崔小斌， 季文杰

（1.南京工業(yè)大學數(shù)理科學學院，南京211816；2.南京大學物理學院，南京210093）

0 引 言

“電磁場與電磁波”課程是大學物理類、電氣電子類和通信類專業(yè)的重要必修基礎課［1-6］。在此課程中，主要教學內(nèi)容都與以偏微分方程組形式描述的麥克斯韋方程組有關［7-8］。對于學生來說麥克斯韋方程組過于抽象，學生很難準確理解公式背后的物理內(nèi)涵和圖形。在此課程的教學中，如能將抽象的數(shù)學公式，以清晰、直觀的圖形或動畫形式呈現(xiàn)出來，則會極大地幫助學生理解相關的物理原理和內(nèi)涵。

COMSOL Multiphysics軟件是基于有限元法（Finite Element Method，F(xiàn)EM）開發(fā)的一種求解偏微分方程邊值問題近似解的數(shù)值軟件，該軟件帶有的電磁波模塊可以很好地用來計算和研究電磁波的傳播。COMSOL軟件具有圖形界面直觀、參數(shù)設置簡單、仿真能力強大等特點，同時帶有豐富的后處理功能，可將抽象的數(shù)學公式以各種曲線、圖片及動畫的形式輸出與分析。目前，該軟件已被廣泛地應用于電磁場與電磁波領域的前沿研究，例如：等離激元學［9-10］、光學超材料［11-12］等。

針對當前“電磁場與電磁波”課程教學的現(xiàn)狀［13-15］，以服務課程教學為目的，探索將有限元仿真引入到課程教學。利用COMSOL軟件自帶的APP開發(fā)工具，以金屬矩形波導內(nèi)電磁波物理性質(zhì)仿真為例，設計一個帶有圖形用戶界面（Graphical User Interface，GUI）的有限元仿真實驗，該仿真實驗可以清晰、真實地模擬電磁波在金屬矩形波導中傳播的過程，有助于學生對矩形波導部分學習內(nèi)容的理解。這種有限元仿真的方法也可推廣到該課程內(nèi)其余內(nèi)容的教學，對提升學生的學習興趣有一定的促進作用。

1 仿真系統(tǒng)開發(fā)

金屬矩形波導電磁性質(zhì)仿真系統(tǒng)主要由矩形波導仿真計算模塊和仿真GUI界面兩部分組成。矩形波導仿真計算模塊依托COMSOL軟件的有限元處理能力，保證了仿真的可靠性和運算效率。仿真GUI界面基于COMSOL軟件APP的開發(fā)環(huán)境開發(fā)，主要包括仿真系統(tǒng)的參數(shù)設置和仿真結果的顯示。GUI界面提供了仿真時的圖形交互式界面，降低學生使用COMSOL軟件的要求，對提升學生學習興趣有一定的幫助。

1.1 仿真計算模型開發(fā)

利用COMSOL軟件開發(fā)矩形波導仿真模塊，在模型開發(fā)向?qū)е幸来芜x擇三維模型→電磁波物理場→頻域分析。在幾何模塊建立如圖1所示矩形波導模型，設置波導管尺寸；設置波導內(nèi)介質(zhì)材料參數(shù)；在物理場部分設置波導的邊界條件和激勵源。將波導壁設為理想導體。在波導沿z軸方向的兩個開口端設置兩個波導的端口，即：電磁波發(fā)射和接收端口。在發(fā)射端口將端口類型設為“矩形”，端口波激勵設為“開”，接收端口設置保持不變。

圖1 金屬矩形波導的結構示意圖

1.2 仿真GUI界面開發(fā)

在仿真模型開發(fā)和測試無誤之后，利用COMSOL Multiphysics軟件的APP開發(fā)器功能，將上述模型編制成“金屬矩形波導電磁性質(zhì)仿真軟件”程序，并設計程序GUI界面。GUI界面主要包括參數(shù)輸入、功能按鈕和結果顯示區(qū)3部分。

參數(shù)輸入?yún)^(qū)用于輸入矩形波導仿真必需的參數(shù)，包括波導的幾何尺寸、波導中介質(zhì)的物理參數(shù)（相對介電常數(shù)，相對磁導率和電導率）、傳播模式選擇和工作頻率。在參數(shù)輸入?yún)^(qū)下方設置了一個“計算截止頻率”按鈕，根據(jù)輸入的幾何尺寸和選定的傳播模式，點擊按鈕，就會顯示相應波導模式的截止頻率，便于學生仿真時選擇波導工作頻率。

功能按鈕區(qū)包括“計算”“報告生成”和7個結果顯示按鈕。參數(shù)輸入完成后，點擊“計算”按鈕，程序會按照輸入?yún)?shù)進行計算，并將“結果”在結果顯示區(qū)顯示。7個結果顯示按鈕包括6個查看所需重要結果的按鈕和1個“動畫”按鈕，通過點擊這個7個按鈕可以在設定的多個重要視角觀察波導內(nèi)電磁波的各種性質(zhì)。也可在結果顯示區(qū)內(nèi)用鼠標對模型拖動、旋轉(zhuǎn)和縮放，從不同角度觀察結果。當仿真結束時，點擊“報告生成”按鈕，可將仿真結果以PDF格式文件提交。

2 仿真軟件計算案例

在金屬矩形波導中，允許傳播的導行電磁波有橫電波（TE波）和橫磁波（TM波）兩種模式。由于主模在波導管研究中最具意義，本文基于編制的仿真軟件詳細討論TE10模式橫電波在矩形波導中的傳播特性，并對TM11模式橫磁波在波導中的傳播特性做簡單介紹。為與仿真結果對照，給出金屬矩形波導TE10模式和TM11模式電磁波的主要理論公式。

2.1 金屬矩形波導電磁性質(zhì)的理論公式

如圖1所示的金屬矩形波導，其腔體內(nèi)為真空、波導壁為金屬導體，波導管矩形截面的長邊尺寸為a，沿x軸方向；短邊尺寸為b，沿y軸方向。假設波導中導波的傳播方向沿z軸方向，對于角頻率為ω的時諧場，波導內(nèi)電磁場可表示為：式為傳播常數(shù)，表征導波系統(tǒng)中電磁場的傳播特性；kc為截止波數(shù)；k為傳播波波數(shù)。E（x，y）、H（x，y）為導波系統(tǒng)中垂直于z軸平面內(nèi)的電場和磁場分布。將式（1）代入到麥克斯韋方程組，再結合金屬矩形波導邊界條件，即可求解出矩形波導中電磁波的電磁場瞬時場分布［1］。

（1）TE10模式。利用波動方程和邊界條件，可解析推導出金屬矩形波導中TE10波的電場、磁場的理論公式［1-3］。電磁場各分量如下：

式中：ω為電磁波的角頻率；μ0為真空磁導率；H0為磁場強度分量Hz的振幅；β為相位常數(shù)。

基于式（2）并由理想導體表面邊界條件：

式中：n為波導腔壁表面的外法向單位矢量；H為內(nèi)壁表面磁場矢量?？梢缘玫浇饘倬匦尾▽У?個內(nèi)腔壁上的電流密度瞬時值：

式中，ex、ey、ez分別為沿x、y、z軸的單位矢量。

（2）TM11模式。對于TM11模式，由于Hz=0，根據(jù)波動方程和邊界條件可得該模式下電磁場各分量分別為：

式中：ε0為真空介電常數(shù)；E0為電場強度分量Ez的振幅。

在矩形波導中，TE波和TM波電場E和磁場H的關系分別為：

式中，ZTE、ZTM分別為兩種模式下波阻抗。

2.2 TE10模式仿真

在參數(shù)輸入?yún)^(qū)內(nèi)，將波導幾何尺寸設置為：a=60 mm；b=20 mm；L=200 mm；μr=εr=1；G=0（電導率）。選擇計算TE10模式，點擊截止頻率按鈕，界面上會顯示該模式在此條件下的截止頻率為2.49 GHz。根據(jù)截止頻率，設置導波工作頻率為3 GHz，點擊“計算”按鈕，即可計算出此頻率下TE10模式電磁波在矩形金屬波導管中的傳播特性。

（1）TE10模式電磁波立體圖形。點擊功能按鈕區(qū)中的“立體電磁場”按鈕，界面顯示結果如圖2所示，圖中紅色有向箭頭為波導管中的電場分布，藍色有向箭頭為磁場分布。箭頭方向為該點處場的方向，箭頭的密度分布為場強的相對大小。

圖2 TE10模式下電磁波立體圖

由式（2）可知，TE10模式下電場在僅存在y方向分量，且沿z方向為一正弦波，與圖2中紅色箭頭顯示結果相同。由于電磁感應，磁場H與電場E的關系滿足式（6），所以當電場沿y軸方向時，磁場H在xz平面內(nèi)呈渦旋狀，且無y方向分量。

點擊“動畫”按鈕，即可觀察TE10模式下電磁波在波導管沿z軸正向傳播的動態(tài)圖像，如圖3所示。圖3（a）中，黃色箭頭處為波導內(nèi)電場分量位于波導入口處的一相位，隨著波導內(nèi)電磁波的傳播，該相位沿著z軸方向運動。圖3（b）～（d）分別為該相位傳播到不同位置時的動畫截圖。圖3（a）～（d）演示了TE10模式下電磁波在波導中的傳播過程。由圖3還可見，波導內(nèi)TE10模式電場分量沿z軸方向以一行波方式傳播，同時磁場分量伴隨著電場按式（6）呈渦旋狀運動。

圖3 TE10模式下電磁波沿波導管傳播的動態(tài)圖像

（2）電場分布情況。為更清楚地看出電場強度的分布特點，仿真軟件還給出了電場強度E的3個分量Ex、Ey、Ez在z=L/2處矩形波導橫截面上的分布圖和電場強度E在垂直于x、y、z軸的截面上的分布圖，如圖4、5所示。

圖4 電場強度分量在垂直于z軸的截面上的分布圖

由圖4（a）、（c）可見，電場強度的x和z分量Ex和Ez都為0，y分量Ey不為0，因為對于TE10模，電場強度只有y分量，沒有x和z分量。由式（2）可知，Ey的振幅大小是的函數(shù)，這可由圖4（b）、5（a）可以看出，Ey的振幅大小沿x軸方向呈現(xiàn)出兩端弱、中間強的特點，這是因為電場在x方向會形成一駐波，在x=0、a兩個波導壁處為波節(jié)，中間x=a/2處為波腹。

由式（2）可知，在z軸方向上，電場以簡諧波的行波形式傳播。圖5（b）、（c）繪制了x=a/2、y=b/2截面上沿z軸方向一個完整周期內(nèi)的電場分布，可見，電場分布與式（2）相吻合。

圖5 電場強度在垂直于z、x、y軸的截面上的分布圖

（3）磁場分布情況。與電場分量的討論類似，繪制出磁場強度H的3個分量在z=L/2處矩形波導橫截面上的分布和磁場強度H在y=b/2截面上的分布，如圖6、7所示。

由式（2）可知，當電場E沿y軸方向時，磁場H在xz平面內(nèi)呈渦旋狀，且無y軸分量，結果與圖6（b）、7（b）吻合。

磁場分量Hx和Hz均為駐波。其中，Hx為sin（πx/a）的函數(shù)，即x=0、a處為波節(jié)，x=a/2處為波腹，由圖6（a）、7（a）可見，繪制出的Hx強度與式（2）吻合。而Hz為cos（πx/a）的函數(shù)，如圖6（c）、7（b）所示，x=0、a處為波腹，x=a/2處為波節(jié)，其結果也與式（2）吻合。

圖6 磁場強度分量在垂直于z=L/2平面上的分布圖

（4）管壁電流分布情況。當電磁波在金屬波導管內(nèi)壁傳播時，由于磁場的感應，在波導內(nèi)壁上會產(chǎn)生感應面電流，即管壁電流。由式（3）可知，管壁電流由磁場產(chǎn)生，其分布取決于傳播波形的磁場分布。點擊“管壁電流”，即可繪制出如圖8所示的矩形波導腔壁的電流分布圖。如圖7所示，對于x=0處內(nèi)壁，在z=50 mm附近處磁場方向沿z軸正向，根據(jù)式（4），感應面電流方向應為y軸負向，與圖8所示結果相同。類似的還可討論x=0、a管壁上其他位置的電流分布。

圖7 磁場分量在y=b/2的平面上的分布圖

圖8 矩形波導內(nèi)壁電流分布圖

對于y=0、b兩個面上的電流，由于這兩個面上磁場呈渦旋狀分布，由式（3）可知，這兩個面上的面電流應與磁場垂直，其分布應呈從渦旋中心向外發(fā)散或向渦旋中心會聚狀，如圖8所示，其中面電流發(fā)散或會聚的狀態(tài)由磁場分布的旋轉(zhuǎn)方向決定。

研究管壁電流的實際意義在于：實際應用中經(jīng)常在波導上開槽，根據(jù)需要有時盡量避免切斷管壁電流，有時又要最大限度的切斷管壁電流。通過仿真軟件，可以從圖8中清楚地看出，開槽位置在P1處沿z軸時，可以盡量避免切斷管壁電流；開槽位置在P2處沿z軸時，可以最大限度的切斷管壁電流。這些結論在仿真軟件上可以很直觀的看出來。

（5）傳播常數(shù)γ對傳播特性的影響。傳播常數(shù)γ對研究電磁波傳播非常重要，當傳播常數(shù)γ＞0時，根據(jù)式（1），電磁波幅度隨傳播過程逐步衰減。為模擬該過程，在軟件參數(shù)輸入位置將工作頻率設為2 GHz，此時導波頻率小于截止頻率2.49 GHz，使得傳播波波數(shù)k大于截止波數(shù)kc，因此傳播常數(shù)γ＞0。點擊“計算”按鈕，即可計算出此頻率下TE10模式電磁波在矩形金屬波導管中的傳播特性。如圖9（a）所示為該模式下電磁場立體圖，圖中電磁波進入矩形波導管后，電磁波強度逐步衰減，不能在管中傳播。圖9（b）所示為電場強度分量Ey在x=a/2平面上沿z軸的分布，可以看出Ey幅度不再是一余弦波變化形式，而是沿z軸方向幅度逐步衰減。

圖9 傳播常數(shù)的影響

2.3 TM11模式仿真

類似的方法，可以對橫磁模主模TM11模式進行仿真。在參數(shù)輸入?yún)^(qū)內(nèi)，選擇計算TM11模式，其他參數(shù)不變，再點擊“計算截止頻率”按鈕，界面上顯示該模式在此條件下的截止頻率為7.90 GHz。根據(jù)計算得到的截止頻率，設置導波工作頻率為9 GHz，點擊“計算”按鈕，即可計算出此頻率下TM11模式電磁波在矩形金屬波導管中的傳播特性。

如圖10 TM11電磁波立體圖所示，磁場H沒有Hz分量，在xy平面內(nèi)呈渦旋狀分布。通過點擊“動畫”可以觀察到，隨著電磁波在波導內(nèi)傳播，磁場在xy平內(nèi)按順、逆時針方向來回振蕩，電場按式（3）隨磁場而變化。

圖10 TM11模式電磁波立體圖

圖11為腔內(nèi)電磁場在x=a/2和z=L/2平面上的投影圖。由圖11（a）可見，電場分量Ez在y方向為駐波，由式（5）可知Ez為sin（πx/a）的函數(shù)，即x=0、a處為駐波的波節(jié)，x=a/2處為波腹。結合圖11（a）、（b）可見，磁場分量在x和y方向均為駐波。其中：Hx為sin（πx/a）的函數(shù)，即x=0、a處為駐波的波節(jié)，x=a/2處為波腹；Hy為cos（πx/a）的函數(shù)，x=0、a處為駐波的波腹，x=a/2處為波節(jié)。上述結果與式（5）吻合。進一步按照上節(jié)中的TE10仿真實驗過程中在重要投影面對TM11模式進行研究，可以驗證其電場和磁場特性與式（5）理論結果吻合。

圖11 電磁場在x=a/2和z=L/2平面上的分布圖

3 結 語

以“電磁場與電磁波”課程中的金屬矩形波導內(nèi)容為例，設計和編制了金屬矩形波導有限元仿真軟件，利用該軟件可以用圖像和動畫的方式展示波導內(nèi)TE10模式和TM11模式電磁波的主要物理特性。這些清晰、直觀的圖像和動畫有助于學生理解電磁波在金屬矩形波導中的傳播規(guī)律、掌握金屬矩形波導的相關理論。這種有限元仿真的方法也可用于該課程內(nèi)其他內(nèi)容的教學，有助于加深學生對理論知識的理解，提升學生的學習興趣。