楊勝奇， 劉書田

(大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024)

1 引 言

層合板是由不同材料屬性的薄片通過(guò)某種工藝(如粘接)復(fù)合而成，具有輕質(zhì)、參數(shù)可設(shè)計(jì)性強(qiáng)和比強(qiáng)度比剛度高等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域。在層合板中，通常不同材料之間連接界面的力學(xué)性能最為薄弱。過(guò)大的層間剪應(yīng)力會(huì)導(dǎo)致層合板界面處發(fā)生分層破壞。分層破壞是層合板的主要失效形式[1]，如纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合板損傷失效50%以上是由分層引起[2]。因此，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)層合板的層間剪應(yīng)力尤為重要。

現(xiàn)已提出了大量的層合板分析理論[3-8]，如一階剪切變形理論[3]、高階剪切變形理論[4]和鋸齒理論[5-6]等。這些理論能夠準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)層合板的面內(nèi)應(yīng)力，然而大都無(wú)法直接通過(guò)本構(gòu)方程獲得準(zhǔn)確的橫向剪應(yīng)力[9]。為了獲得更準(zhǔn)確的橫向剪應(yīng)力，Whitney[10]提出了三維平衡方程后處理方法(TPM)，其廣泛應(yīng)用于層合板的橫向剪應(yīng)力預(yù)測(cè)[5,11-13]。然而，三維平衡方程后處理方法(TPM)需要計(jì)算面內(nèi)應(yīng)力的一階導(dǎo)，使得簡(jiǎn)單的低階單元無(wú)法使用TPM計(jì)算橫向剪應(yīng)力。以線性單元為例，其為常應(yīng)變單元，面內(nèi)應(yīng)力的一階導(dǎo)恒為零。因此，基于線性單元和三維平衡方程后處理方法得到的橫向剪應(yīng)力也恒為零。為了使用TPM獲得更準(zhǔn)確的橫向剪應(yīng)力，常使用高階單元，如六節(jié)點(diǎn)三角形單元[11]、八節(jié)點(diǎn)四邊形單元[12]和九節(jié)點(diǎn)四邊形單元[13]。但高階單元的使用往往會(huì)造成節(jié)點(diǎn)數(shù)目的增多和計(jì)算效率的降低。此外，還可以通過(guò)使用局部應(yīng)變光順[14]或局部應(yīng)力光順[15]的方法來(lái)獲得面內(nèi)應(yīng)力的一階導(dǎo)。這類方法能夠使用TPM有效地獲得少量節(jié)點(diǎn)的橫向剪應(yīng)力。然而，如果想要獲得所有節(jié)點(diǎn)的橫向剪應(yīng)力，需要花費(fèi)非常多的計(jì)算時(shí)間。因此，需要發(fā)展一種高效的新后處理方法來(lái)預(yù)測(cè)層合板的橫向剪切應(yīng)力。

本文提出了一種新后處理方法來(lái)預(yù)測(cè)層合板的橫向剪應(yīng)力。其優(yōu)點(diǎn)在于可以使用低階單元來(lái)預(yù)測(cè)層合板的層間剪應(yīng)力?；谛拚忼X理論(RZT)[5]和新后處理方法，本文構(gòu)造C0連續(xù)的三節(jié)點(diǎn)三角形線性板單元。幾個(gè)典型算例驗(yàn)證了新后處理方法的計(jì)算精度以及提出板單元的計(jì)算效率和精度。

2 修正鋸齒理論(RZT)

修正鋸齒理論(RZT)是一種C0型鋸齒理論，基于RZT，層合板的位移場(chǎng)[5]可表示為

w(x,y,z)=w0(x,y)

(1)

(2)

3 三維平衡方程后處理方法(TPM)

基于修正鋸齒理論，直接通過(guò)本構(gòu)方程得到的橫向剪應(yīng)力精度低。為了獲得更為精確的橫向剪應(yīng)力，常使用三維平衡方程后處理方法。忽略體力，三維平衡方程可表示為

(3)

應(yīng)用自由表面條件，由三維平衡方程得到的橫向剪應(yīng)力表達(dá)式可表示為

(4)

對(duì)于正交鋪層層合板，可以使用兩個(gè)獨(dú)立的圓柱彎曲[16]來(lái)進(jìn)一步簡(jiǎn)化式(4)，式(4)可以重寫為

(5)

4 新后處理方法(NPM)

為了消除式(5)位移參數(shù)的二階導(dǎo)，提出一種虛功等效法。虛功等效法假定由本構(gòu)關(guān)系獲得的橫向剪應(yīng)力在虛剪應(yīng)變上做的功等于由三維平衡方程獲得的橫向剪應(yīng)力在虛剪應(yīng)變上做的功?；谔摴Φ刃Хǎ傻?/p>

(6)

將本構(gòu)方程和式(5)代入式(6)，可得到由新后處理方法(NPM)獲得的橫向剪應(yīng)力的表達(dá)式為

(7)

5 C0連續(xù)的三節(jié)點(diǎn)三角形單元

基于修正鋸齒理論和新后處理方法，構(gòu)造一種有效的C0連續(xù)的三節(jié)點(diǎn)三角形線性板單元。對(duì)于三節(jié)點(diǎn)三角形單元，位移參數(shù)可以離散為

(8)

式中Li為面積坐標(biāo)。

基于幾何方程，單元應(yīng)變向量可以表示為

ε=Bδe

(9)

式中節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變量參數(shù)向量δe和單元應(yīng)變矩陣B分別為

(10)

B=(B1,B2,B3)

(11)

基于新后處理方法，將式(8)代入由新后處理方法獲得的橫向剪應(yīng)力式(7)，可得

(12)

6 算 例

采用不同的復(fù)合材料層合板和復(fù)合材料測(cè)試所提出的新后處理方法的計(jì)算精度以及基于該方法提出板單元的計(jì)算效率和精度。選用層合板算例的材料特性和鋪層順序分別列入表1和表2。為了便于對(duì)比研究，橫向剪應(yīng)力的無(wú)量綱化為

表1 材料特性(單位：GPa)

6.1 新后處理方法的計(jì)算精度評(píng)估

為了評(píng)估新后處理方法的計(jì)算精度，選取具有三維彈性解(Exact)的承受雙正弦載荷的簡(jiǎn)支層合板(Laminate A)進(jìn)行研究。為了避免網(wǎng)格密度的影響，用解析法研究新后處理方法的計(jì)算精度。基于修正鋸齒理論(RZT)，分別由本構(gòu)方程(CE)、三維平衡方程后處理方法(TPM)和新后處理方法(NPM)得到層合板的橫向剪應(yīng)力，如圖1所示?？梢钥闯?，新后處理方法和三維平衡方程后處理方法具有相同的計(jì)算精度。與三維彈性解(Exact)[17]對(duì)比可知，由本構(gòu)方程獲得的橫向剪應(yīng)力存在較大誤差，修正鋸齒理論(RZT)結(jié)合后處理方法能夠獲得高精度的橫向剪應(yīng)力。

6.2 提出板單元的計(jì)算效率和計(jì)算精度評(píng)估

本文基于修正鋸齒理論(RZT)和新后處理方法(NPT)構(gòu)造一種C0連續(xù)的三節(jié)點(diǎn)三角形單元，為了評(píng)估提出單元的計(jì)算效率，與基于三維平衡方程后處理方法的六節(jié)點(diǎn)三角形單元[11]進(jìn)行對(duì)比。表3給出了不同網(wǎng)格下兩個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)目和計(jì)算耗時(shí)。對(duì)于相同的網(wǎng)格(12×12)，六節(jié)點(diǎn)三角形單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)目是三節(jié)點(diǎn)三角形單元的3.7倍，六節(jié)點(diǎn)三角形單元的計(jì)算時(shí)間是三節(jié)點(diǎn)三角形單元的11.43倍。并且隨著網(wǎng)格的加密，倍數(shù)呈現(xiàn)逐漸增大的趨勢(shì)。本文進(jìn)一步比較了在相同計(jì)算精度下兩種單元的計(jì)算耗時(shí)。由表4可知，當(dāng)單元的最大誤差為0.8%時(shí)，三節(jié)點(diǎn)三角形單元網(wǎng)格數(shù)為20×20，計(jì)算耗時(shí)為1.74 s(表3)，六節(jié)點(diǎn)三角形單元的網(wǎng)格數(shù)為12×12，計(jì)算耗時(shí)為3.20 s(表3)。通過(guò)對(duì)比可知，基于新后處理方法構(gòu)造的三節(jié)點(diǎn)三角形板單元比基于三維平衡方程后處理方法構(gòu)造的六節(jié)點(diǎn)三角形單元具有更高的計(jì)算效率。

圖1 層合板的橫向剪應(yīng)力對(duì)比(Laminate A,a /h=4)

表3 兩種板單元自由度數(shù)及計(jì)算時(shí)間的比較

圖2和圖3給出了由提出的線性板單元獲得的不同夾層板的橫向剪應(yīng)力。Laminate B是由單層面板和芯層構(gòu)成的三層夾層板，Laminate C的面板是由多層復(fù)合材料層合板構(gòu)成?？梢钥闯觯岢龅陌鍐卧Y(jié)合新后處理方法(NPM)獲得的橫向剪應(yīng)力與三維彈性解(Exact)[17]吻合較好，而由本構(gòu)方程(CE)獲得的橫向剪應(yīng)力具有較大誤差。

圖2 三層夾層板的橫向剪應(yīng)力對(duì)比(Laminate B,a /h =4)

圖3 多層夾層板的橫向剪應(yīng)力對(duì)比(Laminate C,a /h =10)

6.3 基于新后處理方法和商用軟件預(yù)測(cè)層合板的層間應(yīng)力

工程中常用3維單元計(jì)算層合板的層間應(yīng)力，該方法存在計(jì)算效率低的缺點(diǎn)。而使用商用軟件中現(xiàn)有的板殼單元，只能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)層合板的變形和面內(nèi)應(yīng)力，無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)層間剪應(yīng)力。由于使用新后處理方法計(jì)算層間剪應(yīng)力具有無(wú)需提高單元階次的優(yōu)點(diǎn)。因此，可以結(jié)合商用軟件和新后處理方法來(lái)預(yù)測(cè)層合板的層間剪應(yīng)力。本文結(jié)合Abaqus和新后處理方法，驗(yàn)證上述思路的可行性。首先，基于Abaqus的S4R5薄殼單元(對(duì)應(yīng)一階剪切變形理論)，獲得層合板的節(jié)點(diǎn)位移；然后使用獲得的節(jié)點(diǎn)位移和新后處理方法，獲得層合板的層間應(yīng)力。本文以承受正弦載荷(q=q0sin(πx/a))的對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊自由的層合板(Laminate A)來(lái)驗(yàn)證該方法的精度。層合板厚度為3 mm，長(zhǎng)和寬為 60 mm。圖4給出了不同方法預(yù)測(cè)的層合板的橫向剪應(yīng)力。3D -FE表示由Abaqus軟件使用3維單元(C3D8R)預(yù)測(cè)的結(jié)果。FSDT+NPM表示先由Abaqus軟件使用薄殼單元(S4R5)獲得節(jié)點(diǎn)位移，然后由新后處理方法獲得的橫向剪應(yīng)力。在劃分相同面內(nèi)網(wǎng)格情況(60×60)下，3D -FE自由度數(shù)為692106，殼單元自由度為18605，3D -FE的自由度數(shù)是殼單元的37.2倍。可以看出，F(xiàn)SDT+NPM的預(yù)測(cè)結(jié)果與3D -FE結(jié)果和三維彈性解(Exact)[17]吻合較好，證明基于新后處理方法和商用軟件預(yù)測(cè)層合板的層間應(yīng)力是可行的。此外，由于針對(duì)特定單元，由新后處理方法獲得橫向剪應(yīng)力的表達(dá)式(7)可以顯式給出，新后處理方法也可以很容易集成到商用軟件中。

圖4 層合板的橫向剪應(yīng)力對(duì)比(Laminate A,a /h =20)

7 結(jié) 論

為了實(shí)現(xiàn)使用低階單元準(zhǔn)確預(yù)測(cè)層合板層間剪應(yīng)力的目的，本文提出了一種新后處理方法。該方法使用虛功等效法消除了三維平衡方程后處理方法中產(chǎn)生的位移參數(shù)高階導(dǎo)，解決了三維平衡方程后處理方法無(wú)法使用低階單元計(jì)算層間剪應(yīng)力的難題?；谛拚忼X理論和新后處理方法，構(gòu)造了一種C0連續(xù)的三節(jié)點(diǎn)三角形線性單元。通過(guò)經(jīng)典算例驗(yàn)證了新后處理方法的計(jì)算精度以及提出線性單元的計(jì)算效率和精度，可得到如下結(jié)論。

(1) 新后處理方法和三維平衡方法后處理方法具有相同的計(jì)算精度。

(2) 基于新后處理方法和修正鋸齒理論，僅使用線性單元就可以獲得高精度的橫向剪應(yīng)力。

(3) 新后處理方法結(jié)合現(xiàn)有的有限元商用軟件，可以高效高精度地預(yù)測(cè)層合板的層間剪應(yīng)力。

附錄A:

(A1)

(i=1～3)(A2)

ei為三維單位列向量。