易文彬 孟慶昌 鄧 輝 王 沖 張志宏 顧建農(nóng)

(海軍工程大學(xué)基礎(chǔ)部，武漢 430033)

伯努利方程是流體力學(xué)課程教學(xué)中的重要內(nèi)容。在教學(xué)設(shè)計(jì)中常包含實(shí)驗(yàn)演示、方程推導(dǎo)、物理意義討論、相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系拓展等環(huán)節(jié)。然而在教學(xué)實(shí)施的過程中，常常出現(xiàn)以下幾方面問題，如演示實(shí)驗(yàn)解釋不合理，學(xué)生對(duì)方程推導(dǎo)及方程中壓強(qiáng)項(xiàng)的物理意義理解感到困惑，對(duì)方程的理解過于片面，不能建立知識(shí)點(diǎn)線面的聯(lián)系。針對(duì)以上問題，本文梳理伯努利方程演示實(shí)驗(yàn)中的常見誤解，分析伯努利方程不同的推導(dǎo)方法，討論方程中壓強(qiáng)項(xiàng)的物理意義，并將伯努利方程進(jìn)一步聯(lián)系拓展，以加深學(xué)生對(duì)內(nèi)容的理解認(rèn)識(shí)，建立科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治龇椒ā?/p>

1 演示實(shí)驗(yàn)中的若干誤解

在課程內(nèi)容引入時(shí)，教師往往通過一些簡(jiǎn)易的演示實(shí)驗(yàn)來激發(fā)學(xué)生興趣，然而對(duì)演示實(shí)驗(yàn)的解釋往往一筆帶過，甚至忽略了方程使用的限制條件，給出錯(cuò)誤的解釋，反而不利于學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)胤治鰡栴}。

吹紙片實(shí)驗(yàn)是早期課本常用的一個(gè)演示實(shí)驗(yàn)(圖1)。捏住紙片的一端，用嘴或者吹風(fēng)機(jī)對(duì)著紙片的上方吹氣時(shí)，紙片則向上抬起。由于觀察到紙片上方的氣流速度快，壓強(qiáng)低，學(xué)生很容易誤認(rèn)為是伯努利方程的原因。事實(shí)上，紙片上方和下方的流體并不處于同一流線，且初始時(shí)二者機(jī)械能也不相等(上方吹出氣流的機(jī)械能大于下方氣流的機(jī)械能)，不滿足伯努利方程的適用條件[1]。

圖1 吹紙片實(shí)驗(yàn)

由實(shí)驗(yàn)測(cè)量可知射流的壓強(qiáng)與周圍環(huán)境壓強(qiáng)基本相等，吹出的氣流壓強(qiáng)和周圍大氣壓差別不大。吹紙片實(shí)驗(yàn)中紙片之所以向上抬起主要與流體黏性導(dǎo)致的康恩達(dá)效應(yīng)以及紙片初始彎曲弧度有關(guān)[2-3]。流體流過彎曲的壁面時(shí)，因?yàn)轲ば缘淖饔?，射流帶走周圍的流體向下游流動(dòng)，導(dǎo)致附近壓強(qiáng)降低從而射流向壁面偏轉(zhuǎn)。根據(jù)力作用的相互性，壁面也受到指向射流方向的力，因此紙片會(huì)向射流方向抬起。射流沿著平直的壁面流動(dòng)時(shí)，康恩達(dá)效應(yīng)不明顯。如果紙條自然下垂，并沒有形成弧度，此時(shí)向下吹氣，則紙片擺動(dòng)幅度較小，且不會(huì)出現(xiàn)方向性。

圖2 所示的氣頂球?qū)嶒?yàn)是一個(gè)較為有趣的演示實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)時(shí)吹風(fēng)機(jī)向上吹氣保持小球懸浮于吹風(fēng)機(jī)上方，當(dāng)水平移動(dòng)吹風(fēng)機(jī)時(shí)，小球也會(huì)隨之水平移動(dòng)，甚至吹風(fēng)機(jī)傾斜一定的角度，上方懸浮的小球也隨之移動(dòng)而并不落下。文獻(xiàn)[4-5] 對(duì)該實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了討論，但是關(guān)于氣頂球?qū)嶒?yàn)的解釋爭(zhēng)議較大。

圖2 氣頂球?qū)嶒?yàn)

為了解釋氣頂球?qū)嶒?yàn)現(xiàn)象，本文基于CFD 軟件進(jìn)行了數(shù)值模擬。計(jì)算中的小球?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)的乒乓球，直徑為0.04 m，重量為2.7 g，距離下方射流出口0.3 m。計(jì)算可得射流出流速度為12.7 m/s 時(shí)，小球可保持平衡。圖3 為射流正對(duì)球心時(shí)的流場(chǎng)的速度分布。觀察小球下方射流速度分布：由于黏性的作用，射流帶動(dòng)周圍靜止的空氣，同時(shí)射流核心區(qū)變細(xì)。圖4 為射流正對(duì)球心時(shí)流場(chǎng)的壓強(qiáng)分布，雖然射流和周圍空氣流速差別較大，但是壓強(qiáng)差別較小。

圖3 射流正對(duì)球心時(shí)流場(chǎng)的速度分布

圖4 射流正對(duì)球心時(shí)流場(chǎng)的壓強(qiáng)分布

圖5 為射流正對(duì)小球左側(cè)時(shí)的速度分布，圖6為小球表面的壓強(qiáng)分布。小球左下方為駐點(diǎn)，受射流的沖擊作用為高壓區(qū)；小球左側(cè)流速較大，由流線伯努利方程可知，此處為低壓區(qū)。計(jì)算得到小球受到水平方向的合力向左，為5.5 mN，相當(dāng)于0.2 倍小球的重量，此力拉動(dòng)小球向左移動(dòng)。其中一種解釋為康恩達(dá)效應(yīng)導(dǎo)致小球左側(cè)壓強(qiáng)降低，進(jìn)而產(chǎn)生水平的作用力，同時(shí)壓強(qiáng)降低會(huì)出現(xiàn)流線彎曲且流動(dòng)加速的現(xiàn)象[6]。

圖5 射流正對(duì)小球左側(cè)時(shí)流場(chǎng)的速度分布

圖6 射流正對(duì)小球左側(cè)時(shí)小球的壓強(qiáng)分布

2 伯努利方程的推導(dǎo)及物理意義

不同流體力學(xué)教材中關(guān)于伯努利方程的推導(dǎo)有不同的方法。有的是基于理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程(歐拉方程或蘭姆方程)沿流線積分得到，有的是基于功能原理推導(dǎo)。不同的推導(dǎo)過程難易不同，學(xué)習(xí)了解多種推導(dǎo)方法有助于學(xué)生加深對(duì)伯努利方程的認(rèn)識(shí)理解。

2.1 推導(dǎo)方法一

在定常流場(chǎng)中，基于牛頓第二定律分析理想流體微元體的受力，可得到歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中，p為流體的壓強(qiáng)；ux，uy，uz分別為速度u沿坐標(biāo)軸x，y，z三個(gè)方向上的分量；fx，fy，fz分別為單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力f沿x，y，z三個(gè)方向上的分量，z軸垂直向上。

將方程(1)～(3) 沿流線積分即可得到伯努利方程[7]。由流線方程

可得到uydx=uxdy，uzdx=uxdz，所以式(1)乘以dx后可寫為

式中，u2/(2g) 為單位重量流體的動(dòng)能，z為單位重量流體的重力勢(shì)能，p/(ρg) 為壓力對(duì)單位重量流體所做的功。理想流體沿著流線定常流動(dòng)時(shí)，單位重量流體的動(dòng)能、勢(shì)能和壓力做功之和為常數(shù)。這三種形式的能量和功在流動(dòng)的過程中是可以轉(zhuǎn)化的，伯努利方程是能量轉(zhuǎn)化與守恒定律在流體力學(xué)中的具體反映[7]。

此外，也可以根據(jù)蘭姆運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行推導(dǎo)[8]。蘭姆運(yùn)動(dòng)微分方程為歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程的另外一種表達(dá)形式，優(yōu)點(diǎn)是對(duì)于無旋流動(dòng)時(shí)，方程可以大大簡(jiǎn)化，此處不再贅述。

2.2 推導(dǎo)方法二

在理想流體的定常流動(dòng)中，考慮沿流線方向作用于流管中一個(gè)微元上的力，并對(duì)此微元應(yīng)用牛頓第二定律(圖7)。垂直于流線的此微元截面積具有任意的形狀，其面積大小由dA變化為dA+o(dA)。忽略二階小量后，微元的質(zhì)量為

圖7 沿流線運(yùn)動(dòng)的微元

沿流線切線方向進(jìn)行受力分析，理想流體無切應(yīng)力，則表面力為

重力場(chǎng)中，重力在流動(dòng)方向上分量為

式(17)與式(10)相同，適用于可壓流體和不可壓縮流體。在不可壓縮條件下積分即可得到常見形式的伯努利方程。式(17) 通常也稱為一維歐拉方程，是列奧納德·歐拉(Leonhard Euler) 于1750 年首先導(dǎo)出。此方法的優(yōu)點(diǎn)在于學(xué)生未掌握歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程時(shí)也能夠較好理解伯努利方程的推導(dǎo)過程。

2.3 推導(dǎo)方法三

在理想流體定常流動(dòng)中，任取一微流束，取1-2 段作為控制體進(jìn)行分析(圖8)。假設(shè)在t時(shí)刻，流體系統(tǒng)與控制體重合，在t+ dt時(shí)刻，流體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)至1′-2′位置。微流束在過流斷面1-1和2-2 處的面積，壓強(qiáng)，流速，密度，高度分別為dA1，dA2，p1，p2，u1，u2，ρ1，ρ2，z1，z2。對(duì)不可壓縮流體，ρ1=ρ2。

圖8 定常流場(chǎng)中的微流束

由定常不可壓縮條件知，微流束在1-1′和2-2′段的體積相等，用dV表示。忽略二階小量，流體從1-2 移動(dòng)到1′-2′外界壓力對(duì)系統(tǒng)做功

流體從1-2 段運(yùn)動(dòng)到1′-2′位置時(shí)機(jī)械能的增量

與前兩種推導(dǎo)方法不同，方法3 是基于功能原理推導(dǎo)得到。方法3 比較簡(jiǎn)潔直觀，適合基礎(chǔ)比較薄弱的學(xué)生掌握。

2.4 伯努利方程中壓強(qiáng)的物理意義

由以上推導(dǎo)過程可知，伯努利方程中z代表了重力對(duì)單位重量流體所做的功，表示單位重量流體的重力勢(shì)能。p/(ρg) 代表了壓力對(duì)單位重量流體所做的功，為方便理解，部分中文教材也稱之為單位重量流體的壓強(qiáng)勢(shì)能(簡(jiǎn)稱壓能)，屬于一種機(jī)械能。學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)時(shí)可能遇到以下困惑：壓強(qiáng)是一種勢(shì)能嗎？固體有沒有壓強(qiáng)勢(shì)能？

為避免學(xué)生產(chǎn)生困惑，大多數(shù)英文教材中關(guān)于伯努利方程中壓強(qiáng)項(xiàng)的物理意義并未過多解讀[9]。教材[10]將伯努利方程(12)左邊三項(xiàng)分別稱為單位重量流體的動(dòng)能，勢(shì)能和可逆的壓強(qiáng)功。教材[11] 中將壓強(qiáng)項(xiàng)稱為壓頭，且指出一般不稱其為壓力能。流體中存在壓力做功，這是由于流體在壓力作用下可以流動(dòng)做功，它是流體中一種特殊的能量，固體則沒有這種特性。此外，某一空間點(diǎn)處單位重量流體的壓能容易求得(不可壓縮條件下為p/(ρg))，但對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)中的壓能通常難以積分求得，這也限制了將壓強(qiáng)項(xiàng)作為一種能量來處理應(yīng)用，因此在推導(dǎo)方法3 中將壓強(qiáng)影響作為力而非能量來考慮。

3 伯努利方程的聯(lián)系與拓展

伯努利方程與流體力學(xué)課程中的其他內(nèi)容有著密切的聯(lián)系(圖9)。如流體靜止時(shí)，伯努利方程退化為靜力學(xué)基本方程；考慮黏性流體管內(nèi)流動(dòng)損失時(shí)，可以建立黏性總流伯努利方程。如果在課程中引導(dǎo)學(xué)生建立點(diǎn)線面的知識(shí)體系將有助于加深學(xué)生對(duì)整個(gè)課程的理解和認(rèn)識(shí)。

圖9 伯努利方程的知識(shí)聯(lián)系

文獻(xiàn)[12] 闡述了伯努利方程在流體靜力學(xué)、定?？卓诔隽?、畢托管測(cè)速、文丘里管流量和翼型繞流等具體流動(dòng)中的成功應(yīng)用。公元前250 年，阿基米德提出了流體力學(xué)浮力定理。而流體靜力學(xué)基本方程正是伯努利方程在速度為0 時(shí)的特殊形式。1653年，帕斯卡發(fā)現(xiàn)的流體壓強(qiáng)傳遞特性也是伯努利方程的一個(gè)特殊形式。1643 年，意大利科學(xué)家托里拆利通過實(shí)驗(yàn)的方法總結(jié)出了定常孔口出流的基本公式。流體質(zhì)點(diǎn)從自由液面運(yùn)動(dòng)到孔口，重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，其機(jī)械能守恒的思想與伯努利方程不謀而合。利用伯努利方程的原理還可以通過畢托管測(cè)速或文丘里管測(cè)流量。值得注意的是，畢托管測(cè)速儀的發(fā)明時(shí)間早于伯努利方程的提出時(shí)間，而文丘里流量計(jì)發(fā)明時(shí)間明顯晚于伯努利方程的提出時(shí)間。從中我們可以看到，實(shí)驗(yàn)和理論分析是科學(xué)研究的兩個(gè)重要方法，且相輔相成，相互促進(jìn)。知識(shí)的發(fā)現(xiàn)并非一蹴而就，各知識(shí)之間蘊(yùn)含著豐富的聯(lián)系。

伯努利方程可以在定常、沿流線、無黏、不可壓縮、重力場(chǎng)的條件下推導(dǎo)得出。若流線上兩點(diǎn)高度相等或者重力可忽略時(shí)，伯努利方程也可以寫為

對(duì)于理想氣體做絕熱連續(xù)流動(dòng)，考慮氣體的壓縮性，結(jié)合完全氣體狀態(tài)方程式(23)，等熵壓縮關(guān)系式(24)，焓的定義式(25) 對(duì)歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程沿流線積分可得到可壓縮等熵氣流的伯努利方程。

式中，c∞為來流聲速，p∞，ρ∞，u∞分別為來流靜壓，密度和速度。引入馬赫數(shù)Ma∞=u∞/c∞，當(dāng)Ma∞＜0.3 時(shí)，一般認(rèn)為流體壓縮性引起的總壓變化可以忽略不計(jì)。

4 小結(jié)

伯努利方程形式簡(jiǎn)單，在實(shí)際工程中有著廣泛的應(yīng)用，是流體力學(xué)課程教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。圍繞伯努利方程的教學(xué)設(shè)計(jì)需要注意以下幾個(gè)方面的問題。

(1) 關(guān)于演示實(shí)驗(yàn)的解讀應(yīng)該做到深入且嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)當(dāng)注意到伯努利方程的適用條件，綜合考慮流體黏性，抽吸，康恩達(dá)效應(yīng)等因素的影響。

(2)方程的不同推導(dǎo)方法難易不同，出發(fā)的角度不同。了解方程的不同推導(dǎo)方法有助于加深學(xué)生對(duì)伯努利方程本質(zhì)的理解認(rèn)識(shí)。

(3)流體力學(xué)中文教材中多將伯努利方程中壓強(qiáng)項(xiàng)解讀為壓強(qiáng)勢(shì)能，而英文教材多沒有這種說法。伯努利方程中壓強(qiáng)項(xiàng)的本質(zhì)是壓力對(duì)單位重量流體所做的功，在流體當(dāng)中，它可作為一種特殊的能量，稱之為壓能。但是流體系統(tǒng)的壓能難以積分求得，且在固體中并不存在這種能量，為避免學(xué)生產(chǎn)生困惑，也可不將其解讀為壓能。

(4)伯努利方程與流體靜力學(xué)等知識(shí)點(diǎn)有著豐富的聯(lián)系，適當(dāng)?shù)穆?lián)系拓展有助于學(xué)生體會(huì)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過程，加深對(duì)流體力學(xué)研究方法的認(rèn)識(shí)。

(5)在可壓縮條件下，伯努利方程的形式及物理意義均有所改變，學(xué)生應(yīng)仔細(xì)對(duì)比鑒別。