趙 磊，薛東劍，方 坤

(1.成都理工大學地球科學學院，四川 成都 610059；2.四川省國土科學技術(shù)研究院，四川 成都 610045)

灰色系統(tǒng)是由我國著名學者鄧聚龍在1982年提出來的，灰色系統(tǒng)的提出解決了大量預測問題，灰色系統(tǒng)著重于小樣本、貧信息和不確定性問題的研究，并依據(jù)信息覆蓋，通過序列算子的作用探索事物運動的現(xiàn)實規(guī)律，其特點是“少數(shù)據(jù)建?！?，著重研究“外延明確，內(nèi)涵不明確”的對象[1]。預測的任務就是探尋研究客觀事物發(fā)展變化的規(guī)律，由于預測的對象、目標和內(nèi)容的不同，形成了多種多樣的預測方法[2]，薛東劍等[2]采用灰色系統(tǒng)預測模型進行礦產(chǎn)預測，并證實了灰色系統(tǒng)預測模型在礦產(chǎn)預測中的適用性，此后灰色系統(tǒng)預測方法在礦產(chǎn)預測中被廣泛使用，為礦產(chǎn)資源編制工作提供了新的方法與思路。然而面對礦產(chǎn)產(chǎn)量數(shù)據(jù)的無規(guī)律性，灰色預測系統(tǒng)模型在對礦產(chǎn)預測過程中時，仍存在精度偏低等問題。所以本次研究通過對比多種背景值改良后的灰色系統(tǒng)模型及原始灰色系統(tǒng)模型，通過對模擬值、殘差、相對誤差和平均相對誤差等多個方面進行對比分析，為礦產(chǎn)預測選擇更加合理、精確的預測方法。

模型的初始值、模型的背景值和模型的參數(shù)估計方法等是影響GM(1，1)模型的預測精度的常見因素[3]，其中背景值構(gòu)造方法的改良在探索提高GM(1，1)精度的過程中有非常重要的意義，并且一大批學者致力于背景值構(gòu)造改良方法的研究。劉樂等[4]將x(1)(t)抽象為x(1)(t)=B·exp(A·t)+C，從而構(gòu)造出更加精確的背景值構(gòu)造公式，該公式提高了預測精度，同時還適用于高、低指數(shù)增長序列的建模。李星毅等[5]利用非齊次指數(shù)函數(shù)模擬依次累加生成序列，在考慮原始模型誤差出現(xiàn)原因之后，根據(jù)序列與累加生成序列的關(guān)系重新構(gòu)造了背景值計算公式，以實際曲線在區(qū)間上與x軸圍成的面積作為新背景值。蔣詩泉等[6]基于積分幾何意義，將原區(qū)間平分成若干小區(qū)間，利用函數(shù)逼近的思想，同時利用復化梯形公式代替原公式，提出了新的GM(1，1)模型背景值優(yōu)化方法，并取得了較好的效果。江藝羨等[7]根據(jù)模型的指數(shù)性質(zhì)及積分特點，利用黎曼積分的核心思想，用不規(guī)則梯形面積代替?zhèn)鹘y(tǒng)梯形面積，從而提出了新的背景值構(gòu)造方法。徐寧等[8]根據(jù)GM(1，1)模型時間響應式的函數(shù)形式，利用積分中值定理擬合真實模型背景值，在研究發(fā)展系數(shù)與背景值之間的關(guān)系的基礎(chǔ)上，提出了基于誤差最小化的GM(1，1)模型背景值優(yōu)化方法。李凱等[9]提出了利用辛普森3/8公式和牛頓插值公式的組合插值方法來構(gòu)造出新的GM(1，1)模型背景值。雖然改良后的各種模型具有較好的預測穩(wěn)定性，增強了GM(1，1)模型的適用性，但是對于數(shù)據(jù)較大且無規(guī)律的礦物產(chǎn)量而言，不論是原始GM(1，1)模型還是改良后的GM(1，1)模型都只能進行短期預測，所以本文提出了利用新陳代謝模型與改良后的模型相結(jié)合，以便于進行礦物產(chǎn)量的長期預測，從而達到更高的精度。

1 灰色系統(tǒng)預測模型的建立

1.1 建模原理及方法

GM(1， 1)模型的算法如下：

設(shè)時間序列x0有n個觀察值：

累加生成新序列：X1=｛x1(1),x1(2)…x1(n)｝，其中

X1(k)為X0(k)的一次累加序列，記作1-AGO，有：

(1)式為GM(1，1)模型的基本形式，也稱作灰微分方程；其中a、b分別為發(fā)展系數(shù)和內(nèi)生控制灰數(shù)為待估計參數(shù)變量，通常利用最小二乘法可以解得：

其中：

B矩 陣 中z(1)(k)=1/2{x(1)(k)+x(1)(k-1)}；k=2，3，…，n，z(1)(k)即為模型的背景值。

(3)式即為灰微分方程式(1)的白化方程，時間響應式為：

利用(4)式累減得可到還原序列，即預測方程：

1.2 GM(1，1)建模數(shù)據(jù)合格性檢驗

計算建模序列的級比：

若數(shù)據(jù)符合(6)式，則認為建模序列是合格的。其中：

若不滿足上述條件，則需要對數(shù)據(jù)序列進行一定的變換處理，從而達到建模要求。

1.3 預測結(jié)果精度檢驗

灰色模型精度檢驗一般有三種方法：相對誤差大小檢驗法，關(guān)聯(lián)度檢驗法和后驗差檢驗法。常用的為后驗差檢驗法。

(2)計算殘差。

(3)分別計算原始序列x0的方差S1和殘差e(k)的方差S2。

(4)計算后驗差比。

其中C表示原始數(shù)據(jù)離散程度的大小。

(5)計算小誤差概率并查表觀察效果(表1)。

表1 精度等級對照表

小誤差頻率：P=P{|ε(k)-ε(k)|＜0.6745S1}，其中P表示殘差與殘差平均值之差小于0.6745S2的點的數(shù)量。

2 灰色系統(tǒng)預測模型的改良

在傳統(tǒng)的GM(1，1)模型的建模過程中，常利用梯形面積代替積分與X軸圍成的面積，從而在預測結(jié)果上產(chǎn)生了誤差，同時GM(1，1)模型的預測精度取決于a和b的值，同時模型中a，b的值又取決于背景值z(1)(k)，因此本文選取原始GM(1，1)模型以及三種背景值改良后的GM(1，1)模型進行對比分析。

2.1 模型一

令區(qū)間[k-1，k]=[p，q]，在區(qū)間[k-1，k]中平均插入n-1個點，將區(qū)間[k-1，k]平均分成了n個小區(qū)間，則每個點的表達式為xk=p+kh；k=0，1，…，n，其中h=(q-p)/nh，對每個小區(qū)間進行積分并求和得到：

最終得到背景值公式：

2.2 模型二

2.3 模型三

最終根據(jù)待定系數(shù)A、D、C并結(jié)合式z(1)(k)=1/A[x(1)(k)-x(1)(k-1)]+C=[x(0)(k)/A]+C得到新背景值構(gòu)造公式為：x(1)(k)≠x(1)(k-1)時，

3 四川省水泥用灰?guī)r產(chǎn)量預測

3.1 產(chǎn)量數(shù)據(jù)預測分析

水泥用灰?guī)r2011年至2019年產(chǎn)量數(shù)據(jù)來自2011年至2019年《四川省礦產(chǎn)資源年報》、《四川省統(tǒng)計年鑒》，具體產(chǎn)量數(shù)據(jù)可見下表2。

表2 四川省水泥用灰?guī)r2011～2019年產(chǎn)量

利用表2水泥用灰?guī)r2011～2019年9組產(chǎn)量數(shù)據(jù)進行建模：X(0)={5855.2，6267.9，6789.1，7564.2，7464.7，7811.9，8420.6，8670.9，9355.3}

表3 水泥用灰?guī)r產(chǎn)量預測結(jié)果

表4 水泥用灰?guī)r預測產(chǎn)量誤差分析結(jié)果

原始GM(1，1)模型及三種基于背景值改良的GM(1，1)模型預測精度都達到了1級，但是水泥用灰?guī)r產(chǎn)量數(shù)據(jù)較大，所以對精度要求較高，通過對三種改良模型的預測數(shù)據(jù)的平均誤差進行分析對比后發(fā)現(xiàn)，M3改良模型較原始GM(1，1)模型及其他改良模型都有一定優(yōu)勢，成功降低了水泥用灰?guī)r產(chǎn)量預測的誤差。原始產(chǎn)量數(shù)據(jù)與M3模型預測值擬合度如圖1所示。

從表4和圖1可以看出原始產(chǎn)量數(shù)據(jù)與M3模型預測值擬合度較高，M3模型預測值最高相對誤差為5.37%，平均相對誤差為1.72%，預測精度為1級，適合對水泥用灰?guī)r進行中長期預測研究。

圖1 2012～2019年水泥用灰?guī)r原始值與預測值

3.2 新陳代謝模型與改良模型M3結(jié)合

在原始數(shù)據(jù)序列中，新預測數(shù)據(jù)x(0)(n+1)代替舊數(shù)據(jù)x(0)(1)，新預測序列則更新為：

反復進行此過程，直到完成預測任務，這個新數(shù)據(jù)代替舊數(shù)據(jù)，并反復利用新序列來進行GM(1，1)建模的過程就是灰色新陳代謝模型，通過這個過程可以提高預測精度。

利用表2水泥用灰?guī)r2011～2019年9組產(chǎn)量數(shù)據(jù)進行建模，通過預測公式計算得到2020年水泥用灰?guī)r產(chǎn)量為9 819.7萬t。

利用新陳代謝模型將x(0)(10)代替原x(0)(1)形成新的建模序列，計算得到2021年水泥用灰?guī)r產(chǎn)量預測模型：

同理可得未來4年水泥用灰?guī)r預測模型。

2021～2025年水泥用灰?guī)r產(chǎn)量預測模型分別為：

3.3 水泥用灰?guī)r產(chǎn)量預測結(jié)果分析

通過上述2021～2025年水泥用灰?guī)r產(chǎn)量預測模型得到預測結(jié)果(表5)。

表5 水泥用灰?guī)r產(chǎn)量預測結(jié)果

未來五年的產(chǎn)量預測結(jié)果表明，水泥用灰?guī)r產(chǎn)量呈上升趨勢。水泥用灰?guī)r在水泥工業(yè)中占主導地位，是國民經(jīng)濟及人民生活必不可少的原料，其工業(yè)總產(chǎn)值穩(wěn)步上升，需求呈現(xiàn)上升的趨勢，水泥用灰?guī)r產(chǎn)量預測結(jié)果與需求趨勢一致。

4 結(jié)論

(1)本次研究以四川省第四輪礦產(chǎn)資源規(guī)劃為背景，利用表2中水泥用灰?guī)r2011～2019年產(chǎn)量數(shù)據(jù)，分別采用原始GM(1，1)模型及三種背景值改良后的GM(1，1)模型，利用水泥用灰?guī)r2011～2019年產(chǎn)量對其進行預測，在四種預測模型預測精度都為一級的情況下，對四種模型的預測精度進行對比分析，最終選擇出了更加適合水泥用灰?guī)r產(chǎn)量預測的模型。

(2)礦物產(chǎn)量受政策、價格等因素變化而波動，舊數(shù)據(jù)已經(jīng)不再適合繼續(xù)作為GM(1，1)建模數(shù)據(jù)進行研究，新陳代謝模型利用新數(shù)據(jù)代替舊數(shù)據(jù)，將改良后的GM(1，1)模型與新陳代謝模型相結(jié)合，利用水泥用灰?guī)r2011～2019年產(chǎn)量數(shù)據(jù)進行建模，成功預測出未來5年水泥用灰?guī)r產(chǎn)量，水泥用灰?guī)r產(chǎn)量預測結(jié)果呈現(xiàn)上升趨勢。

此次研究為動態(tài)建模過程，提高了對水泥用灰?guī)r產(chǎn)量長期預測的準確性，為其他礦物產(chǎn)量的長期預測提供了方法和思路，也為礦產(chǎn)資源規(guī)劃提供了更加精確的數(shù)據(jù)，合適的預測模型和精確的預測數(shù)據(jù)是礦產(chǎn)規(guī)劃順利完成的有力保障。