張秀華, 馬佳杰, 徐 雷, 張國(guó)棟, 田 旭

(1.浙江滬杭甬高速公路股份有限公司， 杭州 310020； 2.浙江數(shù)智交院科技股份有限公司， 杭州 310030)

高速公路的建設(shè)與區(qū)域的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平密切相關(guān)，區(qū)域經(jīng)濟(jì)的良好發(fā)展推動(dòng)高速路網(wǎng)的有序擴(kuò)張，高速路網(wǎng)的平穩(wěn)運(yùn)行反哺區(qū)域的社會(huì)和諧與經(jīng)濟(jì)繁榮。國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(gross domestic product，GDP)可以反映一個(gè)國(guó)家或者一個(gè)地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和人民的生活狀況，也可以衡量和評(píng)價(jià)國(guó)家和地區(qū)未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)。實(shí)際上，地區(qū)的GDP發(fā)展?fàn)顩r也常常成為高速公路路線走向設(shè)計(jì)的重要參考依據(jù)。因此，對(duì)于GDP預(yù)測(cè)研究顯得尤為重要，它不僅可以評(píng)估某個(gè)區(qū)域未來(lái)總體的經(jīng)濟(jì)水平變化情況，而且可以提供某個(gè)區(qū)域高速路網(wǎng)規(guī)劃的數(shù)據(jù)支撐。

浙江省既是21世紀(jì)海上絲綢之路圈定的五省之一，又是長(zhǎng)江經(jīng)濟(jì)帶三極之一長(zhǎng)江三角洲城市群的重要組成部分，也是環(huán)杭州灣發(fā)達(dá)城市集中區(qū)域。落實(shí)“一帶一路”、長(zhǎng)江經(jīng)濟(jì)帶發(fā)展和大灣區(qū)建設(shè)，必然會(huì)對(duì)區(qū)域內(nèi)外交通運(yùn)輸系統(tǒng)的時(shí)效性、便捷性和安全性提出更新、更高的要求。因此，及時(shí)準(zhǔn)確地掌握浙江省GDP發(fā)展趨勢(shì)，對(duì)于推進(jìn)現(xiàn)代交通“五大建設(shè)”、打造“暢通浙江”和完善區(qū)域高速公路網(wǎng)具有十分重要的意義。

歷史的GDP數(shù)據(jù)是一組帶有時(shí)間標(biāo)簽的數(shù)值，數(shù)值的大小隨著時(shí)間而變化。對(duì)于時(shí)間序列的研究是GDP預(yù)測(cè)過(guò)程中必不可少的一部分。如果將GDP數(shù)據(jù)作為時(shí)間序列進(jìn)行建模，需要考慮其自身包含的線性關(guān)系和非線性關(guān)系。首先，本文分別構(gòu)建ARIMA模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)浙江省GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)，并得到模型評(píng)價(jià)結(jié)果；其次，在ARIMA模型基礎(chǔ)上，挖掘出殘差序列的非線性關(guān)系，并設(shè)置合適的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；最后，優(yōu)化ARIMA和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型，并比較3種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果。

1 研究現(xiàn)狀綜述

時(shí)間序列經(jīng)過(guò)變換后，能夠以3項(xiàng)相加的形式進(jìn)行表示。時(shí)間序列分析的目的就是從一個(gè)時(shí)間序列提取并分解出趨勢(shì)項(xiàng)、周期項(xiàng)和隨機(jī)誤差項(xiàng)[1]。經(jīng)典回歸通常不足以解釋時(shí)間序列的所有特性。因此，Peter Whittle在1951年提出了自回歸(autoregressive，AR)和自回歸移動(dòng)平均(autoregressive moving average，ARMA)[2]。1970年，Box和Jenkins首次提出了差分自回歸移動(dòng)平均(autoregressive integrated moving average，ARIMA)，標(biāo)志著時(shí)間序列分析進(jìn)入了新的應(yīng)用階段[3]。該模型基于歷史數(shù)據(jù)的相關(guān)性分析，得出當(dāng)前期與滯后期之間的相關(guān)系數(shù)，并利用最小二乘法建立時(shí)間序列中當(dāng)前項(xiàng)和滯后項(xiàng)之間的線性關(guān)系。ARIMA模型以優(yōu)越的短期預(yù)測(cè)效率在不同學(xué)科領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，特別是在經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域的研究。王鄂等通過(guò)構(gòu)建ARIMA(1，1，2)最優(yōu)模型對(duì)湖南省GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)研究，發(fā)現(xiàn)湖南省將在2020年達(dá)成全面建成小康社會(huì)的目標(biāo)，并且人均GDP將超過(guò)一萬(wàn)美元[4]。鄭夢(mèng)琪等基于浙江省1978—2018年的全省GDP數(shù)據(jù)，結(jié)合一階差分、AIC和BIC原則，建立ARIMA(5，1，5)模型，并預(yù)測(cè)浙江省未來(lái)3年的GDP數(shù)據(jù)，為區(qū)域發(fā)展戰(zhàn)略規(guī)劃提供依據(jù)[5]?；诎不帐v年的GDP數(shù)據(jù)，游文倩等分別建立ARIMA(0，1，1)模型、Holt-Winters模型和組合預(yù)測(cè)模型(ARIMA-holt-winters，無(wú)季節(jié)性模型)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)組合預(yù)測(cè)模型能夠更加準(zhǔn)確地得到短期預(yù)測(cè)結(jié)果[6]。

傳統(tǒng)的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型是通過(guò)分析某一學(xué)科領(lǐng)域的機(jī)理，將各類(lèi)影響因素與目標(biāo)結(jié)果之間建立數(shù)學(xué)關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)時(shí)間序列的預(yù)測(cè)。除此以外，基于機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型是對(duì)大量時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行反復(fù)學(xué)習(xí)和優(yōu)化，從而獲得數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)能力[7]。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(artificial neural network，ANN)是機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域熱門(mén)的研究理論，通過(guò)構(gòu)建多樣的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)處理復(fù)雜的關(guān)聯(lián)關(guān)系。BP(back propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)分支，是由Rumelhart和McClelland在1986年提出的一種誤差反向傳播學(xué)習(xí)機(jī)制，經(jīng)過(guò)不斷改進(jìn)和完善，目前已經(jīng)廣泛應(yīng)用，如函數(shù)逼近、模式識(shí)別、造價(jià)預(yù)測(cè)等[8]。劉莉等利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)宿遷市降水量數(shù)據(jù)的剩余平穩(wěn)序列成分進(jìn)行模擬，并構(gòu)建時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型，結(jié)果表明基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型具有較高的精度和穩(wěn)定性，預(yù)測(cè)結(jié)果優(yōu)于傳統(tǒng)的時(shí)間序列加法模型[9]。孟毅選取ARIMA時(shí)間序列、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和BP-ARIMA組合模型3種方法對(duì)中國(guó)的月度CPI數(shù)據(jù)進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)，結(jié)果表明BP-ARIMA組合模型預(yù)測(cè)效果最優(yōu)[10]。張建輝將趨勢(shì)模型的殘差時(shí)序數(shù)據(jù)作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入數(shù)據(jù)，訓(xùn)練能夠捕捉時(shí)序細(xì)微震蕩特征的殘差神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，結(jié)合時(shí)序趨勢(shì)模型和殘差神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)更為精準(zhǔn)的時(shí)間序列預(yù)測(cè)[11]。

2 研究方法

2.1 ARIMA(p，d，q)模型

博克斯-詹金斯(Box-Jenkins)提出的時(shí)間序列分析方法主要是用來(lái)解決數(shù)據(jù)中潛在的隨機(jī)性、平穩(wěn)性和季節(jié)性問(wèn)題。該方法基本的表現(xiàn)形式包括自回歸模型(AR)、移動(dòng)平均模型(MA)、自回歸移動(dòng)平均模型(ARMA)、整合移動(dòng)平均自回歸模型(ARIMA)。AR、MA和ARMA主要是針對(duì)平穩(wěn)序列數(shù)據(jù)，然而本文研究GDP數(shù)據(jù)屬于非平穩(wěn)時(shí)間序列，其方差、均值將隨時(shí)間的變化而變化。由于非平穩(wěn)序列的不確定性較高，難以借助已知信息完成預(yù)測(cè)，因此考慮使用ARIMA模型先對(duì)非平穩(wěn)序列進(jìn)行差分處理，將其轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列之后，再進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。假設(shè)時(shí)間序列{Xt,t∈T}為非平穩(wěn)序列，{?dXt}表示經(jīng)過(guò)d階差分運(yùn)算后的平穩(wěn)序列，那么ARIMA(p，d，q)模型的表達(dá)式為

(1)

式中：B為延遲算子，BkXt=Xt-k；Φ(B)為自回歸系數(shù)多項(xiàng)式，Φ(B)=1+φ1B+φ2B2+…+φpBp；Θ(B)為移動(dòng)平均多項(xiàng)式，Θ(B)=1+θ1B+θ2B2+…+θqBq；εt為零均值的白噪聲序列。

ARIMA模型中參數(shù)p、d、q分別代表滯后期階數(shù)、差分階數(shù)和滯后隨機(jī)波動(dòng)項(xiàng)的階數(shù)。當(dāng)d=0時(shí)，ARIMA(p，d，q)模型就是ARMA(p，q)模型；當(dāng)d=q=0時(shí)，ARIMA(p，d，q)模型就是AR模型；當(dāng)d=p=0時(shí)，ARIMA模型就是MA模型；當(dāng)d=q=p=0時(shí)，ARIMA(0，0，0)就是白噪聲序列函數(shù)。ARIMA(p，d，q)模型中自回歸階數(shù)p和移動(dòng)平均階數(shù)q是通過(guò)自相關(guān)系數(shù)(ACF)和偏自相關(guān)系數(shù)(PACF)進(jìn)行確定。

ACF的公式為

ρt,s=Corr(Xt,Xs),t、s=0,±1,±2,…

(2)

PACF的公式為

φk=ρXt,Xt-k|Xt-1,…,Xt-k+1=

(3)

偏自相關(guān)系數(shù)只計(jì)算當(dāng)前期與k階滯后期的相關(guān)性：φk接近于±1時(shí)，表示相關(guān)性增強(qiáng)；φk接近于0時(shí)，表示相關(guān)性減弱；φk=0時(shí)，表示當(dāng)前期與k階滯后期不相關(guān)。

2.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本思想是通過(guò)訓(xùn)練誤差反向傳播進(jìn)行參數(shù)修正，以梯度下降的方法尋找網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的輸出值與實(shí)際值之間的最小均方誤差[12]。Hecht-Nielsen的研究表明BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以逼近任何一個(gè)非線性函數(shù)[13]。良好的擬合效果和簡(jiǎn)單的操作過(guò)程使BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到不斷推廣和應(yīng)用。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主要由輸入層、隱藏層和輸出層3部分組成，其中輸入層和輸出層均為單層結(jié)構(gòu)，而隱藏層可為多層結(jié)構(gòu)。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過(guò)程主要分為兩個(gè)部分：①信息前向傳播，是指信息從輸入層傳入，經(jīng)過(guò)隱藏層神經(jīng)元的非線性映射，傳入輸出層輸出結(jié)果；②誤差向后傳播，是指通過(guò)比較輸出值與實(shí)際值的誤差，若超出預(yù)先設(shè)置的誤差閾值，則誤差信息逐步向后傳回，同時(shí)調(diào)整每一個(gè)隱藏層的權(quán)重，直到誤差在控制范圍之內(nèi)。

在解決預(yù)測(cè)問(wèn)題時(shí)，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主要有兩種應(yīng)用方式，一種是基于多因素的預(yù)測(cè)，另一種是基于時(shí)間序列的預(yù)測(cè)。本文重點(diǎn)研究BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在時(shí)間序列方面預(yù)測(cè)應(yīng)用。例如：存在時(shí)間序列Xt,Xt+1,Xt+2,…,Xt+m，若要預(yù)測(cè)該序列之后t+m+k(k>0)時(shí)刻的值Xt+m+k，那么可以將Xt,Xt+1,Xt+2,…,Xt+m整體作為輸入變量，構(gòu)建Xt+m+k與過(guò)去m個(gè)值的函數(shù)關(guān)系。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建模過(guò)程如下：

1)數(shù)據(jù)歸一化。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)數(shù)據(jù)的量綱較為敏感，通常將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，使數(shù)據(jù)大小落在[0，1]范圍內(nèi)，歸一化公式為

(4)

(5)

2)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的確定。包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層數(shù)的確定，輸入層、隱藏層和輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)的確定，以及激活函數(shù)的選擇。

3)初始化各連接的權(quán)重和閾值。

4)輸入歸一化后的數(shù)據(jù)，經(jīng)由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)正向傳播。

5)觀察模型誤差是否在預(yù)設(shè)的范圍內(nèi)。若是，則建模過(guò)程結(jié)束；若否，則進(jìn)行反向傳播，重新計(jì)算各連接的權(quán)重和閾值，并返回上一步，直到模型的最小均方誤差小于設(shè)置的誤差要求。

6)利用訓(xùn)練后的模型進(jìn)行時(shí)間序列的預(yù)測(cè)。

2.3 組合模型

組合模型的預(yù)測(cè)精度往往優(yōu)于單一模型?？紤]到浙江省GDP的增長(zhǎng)趨勢(shì)受到不同因素的影響，是非平穩(wěn)序列。序列中既存在線性特征，也存在非線性特征。因此，本文將ARIMA模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行組合，構(gòu)建預(yù)測(cè)模型，以期提升預(yù)測(cè)效果。組合模型的建立過(guò)程如下：

1)ARIMA模型預(yù)測(cè)浙江省GDP的線性部分。ARIMA模型的實(shí)質(zhì)是建立當(dāng)前期數(shù)據(jù)和滯后期數(shù)據(jù)之間的線性回歸，因此將ARIMA模型的預(yù)測(cè)結(jié)果作為組合模型的線性部分。此外，ARIMA模型預(yù)測(cè)結(jié)果中的殘差，即白噪聲，在序列的線性部分之外，不再適用于線性預(yù)測(cè)模式，需要通過(guò)非線性的預(yù)測(cè)方法提取潛在的價(jià)值信息。

2)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)浙江省GDP的非線性部分。先對(duì)ARIMA模型預(yù)測(cè)所得的殘差序列進(jìn)行矩陣變換和歸一化處理，再通過(guò)訓(xùn)練的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型得到浙江省GDP時(shí)間序列非線性部分的預(yù)測(cè)值，最后將ARIMA模型的線性擬合值和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的殘差預(yù)測(cè)值相加，即為組合模型的預(yù)測(cè)結(jié)果。

3 案例分析

選取浙江省1978—2019年的全省GDP數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象。將數(shù)據(jù)劃分為訓(xùn)練集和測(cè)試集兩部分，1978—2016年的39個(gè)GDP數(shù)據(jù)作為模型的訓(xùn)練集，2017—2019年的3個(gè)GDP數(shù)據(jù)作為模型的測(cè)試集。1978—2019年浙江省GDP數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 1978—2019年浙江省GDP數(shù)據(jù)

3.1 ARIMA預(yù)測(cè)結(jié)果

觀察1978—2019年浙江省的GDP時(shí)間序列(圖1)，發(fā)現(xiàn)GDP數(shù)值隨著時(shí)間的變化呈現(xiàn)上升的趨勢(shì)，因此是一個(gè)非平穩(wěn)序列，需要進(jìn)行差分處理將其轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列。

圖1 1978—2019年浙江省的GDP時(shí)間序列

為了消除浙江省GDP時(shí)間序列中的遞增趨勢(shì)，對(duì)其進(jìn)行一階差分運(yùn)算和二階差分運(yùn)算，具體結(jié)果如圖2所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，一階差分處理后的GDP時(shí)間序列仍然存在單調(diào)上升的趨勢(shì)，是非平穩(wěn)序列；二階差分處理后，時(shí)序折線圍繞0值上下波動(dòng)，符合平穩(wěn)序列的特征。

圖4 二階差分GDP時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)

圖2 差分處理后的浙江省GDP時(shí)間序列

進(jìn)一步利用R語(yǔ)言tseries包中的adf.test函數(shù)對(duì)二階差分運(yùn)算后的GDP時(shí)間序列作ADF檢驗(yàn)(augmented dickey-fuller test)，檢驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。結(jié)果顯示ADF檢驗(yàn)的p值小于0.01，即拒絕序列存在單位ADF根的原假設(shè)，說(shuō)明二階差分的浙江省GDP時(shí)間序列是靜止的，已經(jīng)成為平穩(wěn)序列。

圖3 ADF檢驗(yàn)結(jié)果

通過(guò)觀察自相關(guān)函數(shù)ACF和偏自相關(guān)函數(shù)PACF(圖4)，確定ARIMA模型中的p和q兩個(gè)參數(shù)，即滯后波動(dòng)項(xiàng)的階數(shù)和滯后項(xiàng)的階數(shù)。二階差分GDP時(shí)間序列在2階延遲位置的自相關(guān)性最大(2階截尾)，偏自相關(guān)性同樣在延遲階數(shù)為2時(shí)達(dá)到最大(2階截尾)，這表明可以構(gòu)建ARIMA(2，2，2)模型。但是，僅僅通過(guò)圖像確定的p值和q值可能有失偏頗，因此本文考慮以ACF圖和PACF圖為參考，利用赤池信息量準(zhǔn)則(akaike information criterion，AIC)檢驗(yàn)多對(duì)不同的模型參數(shù)，從而選取使得模型結(jié)果最優(yōu)的階數(shù)。

從二階差分GDP時(shí)間序列的ACF圖和PACF圖中選取若干可能的參數(shù)對(duì)，擬合模型并計(jì)算AIC值，具體結(jié)果見(jiàn)表2。AIC的值越小，模型的擬合效果越好。結(jié)果表明，AIC值最小的是ARIMA(2，2，0)，因此本文確定其為擬合浙江省GDP時(shí)間序列的最優(yōu)模型。

表2 不同ARIMA模型所對(duì)應(yīng)的AIC值

通過(guò)觀察模型殘差序列的ACF圖(圖5)，發(fā)現(xiàn)自相關(guān)系數(shù)全部落于置信區(qū)間內(nèi)，說(shuō)明殘差序列中不存在自相關(guān)性。此外，利用R語(yǔ)言中Box.test函數(shù)對(duì)殘差序列進(jìn)行Ljung-Box檢驗(yàn)，如圖6所示；結(jié)果顯示P值為0.529，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于0.05，即接受序列平穩(wěn)的原假設(shè)，證明模型的殘差序列為白噪聲序列。

圖5 殘差序列ACF圖

圖6 Ljung-Box檢驗(yàn)結(jié)果

運(yùn)用訓(xùn)練數(shù)據(jù)所確定的ARIMA(2，2，0)模型，預(yù)測(cè)2017—2019年3年的浙江省GDP，預(yù)測(cè)結(jié)果如圖7所示。

圖7 ARIMA(2，2，0)模型預(yù)測(cè)結(jié)果

基于絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差比較浙江省GDP的預(yù)測(cè)值和真實(shí)值，以評(píng)估模型的預(yù)測(cè)效果。絕對(duì)誤差等于真實(shí)值減去預(yù)測(cè)值，相對(duì)誤差等于絕對(duì)誤差的絕對(duì)值除以真實(shí)值。模型預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表3。

一般而言，相對(duì)誤差在10%以內(nèi)時(shí)，可以認(rèn)為模型預(yù)測(cè)是有效的[14]。由表3可知，模型預(yù)測(cè)結(jié)果的平均相對(duì)誤差為6.30%。因此，根據(jù)時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法所構(gòu)建的ARIMA(2，2，0)模型，可以有效地預(yù)測(cè)浙江省GDP。

表3 ARIMA模型預(yù)測(cè)結(jié)果分析

3.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)結(jié)果

1)確定模型的網(wǎng)絡(luò)層數(shù)。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)過(guò)多，會(huì)導(dǎo)致訓(xùn)練過(guò)程復(fù)雜，出現(xiàn)數(shù)據(jù)過(guò)擬合的情況；網(wǎng)絡(luò)層數(shù)過(guò)少，則無(wú)法充分挖掘數(shù)據(jù)價(jià)值，導(dǎo)致模型預(yù)測(cè)能力不足。以往研究表明，三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)能夠準(zhǔn)確擬合任何非線性的連續(xù)函數(shù)[15]。因此，本文采用包含1個(gè)隱藏層的三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行浙江省GDP預(yù)測(cè)。

2)確定輸入層的神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)數(shù)。利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)浙江省GDP時(shí)間序列，需要將時(shí)序值通過(guò)移動(dòng)窗口的方式建立一個(gè)輸入矩陣。輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)過(guò)多，會(huì)減小模型運(yùn)行速度；輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)太少，會(huì)降低模型預(yù)測(cè)精度。因此，本文依次選取GDP時(shí)序的5個(gè)數(shù)據(jù)作為輸入向量，之后的1個(gè)數(shù)據(jù)作為輸出向量，建立前5個(gè)數(shù)據(jù)和之后1個(gè)數(shù)據(jù)的映射關(guān)系。39個(gè)浙江省GDP時(shí)序值可以產(chǎn)生34個(gè)輸入樣本，見(jiàn)表4。表4中的前34行數(shù)據(jù)為訓(xùn)練集輸入樣本，第35行數(shù)據(jù)為測(cè)試集輸入樣本。根據(jù)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)于輸入數(shù)據(jù)的要求，需要將原始數(shù)據(jù)集進(jìn)行歸一化處理。

通過(guò)Kolmogorov定理可以得到最佳的隱藏層神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)數(shù)目，然后在理論的最佳節(jié)點(diǎn)數(shù)目附近選取若干值進(jìn)行程序試驗(yàn)，最終確定使得模型誤差最小的隱藏層神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)數(shù)。Kolmogorov定理的公式為

n2=2n1+1

(6)

式中：n1為輸入層神經(jīng)元；n2為隱藏層神經(jīng)元。

3)選取合適的激活函數(shù)。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)和研究，本文選取具有良好的非線性映射能力的tan-sigmoid函數(shù)作為激活函數(shù)，同時(shí)選取線性函數(shù)purelin作為輸出層的函數(shù)。

通過(guò)數(shù)據(jù)預(yù)處理和確定的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，借助R語(yǔ)言中的AMORE包構(gòu)建BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并且實(shí)現(xiàn)浙江省GDP時(shí)間序列的預(yù)測(cè)。將表4中第35行數(shù)據(jù)作為測(cè)試樣本輸入訓(xùn)練后的模型，計(jì)算得到第一個(gè)預(yù)測(cè)值；測(cè)試樣本向后滑動(dòng)，依次計(jì)算得到剩余兩個(gè)預(yù)測(cè)值，見(jiàn)表5。

為了得到最終的GDP預(yù)測(cè)值，需要將模型輸出的直接結(jié)果進(jìn)行逆歸一化處理。通過(guò)計(jì)算絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差，分析模型的預(yù)測(cè)效果，見(jiàn)表6。

表4 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練集樣本

表5 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)測(cè)試樣本

表6 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)結(jié)果分析

基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)浙江省2017—2019年的GDP數(shù)值。模型預(yù)測(cè)結(jié)果的平均相對(duì)誤差為13.10%，說(shuō)明模型的有效性不充分。此外，模型的相對(duì)誤差隨著預(yù)測(cè)年份的增大而增大，說(shuō)明模型的預(yù)測(cè)效果不穩(wěn)定。由此可見(jiàn)，單一的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)效果不夠理想。

3.3 組合模型預(yù)測(cè)結(jié)果

選擇ARIMA(2，2，0)模型擬合浙江省GDP時(shí)間序列，并得到模型的39個(gè)殘差值，見(jiàn)表7。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)確定為3層，經(jīng)過(guò)比較和驗(yàn)證，輸入層設(shè)置3個(gè)神經(jīng)元，輸出層設(shè)置1個(gè)神經(jīng)元，所以39個(gè)殘差值滑動(dòng)生成36個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)，其中第37行數(shù)據(jù)作為測(cè)試樣本。經(jīng)過(guò)歸一化處理后的殘差序列可以作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型輸入矩陣，見(jiàn)表8。

由Kolmogorov定理可知，模型隱藏層最佳的神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為7。隱藏層選擇tan-sigmoid函數(shù)，輸出層選擇purelin函數(shù)。借助R語(yǔ)言中的AMORE包構(gòu)建BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，設(shè)置網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)，并將36個(gè)殘差訓(xùn)練數(shù)據(jù)導(dǎo)入模型。利用訓(xùn)練完的模型擬合測(cè)試樣本的Y值，然后依次滑動(dòng)擬合得到其他兩個(gè)殘差序列的預(yù)測(cè)值。最后，將預(yù)測(cè)的3個(gè)殘差值進(jìn)行逆歸一化處理，并與ARIMA模型擬合的GDP預(yù)測(cè)值相加，得到組合模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，見(jiàn)表9。

表7 ARIMA(2，2，0)模型預(yù)測(cè)殘差序列

表8 殘差序列樣本集

表9 組合模型預(yù)測(cè)結(jié)果分析

基于組合模型預(yù)測(cè)浙江省2017—2019年的GDP值，模型結(jié)果的平均相對(duì)誤差是6.08%，優(yōu)于ARIMA(2，2，0)模型和單一的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。因此，通過(guò)將ARIMA模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行組合，可以得到更為準(zhǔn)確的GDP預(yù)測(cè)結(jié)果。

4 結(jié)語(yǔ)

區(qū)域經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和高速公路的建設(shè)緊密聯(lián)系。經(jīng)濟(jì)發(fā)展態(tài)勢(shì)好、增速快，有利于推進(jìn)高速公路的建設(shè)，促進(jìn)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)型升級(jí)；高速路網(wǎng)密度高、布局優(yōu)，有利于帶動(dòng)區(qū)域經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，加強(qiáng)生產(chǎn)生活的穩(wěn)定有序。GDP是衡量區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的一個(gè)基本指標(biāo)。及時(shí)準(zhǔn)確地了解GDP的變化趨勢(shì)，可以更加科學(xué)合理地規(guī)劃高速路網(wǎng)。

基于浙江省1978—2019年的GDP數(shù)據(jù)，分別構(gòu)建3個(gè)預(yù)測(cè)模型，分析GDP的未來(lái)走勢(shì)。①ARIMA模型：先將非平穩(wěn)的時(shí)間序列進(jìn)行差分處理轉(zhuǎn)為平穩(wěn)時(shí)序，再通過(guò)ACF圖、PACF圖以及AIC值確定模型參數(shù)，最后建立ARIMA(2，2，0)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。②BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：先將GDP時(shí)序值以移動(dòng)窗口的方式生成訓(xùn)練集和測(cè)試集，再確定BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、激活函數(shù)和各層的神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)數(shù)，最后用訓(xùn)練數(shù)據(jù)建立預(yù)測(cè)模型，并用測(cè)試數(shù)據(jù)評(píng)估模型預(yù)測(cè)效果。③組合模型：先利用ARIMA(2，2，0)模型得到GDP時(shí)間序列的預(yù)測(cè)值，再利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型得到GDP時(shí)序的殘差預(yù)測(cè)值，最后將兩個(gè)預(yù)測(cè)值相加得到組合模型的預(yù)測(cè)結(jié)果。通過(guò)計(jì)算3個(gè)模型的相對(duì)誤差并進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)組合模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度最高。