當(dāng)今，信息技術(shù)已經(jīng)融入人們生活學(xué)習(xí)的方方面面?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：要充分考慮信息技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，開(kāi)發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問(wèn)題的有力工具，有效地改進(jìn)教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂(lè)意并有可能投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去^[1]。如何有效借助信息技術(shù)，使之更好地與初中數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合呢？ 一直以來(lái)，二次函數(shù)是初中教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)和理解有一定困難。筆者以PhET互動(dòng)式仿真程序?yàn)檩d體，探討二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合思想，激發(fā)與增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與信心。

一、關(guān)于仿真程序PhET

PhET是Physics Education Technology的縮寫，譯為物理教育技術(shù)。諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者卡爾·威曼于2002年發(fā)起PhET物理教育科技計(jì)劃，并在科羅拉多大學(xué)進(jìn)行研發(fā)與試驗(yàn)，幫助學(xué)生更好地了解科學(xué)，提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)。隨著計(jì)劃的不斷推進(jìn)以及越來(lái)越多教育工作者的參與，適用于化學(xué)、生物學(xué)、地理及數(shù)學(xué)等學(xué)科的互動(dòng)仿真程序開(kāi)始出現(xiàn)，PhET已超出最初的構(gòu)想，但是為了維持名稱的一致性，并沒(méi)有因?qū)W科不同而改名^[2]。卡爾·威曼研究了PhET仿真程序教學(xué)，強(qiáng)調(diào)仿真程序的特別之處在于“它可以模糊講課、作業(yè)、課堂活動(dòng)、實(shí)驗(yàn)之間的界限。其原因在于一個(gè)仿真程序可以通過(guò)類似途徑應(yīng)用于以上所有的教學(xué)活動(dòng)中……同時(shí)仿真程序在教師和學(xué)生之間提供了一個(gè)同等的形象化，這種形象化可以促進(jìn)交流與教學(xué)”^[3]。

PhET仿真互動(dòng)程序網(wǎng)頁(yè)版界面匯集了非常豐富的教學(xué)資源。目前，PhET的應(yīng)用覆蓋小學(xué)、中學(xué)和大學(xué)學(xué)段，涉及物理、化學(xué)、數(shù)學(xué)、生物學(xué)和地球科學(xué)五大學(xué)科^[4]。以數(shù)學(xué)學(xué)科的仿真程序?yàn)槔?，主要分為?shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)應(yīng)用兩大部分，數(shù)學(xué)概念部分的程序涉及整數(shù)、分?jǐn)?shù)、三角函數(shù)和向量等內(nèi)容。數(shù)學(xué)應(yīng)用不局限于數(shù)學(xué)學(xué)科，與物理學(xué)科也有交叉融合，如電線的電阻、斜拋運(yùn)動(dòng)等知識(shí)。PhET的界面簡(jiǎn)潔，其中的仿真程序也比較有趣，適于探究。教師應(yīng)用PhET可以寓教于樂(lè)。

二、交互式仿真教學(xué)案例分析

二次函數(shù)是人教版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第二十二章的教學(xué)內(nèi)容，這部分是初中板塊的重難點(diǎn)。目前，國(guó)內(nèi)將PhET與數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合的案例較少，更談不上廣泛應(yīng)用。

在二次函數(shù)的新授課環(huán)節(jié)，教師一般引導(dǎo)學(xué)生從一些生活實(shí)例出發(fā)，比如觀察籃球運(yùn)動(dòng)軌跡，抽象出二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，得出二次函數(shù)的定義和一般表達(dá)式。然后，引導(dǎo)學(xué)生從最簡(jiǎn)單的形式=²開(kāi)始，應(yīng)用五點(diǎn)作圖法，探究系數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系。接著，引導(dǎo)學(xué)生得出圖象向上、向下、向左、向右平移的表達(dá)式。學(xué)生掌握平移比較難，需要花費(fèi)大量時(shí)間。由于這一章節(jié)的知識(shí)體系龐雜，學(xué)生學(xué)習(xí)完之后，不能很好地將各部分知識(shí)整合在一起。在復(fù)習(xí)課環(huán)節(jié)，筆者借助PhET仿真程序，組織數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生動(dòng)手驗(yàn)證新授課上獲得的結(jié)論，加深認(rèn)知與理解，總結(jié)形成知識(shí)框架。對(duì)于二次函數(shù)圖象部分，開(kāi)展了以下四次數(shù)學(xué)活動(dòng)。

（一）探索

使用者進(jìn)入PhET網(wǎng)頁(yè)版后，選擇仿真程序中的數(shù)學(xué)，點(diǎn)擊進(jìn)入二次函數(shù)圖象界面，即可具體操作。筆者選擇探索部分。探索部分設(shè)置了表達(dá)式=²++，同時(shí)還單獨(dú)給出了相應(yīng)的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)（如圖1）。筆者移動(dòng)滑動(dòng)方塊，在一定范圍內(nèi)任意改變二次項(xiàng)、一次項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)各個(gè)部分的系數(shù)與二次函數(shù)圖象的關(guān)系。

1.僅改變二次項(xiàng)系數(shù)

顯而易見(jiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)與函數(shù)圖象形狀、開(kāi)口大小、方向有關(guān)。二次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值越大，圖象開(kāi)口越小;二次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值越小，圖象開(kāi)口越大。當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)>0時(shí)，圖象開(kāi)口方向向上;當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)<0時(shí)，圖象開(kāi)口方向向下;當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)=0時(shí)，圖象不再是拋物線，變成一條直線。由此，讓學(xué)生加深對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)不能為0的理解。

2.僅改變一次項(xiàng)系數(shù)

觀察可知，一次項(xiàng)系數(shù)和函數(shù)圖象的開(kāi)口大小和方向都無(wú)關(guān)，圖象向左或者向右移動(dòng)，但不是平移。

3.僅改變常數(shù)項(xiàng)

觀察可知，常數(shù)項(xiàng)和函數(shù)圖象的開(kāi)口大小和方向都無(wú)關(guān)，圖象向上或向下平移。

通過(guò)探索，學(xué)生知曉二次函數(shù)圖象與系數(shù)、和的關(guān)系。為什么二次函數(shù)圖象的形狀、方向、大小由二次項(xiàng)系數(shù)唯一確定，與、無(wú)關(guān)，而位置卻由、、共同確定呢？筆者將二次函數(shù)的表達(dá)式=²++進(jìn)行配方，得： 。它的圖象是由=²的圖象經(jīng)平移得到，平移不會(huì)改變形狀、開(kāi)口大小和方向，所以二次函數(shù)圖象的形狀、大小、方向由二次項(xiàng)系數(shù)唯一確定。從配方后的形式也可以看出，圖象的對(duì)稱軸為=- ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（- ， ），所以圖象位置由、和共同確定。

（二）推究標(biāo)準(zhǔn)式

仿真程序中，標(biāo)準(zhǔn)式部分設(shè)置了表達(dá)式=²++，同時(shí)還單獨(dú)給出了相應(yīng)的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、根、等式和坐標(biāo)（如圖2）。筆者將教學(xué)重點(diǎn)放在根，即總結(jié)二次函數(shù)和二元一次方程的關(guān)系。通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生知曉二次函數(shù)的圖象=²++與軸的位置關(guān)系有三種：沒(méi)有公共點(diǎn);有一個(gè)公共點(diǎn);有兩個(gè)公共點(diǎn)。這三種關(guān)系分別代表一元二次方程²++=0的根的三種情況：沒(méi)有實(shí)數(shù)根;有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。通過(guò)改變系數(shù)，學(xué)生可以驗(yàn)證結(jié)論。同時(shí)，學(xué)生也可以將二次函數(shù)和不等式聯(lián)系起來(lái)，探究當(dāng)=²++>0和=²++<0時(shí)，相應(yīng)的的范圍。

（三）探究頂點(diǎn)式

在二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式中，學(xué)生能由的正負(fù)判斷出函數(shù)圖象開(kāi)口方向。在頂點(diǎn)式=（-）² +中，學(xué)生不僅可以清楚判斷函數(shù)圖象的開(kāi)口方向，而且能直觀得出圖象的對(duì)稱軸=和頂點(diǎn)坐標(biāo)（，）。此外，在含有頂點(diǎn)的區(qū)域中，學(xué)生可以快速求出函數(shù)的最大值或最小值。筆者通過(guò)配方將標(biāo)準(zhǔn)式化為頂點(diǎn)式，其中=- ，= ，而將頂點(diǎn)式化標(biāo)準(zhǔn)式則去括號(hào)合并同類項(xiàng)即可。

在這部分，筆者引導(dǎo)學(xué)生探討=²、=²+和=（-）²圖象的關(guān)系（如圖3）。對(duì)于圖象向上向下平移，學(xué)生掌握較為扎實(shí);對(duì)于向左向右平移，則經(jīng)常將正、負(fù)號(hào)搞混淆，掌握不扎實(shí)。筆者借助PhET，說(shuō)明“上加下減”和“左加右減”。

1.僅改變系數(shù)

觀察可知，僅改變系數(shù)，圖象的開(kāi)口大小、方向和對(duì)稱軸均不發(fā)生改變。當(dāng)增大個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，圖象整體向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度;當(dāng)減小個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，圖象整體向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度。

2.僅改變系數(shù)

觀察可知，僅改變系數(shù)，圖象的開(kāi)口大小、方向和頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)均不發(fā)生改變。當(dāng)增大個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，圖象整體向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度;當(dāng)減小個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，圖象整體向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度。

筆者借助PhET仿真互動(dòng)程序，讓學(xué)生更加生動(dòng)直觀地看到平移的情況，加深對(duì)函數(shù)圖象平移的理解。

（四）探究焦點(diǎn)和準(zhǔn)線

仿真程序中，焦點(diǎn)和準(zhǔn)線部分設(shè)置了表達(dá)式 ，同時(shí)還單獨(dú)給出了相應(yīng)的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和拋物線上的點(diǎn)。筆者組織相關(guān)活動(dòng)是讓學(xué)生簡(jiǎn)單了解拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線。筆者提問(wèn)“拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離有什么關(guān)系”引發(fā)學(xué)生思考，為后續(xù)他們?cè)诟咧须A段進(jìn)一步學(xué)習(xí)拋物線作鋪墊。

三、總結(jié)

（一）優(yōu)點(diǎn)

1.有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)探究的主動(dòng)性

PhET仿真程序網(wǎng)頁(yè)版的界面設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔明了。只要教師稍加指導(dǎo)，學(xué)生便能進(jìn)行相應(yīng)的操作。這有利于激發(fā)和增強(qiáng)學(xué)生探究的興趣和信心。系數(shù)可以在一定范圍內(nèi)隨意變化，比單獨(dú)的五點(diǎn)法作圖得結(jié)論更加便捷。相比較傳統(tǒng)的教學(xué)模式，PhET有其特有的優(yōu)點(diǎn)：學(xué)生除了課堂的活動(dòng)探究外，課下或者課外也可以操作，應(yīng)用生動(dòng)直觀化的互動(dòng)仿真程序，進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)的積極性和探究的主動(dòng)性。

2.有利于多維度理解知識(shí)的本質(zhì)

傳統(tǒng)模式下，教師講授二次函數(shù)時(shí)偏向于抽象化教學(xué)，比如從實(shí)際問(wèn)題提出二次函數(shù)的模型，讓學(xué)生用五點(diǎn)法畫圖，這樣教學(xué)可以促進(jìn)學(xué)生從抽象思維的角度掌握知識(shí)，理解知識(shí)。借助PhET互動(dòng)仿真程序，教師還可以從直觀思維的角度入手，進(jìn)行可視化教學(xué)，將抽象思維和直觀思維相結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生多維度理解知識(shí)的本質(zhì)。

3.有利于多種數(shù)學(xué)思想與方法的滲透

二次函數(shù)包含很多重要思想，如數(shù)形結(jié)合思想、建模思想、函數(shù)思想、化歸思想、分類討論思想等。函數(shù)有兩個(gè)典型特征：一是解析式;二是圖象。從解析式出發(fā)，可以進(jìn)行代數(shù)推理;從圖象特征出發(fā)，可以研究數(shù)與形的結(jié)合。學(xué)生通過(guò)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，借助PhET互動(dòng)仿真程序，可以更好地掌握數(shù)形結(jié)合思想^[4]。令二次項(xiàng)系數(shù)為0，圖象變?yōu)橐淮魏瘮?shù)（如圖5），學(xué)生可以進(jìn)行一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象的對(duì)比學(xué)習(xí)，體會(huì)類比思想。再如，探討一元二次方程²++=0的根的三種情況，就體現(xiàn)了分類討論的思想。

（二）局限

1.更適合自主能力強(qiáng)的學(xué)生

PhET互動(dòng)仿真程序的應(yīng)用不可避免地存在一定的局限性。例如，在教學(xué)中，給學(xué)生10分鐘自行探究，部分學(xué)生可能不知道應(yīng)該做什么，無(wú)所事事?；?dòng)仿真程序更適合那些自主學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)，具有較好的自我計(jì)劃、自我監(jiān)控能力的學(xué)生^[5]。很多學(xué)生學(xué)不好，不是因?yàn)橹R(shí)難，而是因?yàn)椴恢廊绾螌W(xué)。不知道如何學(xué)是教學(xué)的難點(diǎn)，這對(duì)教師是一個(gè)考驗(yàn)。

2.PhET界面內(nèi)容有待進(jìn)一步完善

二次函數(shù)的表達(dá)式常見(jiàn)的有三種形式：一般式、頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式。PhET互動(dòng)仿真程序的二次函數(shù)圖象涉及一般式、頂點(diǎn)式和焦點(diǎn)準(zhǔn)線式，但是沒(méi)有涉及交點(diǎn)式。筆者認(rèn)為PhET網(wǎng)頁(yè)版還可補(bǔ)充二次函數(shù)交點(diǎn)式并加以延伸拓展，供學(xué)有余力的學(xué)生鉆研。交點(diǎn)式的形式為=（-）（-），其中不等于0，僅圖象與軸有交點(diǎn)時(shí)滿足。交點(diǎn)式由韋達(dá)定理和一般式聯(lián)立得到。

初中處于小學(xué)和高中銜接過(guò)渡的學(xué)段，除了知識(shí)的傳授外，教師還要注意培養(yǎng)學(xué)生的探究和創(chuàng)新能力，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。PhET互動(dòng)仿真程序作為一種信息技術(shù)工具與資源，為信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)融合提供了平臺(tái)。筆者以“二次函數(shù)圖象”為例，借助信息技術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生全面復(fù)習(xí)總結(jié)了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。筆者認(rèn)為，該部分的教學(xué)應(yīng)以傳統(tǒng)方式為主，以信息化方式為輔，相輔相成，提高教學(xué)效果。

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（作者劉翠系蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院研究生;程廣文系泰州學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院院長(zhǎng)，教授）

責(zé)任編輯：祝元志