函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念，也是比較難理解的概念。如何更好地設(shè)計課件凸顯函數(shù)的性質(zhì)，特別是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性？筆者以二次函數(shù)為例說明如何幫助學(xué)生理解函數(shù)的圖象變換。

一、函數(shù)性質(zhì)的呈現(xiàn)

（一）函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最重要的性質(zhì)，涉及兩個變量之間的協(xié)變關(guān)系。單調(diào)性在初中教材和高中教材有著完全不同的表述，初中是隨的增大而增大（或減?。?，而高中則是對單調(diào)區(qū)間內(nèi)任意兩點之間函數(shù)值的大小作比較來定義的。在初中階段，如果不引導(dǎo)學(xué)生如何看圖，學(xué)生很難理解單調(diào)性的意義。例如，教學(xué)正比例函數(shù)= 的單調(diào)性時，筆者運用動態(tài)幾何軟件（Dynamic Geometry Software，簡寫為DGS）中，按如下過程作圖（如圖1）：

（1）作函數(shù)= 的圖象，圖形區(qū)域可顯示的的范圍由可見的的范圍和的范圍確定。

（2）作兩個點（，0）和（， ），再作連接它們的線段，并跟蹤該線段。

（3）作的動畫，讓在步驟1中的的范圍內(nèi)運動。注意的動畫只能從小到大運動，以便學(xué)生觀察到點從左向右運動（即增大）時，的長度（即的值）如何變化。

觀察函數(shù)= ²的圖象。從左往右看，函數(shù)值是先減后增的（如圖2）。筆者將它與區(qū)間關(guān)聯(lián)起來，可見，在（-，0）是單調(diào)遞減的，而在（0，）是單調(diào)遞增的。

（二）函數(shù)的奇偶性

在高中教材中，函數(shù)的奇偶性是在定義域呈原點對稱的基礎(chǔ)上，看 （-）=- （）與 （-）= （）是否數(shù)學(xué)成立來定義的，反映到函數(shù)圖象上是關(guān)于原點對稱和關(guān)于軸對稱。教師可否先讓學(xué)生觀察它們的對稱性，再從點的坐標之間對應(yīng)的角度去分析，自主得出定義呢？

實際上，函數(shù)的對稱性（關(guān)于原點呈中心對稱和關(guān)于軸對稱）和 （-）=± （）是否成立之間是先有雞還是先有蛋的問題。盡管數(shù)學(xué)教材上是先有 （-）=± （），但為了培養(yǎng)學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)概念并給出定義的能力和對圖形特點的分析能力，筆者讓學(xué)生從圖象入手來理解而不是“照本宣科”。

筆者以= 和= ²為例具體說明（如圖3和圖4）。對函數(shù)= ，筆者讓學(xué)生先觀察該函數(shù)的圖象的對稱性，接著用點與點之間的一一對應(yīng)關(guān)系來解釋。作圖順序：先作（，），再作（-，- ），看著兩點是否關(guān)于原點對稱，最后作的動畫。這樣做的目的是便于學(xué)生觀察到無論點在何處，其關(guān)于原點的對稱點都在該函數(shù)的圖象上。偶函數(shù)= ²的作圖操作類似。

探究函數(shù)的對稱性（如一元二次函數(shù)的對稱性）時，師生可以仿照上面作圖。如何演示函數(shù)的有界性？筆者在最小值和最大值之間作平行于軸的直線族，讓學(xué)生看到最高點和最低點。

二、函數(shù)的圖象變換

（一）函數(shù)的多重表征

數(shù)學(xué)中，常常同時用多重表征表示同一個數(shù)學(xué)概念，如函數(shù)常用解析式、表格、圖象等來表示。與只通過單一表征（多數(shù)是代數(shù)符號表征）學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生相比，學(xué)生通過多重表征學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)通常對知識的記憶更長久，對知識的運用也更加高效。多重表征可以促進學(xué)生對抽象的數(shù)學(xué)概念的理解。中國的中學(xué)數(shù)學(xué)課程非常強調(diào)數(shù)形結(jié)合方法的使用，引導(dǎo)學(xué)生建立代數(shù)表征與圖形表征之間的關(guān)聯(lián)。數(shù)形結(jié)合方法被廣泛用于數(shù)學(xué)教學(xué)和解決數(shù)學(xué)問題方面。華羅庚先生曾對數(shù)與形之間的關(guān)系有段精辟的論述：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。

多重表征的使用為抽象數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)提供了便利，然而不同表征之間的變換對學(xué)生來說，有時會造成認知障礙。借助現(xiàn)代科技，教師可以幫助學(xué)生克服這些認知障礙。德雷福斯指出以多重表征為基礎(chǔ)的歸納過程一般需要經(jīng)歷如下四個階段：使用單個表征;平行地使用多重表征;在平行的多重表征之間建立聯(lián)系;將不同表征整合在一起并能在彼此之間靈活轉(zhuǎn)換。

一個函數(shù)可以用多種表示形式，如語言、數(shù)字、圖象和數(shù)學(xué)符號等形式，它們表示了函數(shù)的不同方面。學(xué)生完整描述一個函數(shù)，不僅需要運用多重表征表示函數(shù)，而且需要建立不同表征之間的聯(lián)系。大量研究表明，多重表征的運用有助于函數(shù)教學(xué)。多重表征有助于學(xué)生理解觀察到的現(xiàn)象與函數(shù)概念之間的聯(lián)系，也有助于學(xué)生對函數(shù)概念的理解，實現(xiàn)從“操作—過程—對象—圖示”理論中的操作水平到過程水平的提升。

代數(shù)表征和圖象表征之間的互動可以幫助學(xué)生在大腦中建構(gòu)關(guān)于函數(shù)圖象變換（包括平移）的知識。下面，筆者以動態(tài)幾何軟件（Dynamic Geometry Software，簡寫為DGS）為媒介說明如何幫助建立函數(shù)多重表征之間的聯(lián)系。在函數(shù)圖象變換的過程中，DGS可以動態(tài)地呈現(xiàn)原圖象上的點如何移到新得到的函數(shù)圖象上，這種動態(tài)表征有助于建立原函數(shù)圖象和新函數(shù)圖象之間的聯(lián)系。以DGS為媒介的多重表征有助于學(xué)生通過同時顯示的代數(shù)表征和圖象表征的變化，歸納函數(shù)圖象變換的普遍規(guī)律。

（二）兩個認知沖突

函數(shù)圖象由許多點組成。易知點（，）先向右移動2個單位，再向上移動3個單位，它將到達點（+2，+3）。然而，如果一個函數(shù)= （）的圖象先向右移動2個單位，再向上移動3個單位，得到的函數(shù)是= （-2）+3，為什么不是= （+2）+3呢？這好像跟點的平移不一樣。另外，沿軸平移2個單位和沿軸平移3個單位對結(jié)果應(yīng)該有類似的影響，為什么是-2和+3呢？為了清晰解釋這兩個認知沖突，筆者應(yīng)用了徐利治先生在《數(shù)學(xué)方法論選講》中介紹的關(guān)系映射反演（Relationship Mapping Inversion，簡寫為RMI）原則。

（三）RMI原則

RMI原則是解決數(shù)學(xué)問題的一種常用而有效的方法。數(shù)學(xué)中，經(jīng)常要在給定的系統(tǒng)中，求其中的一個對象（也可稱它為原象）。為了求得，常常定義一個映射，將包含的系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成一個新的系統(tǒng)*，對應(yīng)地，得到在新系統(tǒng)中的像為*。如果可以在*中較容易地求得*，就可以通過該映射的反演（即逆映射=^-1）求得。這種問題解決的過程可以用圖5來表示。

RMI原則不僅可以用來解決上面提到的兩個認知沖突，而且可以用于求平移后得到的二次函數(shù)的解析式。筆者仍以前述平移“向右平移2單位，向上平移3單位”為例說明。原函數(shù)= （）經(jīng)過平移得到新函數(shù)= （），新函數(shù)的解析式需要在原函數(shù)解析式的基礎(chǔ)上確定。筆者建立一個映射將新函數(shù)平移回原函數(shù)。函數(shù)= （） 圖象上的任意點 （，）可通過 平移回原函數(shù)= （）圖象上的點（，）。由于點（，）在函數(shù)= （）的圖象上，有= （），因此可得-3= （-2），即= （-2）+3。筆者設(shè)計了RMI原則在這個例子中的運用流程（如圖6），這里，沒有使用逆映射。該流程也可以推廣到單變量函數(shù)以及其他幾何圖形變換上。

（四）課件設(shè)計

1.系數(shù)對函數(shù)圖象的影響

在研究一元二次函數(shù)時，如=²++（≠0），先要探討三個系數(shù)、、對函數(shù)圖象的影響。筆者作一個系數(shù)的動畫（另外兩個固定），跟蹤函數(shù)圖象，讓學(xué)生觀察。

圖7是==0時，從-4變到4的函數(shù)圖象族，的符號決定了開口方向，而丨丨的大小決定了開口的大小。學(xué)生可能認為丨丨越大，開口越大，而實際情況正好相反。如何幫助學(xué)生正確認知呢？筆者畫一條直線（如圖=1.5），讓學(xué)生比較對應(yīng)的²的值。不難發(fā)現(xiàn)，丨丨越大，對應(yīng)的²越大，開口反而越小。

圖8是 =1，=0時，從-4變到4的函數(shù)圖象族。的改變應(yīng)該只影響對稱軸和頂點位置的改變，而不影響函數(shù)圖象的形狀，但在圖8所示的有限的可視區(qū)域內(nèi)，圖象形狀是不一樣的。如何解決問題呢？這里，需要改變函數(shù)的定義域區(qū)間，或者說，縮小函數(shù)的定義域區(qū)間，從而凸顯圖象形狀沒有改變這一特征（如圖9）。為顯示清晰，這里的取0.5，筆者將= ²和起始函數(shù)= ²-4及終止函數(shù)= ²+4的圖象用紅色顯示，便于學(xué)生對比觀察。

圖10是 =1，=0時，從-4變到4的函數(shù)圖象族。隨著的增加，函數(shù)圖象將整體上移，但在圖5所示的有限的可視區(qū)域內(nèi)，圖象族的形狀卻不同，解決方法同樣是縮小函數(shù)定義域區(qū)間（如圖11）。這里的設(shè)定為0.5，筆者也將= ²的圖象用紅色顯示，但頂點處稀疏，而區(qū)間端點附近較為致密。這種視覺差好像還沒有被人研究過，筆者嘗試借助DGS進行動態(tài)測量來說明。

2. 函數(shù)圖象的平移

在研究一元二次函數(shù)時，筆者也研究函數(shù)=²的圖象如何平移到函數(shù)=（-²）+（≠0）的圖象。先作=²和=²±的圖象，比較它們之間的關(guān)系;再作=²和=（±²）的圖象，比較它們之間的關(guān)系;最后得出如何從=²的圖象平移得到函數(shù)=（-²）+（≠0）的圖象。

筆者畫出 =²和=²+1及=²-1三個函數(shù)的圖象（如圖12），作一直線=，并作出該直線與三個函數(shù)圖象的交點，依次為（，²）、（，²+1）、（，²-1）。不難看出丨 丨 =1，丨丨=1。最后，筆者作參數(shù)的動畫，并動態(tài)測量線段和的長，不難發(fā)現(xiàn)，這個長度是不變的。這里的動態(tài)測量得到恒定的值，就此解決了上面提到的視覺差問題。

筆者畫出=²和=（-1）²及=（+1）²三個函數(shù)的圖象（如圖13），作一直線=，并作出該直線分別與三個函數(shù)圖象對稱軸左側(cè)（或右側(cè)）曲線的交點（，）、（+1、）、（-1、）。不難看出丨丨=1，丨丨=1。筆者作參數(shù)的動畫，并動態(tài)測量線段和的長，發(fā)現(xiàn)這個長度也是不變的。

關(guān)于函數(shù)圖象的平移，除了上述對圖形之間對應(yīng)點的連接線段動態(tài)測量之外，筆者還按如下步驟做課件，以顯示如何從函數(shù)=0.5²平移得到函數(shù)=0.5 （-2）²+3的圖象：

（a） 作=0.5² （∈[-3，3]）、=0.5 （-2）² （∈[-1，5]）、=0.5 （-2）²+3 （∈[-1，5]）的圖象;

（b） 作=0.5（-）²+（∈[-3+，3+ ]）的圖象，并作變量在[0，2]和在[0，3]變化的動畫;

（c） 在=0.5（-）²+的圖象上作11個點（-3++ ，0.5（-3+ ）²+）（=0，1，…，10）并對它們進行跟蹤。

圖14是變量的動畫完成后的圖象，圖15是變量的動畫完成后的圖象。筆者跟蹤函數(shù)圖象上的點，讓學(xué)生觀察到每個點都作了同樣的運動。

筆者比較了后面這種做法對學(xué)生在一元二次函數(shù)圖象平移的促進作用，同時分析這兩種方法對學(xué)生學(xué)習(xí)的影響。筆者相信后面這種做法也有助于學(xué)生對三角函數(shù)圖象變換的影響。

在案例教學(xué)中，為了讓學(xué)生在有限的視覺范圍內(nèi)更清晰地看到三個系數(shù)、、（特別是和）對函數(shù)=² ++（≠0）圖象的影響，筆者重新設(shè)定了定義域區(qū)間。為了讓學(xué)生看到=²的圖象如何平移到函數(shù)=（-）²+（≠0）的圖象，筆者采取了兩種不同的表征方法，后一種對動態(tài)變化的圖象中點的跟蹤的方法更能呈現(xiàn)圖象變換過程中變和不變的量。函數(shù)圖象左右平移的過程中，變而不變（如圖14）;函數(shù)圖象上下平移的過程中，變而不變（如圖15）。

（作者系澳門大學(xué)教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育專業(yè)助理教授）

責(zé)任編輯：祝元志