吳枝根 李孝寶 孟 增 詹春曉

(合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，合肥 230009)

最小勢能原理是彈性力學(xué)教學(xué)中的重點，也是難點。很多教材中，公式推導(dǎo)過程都相當(dāng)嚴(yán)密，例如：文獻[1]在給出總勢能的一階變分等于0 的情況下，進而提出二階變分大于0，可證明總勢能在實際存在的一組位移中取得極小值；文獻[2]推導(dǎo)了幾何可能位移場的總勢能總是大于真實位移場的總勢能，用到了應(yīng)變能密度為正定函數(shù)的性質(zhì)；文獻[3]認(rèn)為只要應(yīng)變能函數(shù)是凸函數(shù)，則由凸函數(shù)的性質(zhì)得出一切可能的變形中，真實變形的總勢能最小?？陀^地說，由于問題的復(fù)雜性，要想清晰地理解這一原理對于初學(xué)者還是有一定的難度。本文從軸向受拉桿的變形出發(fā)，簡單而直觀地揭示最小勢能原理所蘊含的機理。

1 線彈性桿的變形分析

如圖1(a)所示，彈性桿上端固定，下端自由，桿的長度為l，橫截面面積為A，彈性模量為E。當(dāng)桿的下端懸掛重量為F的重物時，下端向下產(chǎn)生位移u(圖1(b))，故彈性桿的彈性勢能為

圖1 彈性桿及其受重物作用后的變形和虛位移

系統(tǒng)的總勢能為Ve+Vp。

現(xiàn)假定彈性桿的下端沿x方向有一個增量，即一個虛位移或位移變分δu(圖1(c)和圖1(d))，則彈性勢能也隨之有一個變分δVe，且

由此可見，總勢能的變分δ(Ve+Vp) 是位移變分δu的二階無窮小量，當(dāng)δu →0 時，δ(Ve+Vp) 的極限等于0，當(dāng)且僅當(dāng)δu=0 時總勢能變分取得極小值，并等于0。因為δu= 0 對應(yīng)于實際存在的位移，所以在給定的外力作用下，實際存在的位移使總勢能取得極小值，即最小勢能原理。

2 非線彈性桿的變形分析

設(shè)加載過程中，非線彈性桿下端受到的拉力f與下端的位移uf的關(guān)系為

考慮到彈性范圍內(nèi)外力是關(guān)于位移的增函數(shù)，當(dāng)δu ＞0 時，有ξ ＞u和f(ξ)-f(u)＞0；當(dāng)δu ＜0時，有ξ ＜u和f(ξ)-f(u)＜0。因此，式(11) 等號右邊f(xié)(ξ)-f(u)與δu兩項總保持相同的正負(fù)號，其乘積必大于0，當(dāng)且僅當(dāng)δu=0 時其乘積等于零?？倓菽茏兎枝?Ve+Vp)是位移變分δu的二階無窮小量，且在位移變分為零時取得極小值，因此對非線彈性桿的變形分析同樣有最小勢能原理。

3 基于線彈性應(yīng)變能的分析

如果考慮彈性受拉桿自身重力，即沿x方向的體力ρg，這時沿x方向的線應(yīng)變εx是關(guān)于x的函數(shù)。對于線彈性情況，彈性桿的應(yīng)變能

應(yīng)變能的變分

式中δux表示與桿下端位移變分δu對應(yīng)的x截面的位移變分。

根據(jù)虛位移原理，即：如果在虛位移發(fā)生之前，彈性體是處于平衡狀態(tài)，那么在虛位移過程中，外力在虛位移上所做的虛功就等于應(yīng)力在與該虛位移相應(yīng)的虛應(yīng)變上所做的虛功[1]，有

因此，在考慮體力和面力的情況下，彈性桿總勢能變分是應(yīng)變變分的二階無窮小量，在應(yīng)變變分為零時總勢能取得極小值，即為最小勢能原理。

4 結(jié)束語

(1)通過給出彈性桿在軸向受拉情況下的彈性勢能和外力勢能以及它們的變分和總勢能變分的準(zhǔn)確形式，得出：無論是線性還是非線性，其總勢能變分都是位移變分或應(yīng)變變分的二階無窮小量，只有在位移變分或應(yīng)變變分等于零時總勢能變分才取得極小值，均應(yīng)驗了最小勢能原理。

(2)計算外力勢能時外力是一個恒定的量，文中采用物體的重力作為外力，將重力勢能作為外力勢能，便于形成外力勢能的概念，避免產(chǎn)生外力隨物體變形而改變的思維習(xí)慣。

(3)雖然從彈性桿的軸向受力變形解釋了最小勢能原理，對于一般情況下的最小勢能原理具有相同實質(zhì)，有助于理解最小勢能原理的真實含義。