n(n+1)xn-1，所以先把分子的冪次變成n+1，通過兩次求導可以約去系數(shù)，然后轉(zhuǎn)換成公比是-x的等比級數(shù)進行計算。

因為S′(0)=0，

所以S′(x)=ln(1+x)。

因為S(0)=0，

所以S(x)=(1+x)ln(1+x)-x，(-1＜x≤1)。

2.3 p(n)中含有階乘

例3求下列冪級數(shù)的和函數(shù)。

解（1）由于該級數(shù)的分母中含有階乘，與ex的麥克勞林展開式比較相似，所以做適當?shù)淖冃?，利用公?進行求和。

（2）該級數(shù)的系數(shù)與正弦級數(shù)的麥克勞林展開式比較相似，但是分子上又包含n+1，所以難點是如何消去n+1，然后結(jié)合正弦函數(shù)的展開式進行計算。

冪級數(shù)求和函數(shù)常用的方法就是逐項求導和逐項積分，通過一些簡單的運算，把所求冪級數(shù)轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式進行求解。常用的解題思路是：如果冪級數(shù)的系數(shù)是n的有理整式或有理分式，可將該級數(shù)轉(zhuǎn)化為這兩種基本類型進行求解，主要利用的是等比級數(shù)求和。如果一般項分母中含有階乘，則可向ex,sinx,cosx的麥克勞林展開式轉(zhuǎn)化，從而得到新級數(shù)的和函數(shù)，再經(jīng)過轉(zhuǎn)化便可得到原級數(shù)的和函數(shù)。

3 冪級數(shù)和函數(shù)的應(yīng)用

3.1 求數(shù)項級數(shù)的和

數(shù)項級數(shù)求和是高等數(shù)學常見的一類題型，在高等數(shù)學競賽中和全國碩士研究生統(tǒng)一考試中頻頻出現(xiàn)。對于這種題型，通過觀察級數(shù)一般項的特征，構(gòu)造冪級數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為計算冪級數(shù)的和函數(shù)，再代入特殊值進行計算。

解觀察到級數(shù)的分母中含有(2n+1)!，不難猜測其求解過程與sinx或cosx的冪級數(shù)展開式有關(guān)，所以構(gòu)造冪級數(shù)，當x=1 時即為所求。令

則原式=S(1)=cos1+2sin1。

3.2 求數(shù)列的極限

極限是高等數(shù)學的基礎(chǔ)，它的計算靈活多樣，技巧性強，且各有優(yōu)點，用冪級數(shù)的和函數(shù)求極限是一種很重要的方法[3]。

解構(gòu)造冪級數(shù)時，即為所求。該級數(shù)的收斂半徑為R=1，先求冪級數(shù)的和函數(shù)。

3.3 求積分

積分的計算在高等數(shù)學中有著非常重要的作用，積分計算的技巧性特別強，積分常用的方法是換元法和分部積分法，然而對于某些積分，利用冪級數(shù)的和函數(shù)求解，會使求解變得特別簡單快捷[3]。

4 結(jié)語

介紹了常見的三種類型的冪級數(shù)求和函數(shù)的方法，并列舉了冪級數(shù)和函數(shù)的一些應(yīng)用。在計算和函數(shù)時，需要進行一些巧妙的處理，利用四則運算拆分成熟悉的冪級數(shù)求和，或者利用冪級數(shù)的性質(zhì)進行逐項求導或逐項積分，轉(zhuǎn)化成熟悉的類型進行求解。利用冪級數(shù)的和函數(shù)求解數(shù)項級數(shù)的和是歷年考試的一個重點，形式靈活多變。所以在高等數(shù)學的學習中，一定要多角度思考問題，做到融匯貫通，把各個知識點有機的結(jié)合起來，不斷探索新的、快捷的解題方法。