張佳明， 王文瑞， 陸 宇

（北京科技大學(xué)a.機(jī)械工程學(xué)院；b.流體與材料相互作用教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100083）

0 引 言

目前世界許多國(guó)家都在爭(zhēng)先發(fā)展航天事業(yè)，對(duì)外太空展開(kāi)更深層次的探索與研究，因此對(duì)在軌衛(wèi)星提出更高的要求，導(dǎo)致衛(wèi)星結(jié)構(gòu)日趨復(fù)雜化和微型化，使得衛(wèi)星結(jié)構(gòu)狀態(tài)哪怕是細(xì)微的變化也越來(lái)越受到關(guān)注［1-2］。星敏感器作為星上最精密的測(cè)量部件，對(duì)衛(wèi)星的姿態(tài)測(cè)量和控制非常重要，星敏安裝板是星敏感器的重要支撐部件，安裝板的輕微變形將影響整個(gè)系統(tǒng)的控制精度，成為潛在的危險(xiǎn)因素［3-4］。由于受空間條件和工作環(huán)境的影響，難以通過(guò)位移傳感器直接測(cè)量安裝板的變形?；诠鈱W(xué)成像的非接觸式變形測(cè)量受到光路布置與星體振動(dòng)的影響，同樣受到限制［5-7］，光纖布拉格光柵（FBG）的傳感器具有體積小、抗電磁干擾，能進(jìn)行多參量分布式測(cè)量等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航空航天測(cè)量。

隨著結(jié)構(gòu)變形監(jiān)測(cè)技術(shù)的發(fā)展，應(yīng)變監(jiān)測(cè)的變形場(chǎng)重構(gòu)算法引起了人們廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)［8-10］中基于離散應(yīng)變測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行積分來(lái)估算梁的變形位移，稱之為KO位移理論法。Amal等［11］提出了一種基于Delaunay三角剖分的非曲線重構(gòu)方法。Adnan等［12］結(jié)合海洋工程中的逆向有限元方法，提出了一種4節(jié)點(diǎn)四邊形反殼單元（iQS4），用于監(jiān)測(cè)結(jié)構(gòu)的位移和應(yīng)力。Armen等［13］通過(guò)實(shí)驗(yàn)和有限元分析的方法對(duì)比分析模態(tài)轉(zhuǎn)換方法對(duì)于星敏安裝板結(jié)構(gòu)變形重構(gòu)精度的影響。在國(guó)內(nèi)，劉蘇州等［14］利用3次B樣條插值函數(shù)重構(gòu)了梁的應(yīng)變場(chǎng)。王勇則［15］基于B樣條插值方法開(kāi)展了矩形梁的動(dòng)力學(xué)特性分析。許世龍［16］利用Kirchhoff薄板理論對(duì)大型雷達(dá)天線陣面變形場(chǎng)進(jìn)行了重構(gòu)。袁慎芳［17］利用KO變形理論并結(jié)合光纖光柵技術(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)梁式機(jī)翼變形監(jiān)測(cè)方法展開(kāi)研究，并根據(jù)有限元分析結(jié)果驗(yàn)證變形重構(gòu)方法的準(zhǔn)確性。

然而，上述重構(gòu)方法對(duì)應(yīng)變傳感器數(shù)量要求較高，難以實(shí)現(xiàn)特定約束條件的結(jié)構(gòu)三維變形重構(gòu)。同時(shí)，現(xiàn)有的基于曲率的變形重構(gòu)方法僅適用于小撓度變形，而薄板容易產(chǎn)生大撓度變形。因此，上述重構(gòu)方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足工程測(cè)量要求。本文采用幾何模型分析、實(shí)驗(yàn)監(jiān)測(cè)和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的方法解決彈性薄板的撓曲變形問(wèn)題。通過(guò)推導(dǎo)應(yīng)變-曲率-變形的關(guān)系并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，提出了基于應(yīng)變監(jiān)測(cè)的變形場(chǎng)重構(gòu)方法。該方法將為薄板變形測(cè)量在工程領(lǐng)域的應(yīng)用提供重要依據(jù)。

1 曲率迭代法的變形場(chǎng)重構(gòu)算法

本研究對(duì)象是一塊四邊固定、中間加載的彈性薄板，尺寸為1 000 mm×1 000 mm×3 mm。圖1所示為薄板受力示意圖，星敏支架和星敏感器主要對(duì)安裝板施加垂直于薄板表面的橫向載荷，本文主要研究薄板承受橫向載荷作用下的z向變形問(wèn)題。

圖1 彈性薄板受力示意圖

彈性薄板的變形與梁結(jié)構(gòu)不同，受多邊約束，受力狀態(tài)復(fù)雜，彈性薄板在側(cè)向荷載作用下具有以下變形模式：①最大變形小于板厚的1/5時(shí)，薄板受到較小的撓度變形。在這種情況下，彈性薄板的變形完全是由彎曲引起的，也稱純彎曲變形。此時(shí)，薄板的表面應(yīng)變?yōu)閺澢鷳?yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)變。②最大變形大于板厚的1/5時(shí)，薄板受到較大的撓度變形。在這種情況下，彈性薄板的變形是由拉伸和彎曲共同引起的，也稱為大撓度變形。此時(shí)，薄板的表面應(yīng)變?yōu)閺澢鷳?yīng)力和拉應(yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)變。本文分別研究了小撓度和大撓度變形場(chǎng)的重構(gòu)算法。

1.1 小撓度變形的曲率迭代法

小撓度變形屬于純彎曲變形，從幾何角度看，變形曲線可以通過(guò)曲率法間接得到。首先分析應(yīng)變與曲率的關(guān)系，然后通過(guò)幾何推導(dǎo)得到曲率與變形的關(guān)系。這樣便可以間接得到應(yīng)變與變形的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)變形場(chǎng)的重構(gòu)。

圖2所示為薄板純彎曲變形前、后的截面圖。圖中：s為彎曲前長(zhǎng)度，mm；h為彈性板厚度，mm；ρ為純彎曲變形后的曲率半徑，mm；θ為彎曲變形后的圓心角。

圖2 薄板純彎曲變形截面圖

假設(shè)上表面的延伸率為Δs，則上表面的應(yīng)變

因?yàn)橹行悦娴拈L(zhǎng)度在純彎曲變形前后無(wú)變化，根據(jù)圓心角之間的關(guān)系，得到：

假設(shè)曲率為K，根據(jù)曲率與曲率半徑的關(guān)系，得到：

根據(jù)式（1）、（3）可推導(dǎo)出應(yīng)變與曲率的關(guān)系，

在應(yīng)變測(cè)量實(shí)驗(yàn)中，應(yīng)變傳感器以陣列的形式布置在彈性板表面，應(yīng)變傳感器陣列為平行線，每條平行線設(shè)置一個(gè)應(yīng)變測(cè)點(diǎn)。以一條直線上i個(gè)離散點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)閷?duì)象，將離散點(diǎn)的應(yīng)變轉(zhuǎn)化為離散點(diǎn)的曲率。然后用逐點(diǎn)迭代法計(jì)算每個(gè)離散曲率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)位置，重構(gòu)曲線變形。這一過(guò)程在本文中稱為曲率迭代法，圖3所示為曲率迭代法的示意圖。最后，對(duì)幾條變形曲線進(jìn)行擬合，得到整個(gè)薄板表面的變形曲面。

圖3 曲率迭代法原理圖

由圖3可知，第1個(gè)離散點(diǎn)P1的圓心和坐標(biāo)表達(dá)式為：

式中，θ1=s/（2 ρ1）。

根據(jù)P1點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式，第2個(gè)離散點(diǎn)P2的中心和坐標(biāo)的表達(dá)式為：

式中，θ2=θ1+s/（2 ρ2）。

根據(jù)點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)表達(dá)式，第i個(gè)離散點(diǎn)的圓心和坐標(biāo)的表達(dá)式分別為：

式中，θi=θi-1+S/（2ρi）。由上述公式可以得到薄板離散點(diǎn)的坐標(biāo)，擬合得到薄板的變形面。

上文所述的曲率迭代法通過(guò)Matlab軟件編程實(shí)現(xiàn)，通過(guò)數(shù)值模擬得到了一組薄板的應(yīng)變數(shù)據(jù)。由圖4可以看出，變形規(guī)律符合端部固定、中間加載的特點(diǎn)。

圖4 小撓度變形下的應(yīng)變與變形曲線

1.2 大撓度變形的曲率迭代法

大撓度變形考慮了中性面的拉、壓應(yīng)變，屬于非純彎曲變形。對(duì)于大撓度變形，曲率迭代法會(huì)產(chǎn)生誤差，且誤差具有一定的規(guī)律性。在大撓度下，曲率迭代法的整體結(jié)果偏大，且隨迭代次數(shù)和荷載的增加而更加明顯。針對(duì)這種誤差，本文提出了一種沉降校正方法。 圖5所示為沉降校正方法的原理圖。首先，根據(jù)誤差規(guī)律設(shè)置校正函數(shù)，曲率迭代法完成后，將每個(gè)點(diǎn)的變形結(jié)果減去修正函數(shù)對(duì)應(yīng)值，即：

圖5 沉降校正算法原理圖

式中：esk為下沉值，mm；i為離散點(diǎn)數(shù)列；am為動(dòng)態(tài)迭代因子；bm為靜態(tài)迭代因子。

由于曲率迭代法的誤差也與荷載大小有關(guān)，僅用一個(gè)修正函數(shù)很難滿足精度要求，因此，沉降校正算法采用迭代的方法，即由小到大的迭代，直到滿足誤差要求。

圖6所示為帶沉降修正函數(shù)的曲率迭代法流程圖，校正過(guò)程中，校正程度隨am值的增加而增加，通過(guò)設(shè)置最大允許誤差為最后迭代點(diǎn)。理論上，四邊固定的薄板的四邊變形為0，因此可以通過(guò)4個(gè)邊的變形量來(lái)控制重構(gòu)算法的精度。

圖6 沉降校正算法流程圖

基于沉降校正的曲率迭代算法通過(guò)Matlab軟件編程實(shí)現(xiàn)，通過(guò)數(shù)值模擬得到了一組大撓度變形時(shí)的應(yīng)變數(shù)據(jù)。在曲率迭代法計(jì)算結(jié)果的基礎(chǔ)上，增加了修正環(huán)節(jié)，得到了修正結(jié)果。由圖7可以看出，校正前的結(jié)果明顯大于校正后的結(jié)果，通過(guò)沉降校正算法可以大大減小曲率迭代法處理大撓度變形時(shí)的誤差。

圖7 大撓度變形下的應(yīng)變與變形曲線

2 應(yīng)變監(jiān)測(cè)實(shí)驗(yàn)與應(yīng)變場(chǎng)重建

2.1 應(yīng)變監(jiān)測(cè)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建

變形場(chǎng)重構(gòu)算法中的應(yīng)變數(shù)據(jù)需要將應(yīng)變監(jiān)測(cè)實(shí)驗(yàn)獲得的信息作為變形場(chǎng)重構(gòu)的輸入，圖8所示為應(yīng)變監(jiān)測(cè)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)設(shè)備圖。

圖8 應(yīng)變監(jiān)測(cè)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

實(shí)驗(yàn)使用BX120-5AA型應(yīng)變片與INV3062S/V型24位動(dòng)態(tài)信號(hào)采集系統(tǒng)測(cè)量薄板表面的應(yīng)變。使用精度為0.01 mm的SYA1704569型位移傳感器測(cè)量薄板的變形，用于驗(yàn)證應(yīng)變重構(gòu)變形場(chǎng)的準(zhǔn)確性，而位移傳感器受空間限制在實(shí)際應(yīng)用中無(wú)法使用。

利用精度為50 mg的砝碼對(duì)薄板加載，根據(jù)加載位置的不同，將試驗(yàn)分為中心點(diǎn)（Q1）加載和任意點(diǎn)（Q2）進(jìn)行加載，加載位置分別為（500，500）和（300，700），載荷大小設(shè)置為100、150、200和250 N。

為了能夠通過(guò)盡可能少的應(yīng)變測(cè)點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)整個(gè)面的應(yīng)變場(chǎng)，通過(guò)多次試驗(yàn)，得到了根據(jù)薄板在兩個(gè)不同加載位置的表面應(yīng)變分布規(guī)律得到的測(cè)點(diǎn)分布方案，如圖9所示。

圖9 應(yīng)變測(cè)點(diǎn)布置方案

2.2 應(yīng)變監(jiān)測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

以中心點(diǎn)加載為例，應(yīng)變監(jiān)測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10所示，圖中為11個(gè)測(cè)點(diǎn)隨荷載增加的應(yīng)變變化情況?？梢钥闯?，所有測(cè)點(diǎn)的應(yīng)變值隨荷載增加而增大，測(cè)點(diǎn)8、9靠近中心加載點(diǎn)Q1，應(yīng)變值較大。由于測(cè)點(diǎn)相對(duì)于直線x=500對(duì)稱分布，測(cè)點(diǎn)應(yīng)變值兩兩相近。測(cè)點(diǎn)1、2、4、5、6、11靠近固定邊，上表面受到壓應(yīng)變，其余測(cè)點(diǎn)受到拉應(yīng)變。

圖10 中心點(diǎn)加載下應(yīng)變監(jiān)測(cè)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到安裝板離散點(diǎn)應(yīng)變數(shù)據(jù)之后，還需要獲取整個(gè)安裝板表面的應(yīng)變場(chǎng)，從而得到更為詳細(xì)的應(yīng)變信息，以便作為變形場(chǎng)重構(gòu)算法的輸入量。本文采用反距離加權(quán)法，對(duì)平面上各個(gè)離散點(diǎn)應(yīng)變進(jìn)行插值重構(gòu)得到應(yīng)變場(chǎng)，算法原理如圖11所示。

圖11 反距離加權(quán)平均法原理圖

反距離加權(quán)法基于測(cè)量應(yīng)變數(shù)據(jù)求解平面其他點(diǎn)應(yīng)變，計(jì)算過(guò)程如下：

式中：dk為待求點(diǎn)與第k已知點(diǎn)的距離，mm；xk為已知點(diǎn)橫坐標(biāo)值，mm；yk為已知點(diǎn)縱坐標(biāo)值，mm；x為待求點(diǎn)橫坐標(biāo)值，mm；y為待求點(diǎn)縱坐標(biāo)值，mm。k=1，2，…，n。

假設(shè)二元函數(shù)f（x，y）為未知點(diǎn)的應(yīng)變，那么該函數(shù)的表達(dá)式為：

式中，zk為已知點(diǎn)k的應(yīng)變。

3 驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

基于上述重構(gòu)方法，利用Matlab軟件編制了薄板應(yīng)變、變形場(chǎng)重構(gòu)軟件，在軟件中輸入薄板尺寸、計(jì)算模式（大撓度/小撓度），將應(yīng)變測(cè)量實(shí)驗(yàn)中測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)以及測(cè)量結(jié)果讀取到軟件中，點(diǎn)擊“計(jì)算START”，即可直接輸出薄板應(yīng)變場(chǎng)云圖和重構(gòu)變形曲面，如圖12所示。

圖12 薄板應(yīng)變、變形場(chǎng)重構(gòu)軟件界面

以能保證重構(gòu)完整性同時(shí)盡量降低計(jì)算量為原則，經(jīng)過(guò)多次不同維度的重構(gòu)試驗(yàn)，最終選擇重構(gòu)的插值維度為20×300。圖13、14所示為各加載工況下通過(guò)反距離加權(quán)平均法得到的星敏安裝板下表面應(yīng)變?cè)茍D。不管是中心點(diǎn)加載還是任意點(diǎn)加載工況，薄板下表面的加載位置周圍受拉應(yīng)變，靠近四邊處受壓應(yīng)變，隨著載荷增大，應(yīng)變整體增大但分布規(guī)律不變。

圖13 中心點(diǎn)荷載應(yīng)變?cè)茍D

在得到應(yīng)變場(chǎng)的基礎(chǔ)上，利用曲率迭代法將應(yīng)變場(chǎng)轉(zhuǎn)化為變形場(chǎng)，并進(jìn)行沉降校正，圖15、16所示為各加載工況下的變形場(chǎng)重構(gòu)曲面。

通過(guò)位移傳感器直接測(cè)量薄板變形，對(duì)薄板變形場(chǎng)重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。從圖15、16可以看出，薄板的最大變形點(diǎn)出現(xiàn)在加載位置，因此將位移傳感器放置在加載位置，測(cè)量薄板在實(shí)驗(yàn)加載條件下的變形，表1、2為重構(gòu)結(jié)果與直接測(cè)量結(jié)果的對(duì)比表。

圖14 任意點(diǎn)荷載應(yīng)變?cè)茍D

圖15 中心點(diǎn)荷載作用下的變形曲面圖

圖16 任意點(diǎn)荷載作用下的變形曲面圖

表1 中心點(diǎn)加載結(jié)果對(duì)比

表2 任意點(diǎn)加載結(jié)果對(duì)比

從表1、2所示重構(gòu)算法精度驗(yàn)證結(jié)果可知，重構(gòu)誤差隨載荷增大而降低，中心加載點(diǎn)的重構(gòu)誤差為4.85%～5.12%，平均誤差為3.92%，任意加載點(diǎn)的重構(gòu)誤差為3.81%～6.21%，平均誤差為4.95%，且中心加載點(diǎn)各載荷下重構(gòu)誤差均小于任意加載點(diǎn)。

4 結(jié) 語(yǔ)

（1）推導(dǎo)了薄板表面應(yīng)變與曲率的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，提出了一種曲率迭代法重建薄板變形場(chǎng)，針對(duì)大撓度變形的非線性問(wèn)題，提出了一種基于曲率迭代法的沉降校正算法。

（2）搭建了應(yīng)變監(jiān)測(cè)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，確定了應(yīng)變測(cè)點(diǎn)布置方案和加載條件，開(kāi)展了薄板應(yīng)變監(jiān)測(cè)實(shí)驗(yàn)，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果得到了整個(gè)薄板表面的應(yīng)變場(chǎng)。

（3）利用Matlab編程實(shí)現(xiàn)了帶修正函數(shù)的曲率迭代法薄板變形場(chǎng)重構(gòu)，得到了薄板在不同工況下的應(yīng)變場(chǎng)與變形場(chǎng)。在中心點(diǎn)加載和任意點(diǎn)加載條件下的平均重構(gòu)誤差分別為3.92%和4.95%，證明該方法適用于四邊固定的彈性薄板變形場(chǎng)的監(jiān)測(cè)，為薄板結(jié)構(gòu)變形監(jiān)測(cè)提供了思路。