趙 巖， 劉 凡， 孫曉旭

(大連理工大學 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室 工程力學系，大連 116024)

1 引 言

不確定性因素廣泛存在于各工程領域，通常應用的確定性模型只是實際結(jié)構(gòu)的一種近似模型化方式，以確定性分析嚴格作為結(jié)構(gòu)設計標準將會帶來一定的風險。采用隨機結(jié)構(gòu)模型是實際結(jié)構(gòu)更為合理的模型化方法，目前，考慮不確定性因素在結(jié)構(gòu)中的傳播及合理度量不確定性因素對結(jié)構(gòu)響應的影響已經(jīng)成為動力學研究的重要課題[1-3]。

在關于不確定性分析的研究工作中，最早應用的攝動技術(shù)是比較流行的方法，在實際應用中通常采用二階截斷展開,對于更高階情形的求解將會變得非常復雜。此外，攝動法一般只適用于小尺度變異的隨機問題，成為其固有的缺陷[4]。吳鋒等[5]提出了快速攝動法，較好地解決了攝動法的復雜展開計算問題。蒙特卡洛方法MC(Monte Carlo method)是處理不確定動力學問題的另一種有效方法，其基于樣本分析的策略能夠有效應用于線性和非線性問題等各研究領域[6,7]；其較為明顯的不足之處在于收斂效率問題，為了得到可靠的計算結(jié)果，需要較高的樣本數(shù)量[4]。目前，針對小樣本的MC方法成為研究的一個主要方向[8,9]。

對于不確定結(jié)構(gòu)動力學，譜隨機方法植根于概率和測度空間的豐富數(shù)學基礎之中，近年來成為處理不確定問題的重要手段。Cameron-Martin定理指出，在L2空間中任意二階隨機過程可以由正交多項式序列予以均方逼近，成為譜隨機方法的核心出發(fā)點?；诙囗検奖平腉alerkin映射方法成功應用于動力學問題分析。由于需要求解的方程組規(guī)模遠大于原始隨機問題，當涉及隨機因素較多時，矩陣維度會顯著增加，該方法只能用于簡單的分析模型[10,11]。維數(shù)分解法[12,13]采用一組變量維數(shù)逐次增加的成員函數(shù)對原高維隨機函數(shù)進行分解，是一種有限、分層且收斂的展開，實現(xiàn)了降維目的。之后，Rahman將成員函數(shù)進行Fourier展開，提出了多項式維數(shù)分解法，即PDD(Polynomial dimensional decomposition)方法[14]。該方法給出了原隨機函數(shù)關于隨機變量的簡單映射關系，能夠根據(jù)展開系數(shù)快速求得原隨機函數(shù)的統(tǒng)計矩，已廣泛應用于靈敏度分析[15]、不確定性設計[16]和隨機動力系統(tǒng)頻域穩(wěn)態(tài)分析[17]等，顯示出良好的應用前景。

本文將上述PDD方法推廣用于不確定結(jié)構(gòu)的時域響應分析，采用參數(shù)概率模型來描述不確定性，建立隨機結(jié)構(gòu)動力學方程。將結(jié)構(gòu)不確定時域響應表達為不確定參數(shù)的函數(shù)，進一步將關心的不確定時域響應進行維數(shù)分解，并利用正交多項式進行Fourier展開。采用降維積分方法進行展開系數(shù)的計算，并最終進行不確定結(jié)構(gòu)響應統(tǒng)計量隨時間演變過程的分析。數(shù)值算例中，通過具有解析解的不確定單自由度動力響應分析驗證所提出方法的正確性，進而采用具有不確定參數(shù)的多自由度桁架結(jié)構(gòu)進行了方法的一般性應用，并同MC方法進行對比，驗證所建立方法的有效性。

2 具有不確定參數(shù)結(jié)構(gòu)的運動方程

在實際的工程結(jié)構(gòu)中，由于不確定的材料物理參數(shù)和不可避免的加工制造誤差等廣泛存在的不確定性，使得結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量等參數(shù)也具有不確定性。假定結(jié)構(gòu)中所有的不確定參數(shù)均為服從特定概率密度分布的獨立隨機變量，并假定外荷載與結(jié)構(gòu)的不確定參數(shù)相互獨立。此時，具有不確定參數(shù)結(jié)構(gòu)在外荷載作用下的運動方程可表示為

(1)

x(t,ξ)=G(t,ξ1,ξ2,…,ξN)

(2)

由于結(jié)構(gòu)中存在不確定參數(shù)，使得結(jié)構(gòu)的時域響應向量x(t,ξ)的每一個元素在任意時間t處都是關于不確定參數(shù)ξ的函數(shù)。對于大型復雜結(jié)構(gòu)而言，往往只關心結(jié)構(gòu)部分節(jié)點的響應，假設x(t,ξ)是x(t,ξ)的某一個觀測自由度，將其表示為關于ξ的函數(shù)

x(t,ξ)=g(t,ξ1,ξ2,…,ξN)

(3)

本文利用PDD方法對式(3)的結(jié)構(gòu)響應函數(shù)在每個時間步處進行維數(shù)分解和Fourier展開，進一步利用展開系數(shù)計算得到結(jié)構(gòu)響應的均值和標準差。

3 時域響應分析的PDD方法

3.1 多項式維數(shù)分解法

將結(jié)構(gòu)時域響應x(t,ξ)進行維數(shù)分解并取P元近似，可表示為[14]

(4)

式(4)可視為對多元隨機函數(shù)x(t,ξ)，采用一組變量維數(shù)逐次增加的成員函數(shù)進行分層近似，且這種分層近似在每一時間步t內(nèi)進行。在式(4)中

(5)

將式(4)的成員函數(shù)進行Fourier展開，并取前m階截斷，將其表示為展開系數(shù)與正交多項式基底的乘積形式

(6)

式中P取1,2,3時分別對應一元、二元和三元展開系數(shù)。式(6)的展開系數(shù)可按式(7)計算

(7)

式中Ψj(ξi)表示第i個隨機變量ξi的第j階正交多項式基底，關于展開系數(shù)和正交多項式基底的內(nèi)容可參見文獻[14]。利用式(6)的Fourier展開后，可將原來沒有顯示映射關系的成員函數(shù)近似表達為簡單的函數(shù)映射關系，再根據(jù)式(4)，便能夠得到結(jié)構(gòu)響應函數(shù)x(t,ξ)的顯式函數(shù)映射關系。

在對結(jié)構(gòu)時域響應進行維數(shù)分解和Fourier展開后，響應的均值和方差可按式(8,9)計算[18]。

E[x(t,ξ)]=x0(t)

(8)

(9)

相應地，可由式(9)得到結(jié)構(gòu)時域響應標準差SD(Standard deviation)的計算公式。

3.2 降維積分方法

在計算式(5)的x0(t)和式(7)的Ci1…iPj1…jP(t)時，需要進行N維積分，當隨機變量維數(shù)較大時，計算成本高昂，對此本文采用降維積分方法[14]。令c={c1,c2,…，cN}T為隨機變量ξ的均值，將x(t,ξ)的N-(R-q)個隨機變量用c相對應的均值代替，得到x(t,ξ)的R-q階近似為

xR -q(t,ξ)=x(t,c1,c2,…,cq1-1,ξq1,cq1+1,…,

(10)

此處，P≤R≤N(q=0,1,…,R)。如當R=1時，0維分量函數(shù)(對應q=1)對于給定的時間t是一個常量x(t,c)，一維分量函數(shù)(對應q=0)對于給定的時間t是N個一元函數(shù)x(t,ξ1,c2,…,cN)，x(t,c1,ξ2,c3,…,cN)，…，x(t,c1,c2,…,cN -1,ξN)。定義函數(shù)x(t,ξ)的R元近似

(11)

3.3 計算量分析

4 數(shù)值算例

給出2個數(shù)值算例，分別為具有不確定參數(shù)的單自由度系統(tǒng)和10桿桁架結(jié)構(gòu)，用于驗證本文提出的PDD方法的精確性和計算效率。在單自由度系統(tǒng)算例中，系統(tǒng)僅含有1個不確定參數(shù)，主要用于研究PDD方法中多項式基底數(shù)目對標準差計算精度的影響。在10桿桁架算例中，結(jié)構(gòu)中存在12個不確定參數(shù)，主要用于研究不同R值對均值的影響，以及研究不同R,P和m值對標準差計算精度的影響。算例1中，解析解和MC模擬結(jié)果將作為PDD方法計算結(jié)果的參照。算例2中，MC模擬結(jié)果將作為PDD方法計算結(jié)果的參照。

4.1 單自由度系統(tǒng)

單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動方程可表示為[1]

(12)

分別采用MC和PDD兩種方法計算系統(tǒng)位移響應的均值和標準差，分析時間為0 s～15 s，時間步長取0.01 s。MC方法的樣本數(shù)量取105，PDD方法中多項式基底數(shù)目取12，采用解析積分計算均值和展開系數(shù)。根據(jù)文獻[1]給出的系統(tǒng)位移響應均值以及標準差的解析表達式計算得到的結(jié)果，作為本文PDD方法的參照。

圖1給出了分別由PDD方法和MC方法計算得到的系統(tǒng)位移響應均值曲線，可以看出，PDD方法計算得到的系統(tǒng)位移響應均值與解析解及MC模擬結(jié)果吻合良好。實際上，在該算例中只有一個隨機變量，由PDD方法的展開系數(shù)計算式(5)可知，當采用解析積分時，PDD方法計算得到的均值與解析解是完全一致的。值得注意的是，對于算例中的隨機系統(tǒng)，其響應的均值呈現(xiàn)出衰減的趨勢，當時間t→∞時，響應的均值為0。無阻尼確定參數(shù)系統(tǒng)的響應不會隨時間衰減，這表明確定系統(tǒng)響應和不確定系統(tǒng)響應有顯著不同[1]。

圖1 位移響應均值

圖2給出了PDD方法和MC方法計算得到的系統(tǒng)位移響應標準差。可以看出，當基底數(shù)目很少時，PDD方法計算得到的標準差在初始的一段時間里能夠和MC模擬結(jié)果以及解析解相吻合，但隨著時間的增大，吻合程度逐漸變差。當增加基底數(shù)目時，PDD方法計算得到的標準差在更長的一段時間內(nèi)與MC模擬結(jié)果及解析解相吻合。由此可知，在PDD方法中可以通過增加基底數(shù)目以獲取更加精確的計算結(jié)果。由系統(tǒng)響應均值和二階原點矩的解析表達式可知，當t→∞時，響應方差會逐漸收斂于穩(wěn)定值，因此可以只計算相對足夠長的一段時間內(nèi)的標準差即可。在此算例中，PDD方法取合適的基底數(shù)目(如m=12)便足夠，不需要取無窮多項。

圖2 位移響應標準差

4.2 10桿桁架

圖3 10桿桁架

表1 桁架隨機變量參數(shù)

圖4給出了采用PDD方法和MC方法計算得到的桿3軸向應力均值。可以看出，PDD方法計算得到的結(jié)構(gòu)響應均值曲線與MC方法結(jié)果吻合良好，即使取R=1，也能得到與MC方法相吻合的結(jié)果，這表明PDD方法具有足夠的精確性。

圖4 桿3軸向應力均值

圖5給出了PDD方法和MC方法計算得到的結(jié)構(gòu)響應標準差。在PDD方法中，P分別取1，2和3用于對比不同P值對結(jié)構(gòu)響應標準差的影響。可以看出，當P=1時，PDD方法計算得到的響應曲線與MC方法模擬結(jié)果稍有偏差，但隨著P的增大，PDD方法計算結(jié)果與MC方法結(jié)果吻合程度更好，表明在PDD方法中可以通過增大P的取值來提高計算精度。

圖6和圖7分別給出了PDD方法在不同R和P值(R=P)以及不同多項式基底數(shù)目m時，計算得到的結(jié)構(gòu)響應標準差與MC方法模擬結(jié)果的對比曲線?？梢钥闯?，在PDD方法中，增大R，P或m的值均能夠提高計算精度。在該算例中，取R=P=2時便能夠得到與MC方法非常吻合的計算結(jié)果。

圖5 不同P值時的桿3軸向應力標準差

圖6 不同m值時的桿3軸向應力標準差

圖7 不同R值和P值時的桿3軸向應力標準差

表2給出了PDD方法與MC方法所需的時域響應分析次數(shù)，由表中數(shù)據(jù)可知，PDD方法所需時域響應分析次數(shù)遠少于MC方法。雖然本文給出了R=P=3的PDD方法計算結(jié)果，但實際上取R=P=2時便有與MC方法相當?shù)木龋鳳DD方法所需的時域分析次數(shù)僅為289次，不到MC方法所需次數(shù)的3%，采用PDD方法可節(jié)省大量的分析時間。對比PDD方法不同R和P值時的分析次數(shù)可知，隨著降維積分變量數(shù)目的增加，動力學響應分析所需的次數(shù)也會增加，在應用PDD方法時，可以使P與R取相同的值，這樣既能提高精度，且不會增加額外的計算量。

表2 時域響應分析次數(shù)

PDD方法中，在每個積分節(jié)點處進行的時域響應計算與確定參數(shù)結(jié)構(gòu)的時域響應計算的基本原理是一致的，其計算精度和效率依賴于選取的時域積分方法和積分時間步長。常用的時域積分方法如Newmark法和精細積分法等在PDD方法中均能適用。

5 結(jié) 論

本文針對具有不確定參數(shù)結(jié)構(gòu)時域響應求解問題提出了PDD方法。首先將結(jié)構(gòu)時域響應表達為關于結(jié)構(gòu)不確定參數(shù)的函數(shù)，然后采用一組變量數(shù)目逐次增加的成員函數(shù)對結(jié)構(gòu)響應函數(shù)進行維數(shù)分解，并對成員函數(shù)進行Fourier展開，利用正交多項式基底給出成員函數(shù)的近似表達，并給出了由展開系數(shù)計算結(jié)構(gòu)響應均值和標準差的表達式。提出的方法將復雜且非顯式的函數(shù)映射關系表達為顯式的函數(shù)映射關系。此外，該方法利用了降維積分法，將原來的高維問題轉(zhuǎn)化為更低維度的問題，適用于多維和高維問題的分析。數(shù)值算例結(jié)果表明，提出的方法具有足夠的精確性，且比MC方法更加高效，為具有不確定參數(shù)復雜結(jié)構(gòu)動力學響應分析提供了一種準確和有效的求解方法。