劉 珣， 虢曙安， 魏 維， 王祺順

( 湖南省交通科學(xué)研究院有限公司, 湖南 長(zhǎng)沙 410015)

0 引言

預(yù)應(yīng)力混凝土性能是大跨度混凝土箱梁橋承載力的主要影響因素之一。相比于傳統(tǒng)混凝土結(jié)構(gòu)，預(yù)應(yīng)力混凝土可以充分發(fā)揮鋼筋的承載能力，有效提高結(jié)構(gòu)構(gòu)件的抗裂性能和整體剛度，延長(zhǎng)結(jié)構(gòu)耐久性。預(yù)應(yīng)力混凝土主要通過對(duì)預(yù)應(yīng)力鋼筋進(jìn)行張拉，使鋼筋產(chǎn)生一定的形變來抵消結(jié)構(gòu)本身產(chǎn)生的荷載，因此，預(yù)應(yīng)力張拉質(zhì)量的控制是預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁橋承載能力的重要保障，各專家學(xué)者也在此領(lǐng)域展開了深入的研究。周宏宇[1]等基于基頻法模擬了預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁疲勞剛度的規(guī)劃規(guī)律，驗(yàn)證了預(yù)應(yīng)力梁體“先快速、后平穩(wěn)”的兩階段疲勞剛度退化模型；杜孟林[2]等對(duì)預(yù)應(yīng)力混凝土空心板梁的抗剪承載力展開研究，通過數(shù)值模擬和試驗(yàn)對(duì)比的方式證明了預(yù)應(yīng)力損失對(duì)結(jié)構(gòu)抗剪極限承載力影響有限的結(jié)論；孫亞林[3]等使用有限元軟件對(duì)大跨度連續(xù)剛構(gòu)橋施工階段預(yù)應(yīng)力損失進(jìn)行研究，并發(fā)現(xiàn)可以通過合理計(jì)算張拉長(zhǎng)度來減少預(yù)應(yīng)力損失；蔣慶[4]等根據(jù)鋼絞線張拉后的衰退效應(yīng)，揭示了后張法預(yù)應(yīng)力損失呈對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)，且實(shí)測(cè)值比數(shù)值模擬值更大；鄒國(guó)慶[5]等采用優(yōu)化算法對(duì)預(yù)應(yīng)力二次張拉曲線的拐點(diǎn)進(jìn)行尋優(yōu)識(shí)別，得到了改進(jìn)遺傳算法對(duì)預(yù)應(yīng)力曲線拐點(diǎn)識(shí)別精度更高的結(jié)論。

本文以經(jīng)過預(yù)應(yīng)力二次張拉的預(yù)制梁為研究對(duì)象，通過改進(jìn)一種新型群智能優(yōu)化算法——蝗蟲優(yōu)化算法，對(duì)預(yù)應(yīng)力二次張拉曲線進(jìn)行尋優(yōu)擬合，為預(yù)應(yīng)力二次張拉曲線的擬合和拐點(diǎn)識(shí)別提供一種高效的研究方式。

1 預(yù)應(yīng)力二次張拉理論

1.1 預(yù)應(yīng)力二次張拉原理

“預(yù)應(yīng)力二次張拉法”也稱“反拉法”，是指對(duì)錨索進(jìn)行首次預(yù)應(yīng)力張拉鎖定后，對(duì)錨索實(shí)施二次張拉鎖定的過程。如圖1所示，將預(yù)應(yīng)力鋼索A端固定，對(duì)另一端施加張拉控制應(yīng)力F0，待鋼索伸張，預(yù)留出二次張拉長(zhǎng)度d2后通過夾持裝置對(duì)張拉端進(jìn)行固定，此時(shí)設(shè)AB段鋼索彈性系數(shù)為k1，完成一次張拉。

對(duì)鋼索進(jìn)行二次張拉時(shí)，如張拉控制應(yīng)力FF0，設(shè)鋼索二次張拉預(yù)留長(zhǎng)度為d2，彈性系數(shù)為k2，鋼索最大張拉長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的張拉控制應(yīng)力為Fmax，鋼索AC全段同時(shí)受到二次張拉控制應(yīng)力作用，根據(jù)胡克定律的串聯(lián)型線彈性模型，二次張拉的F-x函數(shù)如式(1)所示:

(1)

圖2 預(yù)應(yīng)力二次張拉曲線Figure 2 Prestressed secondary tension curve

1.2 預(yù)應(yīng)力二次張拉曲線拐點(diǎn)尋優(yōu)模型

由預(yù)應(yīng)力二次張拉的過程和原理可知，當(dāng)兩條直線上的點(diǎn)與預(yù)應(yīng)力張拉實(shí)測(cè)值的誤差在一定范圍內(nèi)時(shí)，兩直線的交點(diǎn)即為預(yù)應(yīng)力二次張拉曲線的拐點(diǎn)，基于此，可以將預(yù)應(yīng)力二次張拉拐點(diǎn)識(shí)別的求解問題轉(zhuǎn)化為對(duì)兩直線軌跡點(diǎn)與預(yù)應(yīng)力張拉實(shí)測(cè)值間最小誤差的優(yōu)化求解問題。

1.2.1目標(biāo)函數(shù)的確定

設(shè)兩直線方程分別為y1=k1x+b1;y2=k2x+b2，拐點(diǎn)A坐標(biāo)為(x0，y0)，張拉控制應(yīng)力與伸長(zhǎng)量的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)N={F，S}={(f1，s1)，(f2，s2)…(fn，sn)}，其中fi(i=1，2…n)為張拉控制應(yīng)力數(shù)據(jù)樣本；si(i=1，2…n)為對(duì)應(yīng)伸長(zhǎng)量數(shù)據(jù)樣本。則兩直線間的數(shù)據(jù)離散型函數(shù)如式(2)所示:

(2)

選取數(shù)值擬合的離散性結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果之間的誤差為目標(biāo)函數(shù)，則當(dāng)目標(biāo)函數(shù)取最小值時(shí)，該情形下的點(diǎn)p(xi，yi)即為優(yōu)化問題的最優(yōu)解。目標(biāo)函數(shù)如式(3)所示:

(3)

1.2.2優(yōu)化參數(shù)的確定

選取預(yù)應(yīng)力二次張拉曲線模型中的k1，k2，b1，b2，p(x0，y0)這5個(gè)參數(shù)為目標(biāo)優(yōu)化參數(shù)，首先確定優(yōu)化參數(shù)的可能取值范圍。確定參數(shù)取值范圍中心點(diǎn)的步驟如下[6]：

b.遍歷式搜尋：對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)集N進(jìn)行遍歷式搜尋，并記當(dāng)前數(shù)據(jù)點(diǎn)為ni(fi，si)；

e.如對(duì)數(shù)據(jù)集N完成遍歷，轉(zhuǎn)步驟f，否則轉(zhuǎn)步驟b；

f.確定參數(shù)取值中心。

2 基于改進(jìn)蝗蟲算法的尋優(yōu)模型

2.1 蝗蟲優(yōu)化算法

蝗蟲優(yōu)化算法(GOA)是一種元啟式仿生優(yōu)化算法，其原理是根據(jù)蝗蟲成蟲大規(guī)模搜索和幼蟲小范圍移動(dòng)的覓食規(guī)律，使種群整體向食物源靠近，實(shí)現(xiàn)種群整體的位置優(yōu)化?；认x優(yōu)化算法中，蝗蟲個(gè)體映射為在空間內(nèi)部搜索的點(diǎn)，蝗蟲間的相互作用用函數(shù)模擬，蝗蟲尋找食物源過程即為算法尋優(yōu)過程，蝗蟲位置的更新為優(yōu)化過程中的迭代和最優(yōu)解選取，將蝗蟲在D維空間中的種群遷移和覓食行為模擬為數(shù)學(xué)模型，令Xi為蝗蟲在空間中的位置；Si為蝗蟲個(gè)體間的相互作用；Gi為蝗蟲受到的重力作用；Ai為蝗蟲受到的風(fēng)力作用，則GOA的基本數(shù)學(xué)模型如式(4)所示：

Xi=Si+Gi+Ai

(4)

其中，蝗蟲個(gè)體受到的各類作用如式(5)～式(7)：

(5)

Gi=-geg

(6)

式中：g為重力加速度；eg為指向地心的單位向量。

Ai=uew

(7)

式中：u為風(fēng)力常量；ew為指向風(fēng)向的單位向量。

為了適應(yīng)優(yōu)化問題的求解，排除蝗蟲種群到達(dá)舒適區(qū)后種群未收斂的問題，忽略重力影響并假定風(fēng)向始終指向最優(yōu)解，通過引入遞減系數(shù)c減少蝗蟲間的相互作用來改進(jìn)GOA數(shù)學(xué)模型，遞減系數(shù)c影響蟲群舒適區(qū)、引力區(qū)和斥力區(qū)的大小，計(jì)算方法如式(8)所示：

c=cmax-n(cmax-cmin)/L

(8)

式中：n為當(dāng)前迭代次數(shù)；L為最大迭代次數(shù)。適應(yīng)優(yōu)化問題的GOA數(shù)學(xué)模型如式(9)所示：

(9)

式中：us和ls為函數(shù)s(r)在D維空間上的上下界；Td為當(dāng)前蝗蟲位置的最優(yōu)解。

2.2 基于柯西算子改進(jìn)的GOA算法

2.2.1服從均勻分布的調(diào)整策略

根據(jù)式(9)可知，GOA數(shù)學(xué)模型中遞減系數(shù)c是蟲群探索和開發(fā)的關(guān)鍵控制參數(shù)，由于參數(shù)c隨迭代次數(shù)動(dòng)態(tài)變化，前期下降過快會(huì)導(dǎo)致蟲群的全局搜索能力受限，后期下降過慢會(huì)導(dǎo)致蟲群局部收斂速度放緩，根據(jù)均勻分布隨機(jī)調(diào)整策略[7]，重新構(gòu)建遞減系數(shù)c(n)如式(10)所示：

c(n)=

(10)

式中：δ為服從[0，L]均勻分布的隨機(jī)數(shù)，且δ∈[0，1]。

2.2.2引入柯西算子的更新策略

根據(jù)服從均勻分布調(diào)整策略后的GOA特性，將算法分為前后兩部分分別進(jìn)行改進(jìn)。受到粒子群優(yōu)化算法記憶策略的啟發(fā)，對(duì)服從均勻分布的蝗蟲算法進(jìn)一步改進(jìn)，如式(11)所示，在算法搜索前半段對(duì)每代最優(yōu)解記憶并保存。

Xi(n+1)(n+1)=b1Xi+

b2r1[Xbest(n)-Xi(n)]+

b2r2[Xj(n)-Xk(n)]

(11)

由式(9)可知，GOA算法中蝗蟲位置更新取決于自身位置和與周邊蝗蟲的相互作用，因此GOA擁有較強(qiáng)的局部開發(fā)能力，但全局探索能力較弱。為避免算法陷入局部最優(yōu)的情形，在算法后半段引入柯西算子變異計(jì)算步長(zhǎng)，幫助個(gè)體跳出局部極值點(diǎn)，加強(qiáng)全局尋優(yōu)能力。引入柯西算子后的改進(jìn)GOA模型如式(12)所示：

(12)

(13)

混合均勻分布和柯西改進(jìn)后的蝗蟲優(yōu)化算法(CUGOA)在保證前期全局開發(fā)能力的基礎(chǔ)上，幫助個(gè)體逃離局部舒適區(qū)，防止陷入局部最優(yōu)，理論上可以達(dá)到更高的收斂精度和收斂速度。

2.2.3CUGOA優(yōu)化策略

根據(jù)優(yōu)化問題的求解思想，在CUGOA算法的前半段，需要側(cè)重算法的全局搜索能力，定位相對(duì)舒適區(qū)；在算法后期，通過引入柯西算子降低了算法陷入局部最優(yōu)解的概率，并在一定程度上加快了CUGOA的收斂速度，判斷算法進(jìn)行全局搜索和局部開發(fā)由控制概率Pc決定：

(14)

具體的位置更新策略如下，

算法1：結(jié)合均勻分布和柯西算子的改進(jìn)策略。

a.ifrand

b.根據(jù)式(9)更新蝗蟲位置；

c.else,

d.根據(jù)式(12)更新蝗蟲位置；

e.end。

2.2.4算法性能對(duì)比

為驗(yàn)證改進(jìn)后的算法性能，采用Rastrigin函數(shù)對(duì)算法進(jìn)行測(cè)試，參與測(cè)試的算法有：蝗蟲算法(GOA)、服從均勻分布的蝗蟲算法(GOA1)、引入柯西算子的蝗蟲算法(GOA2)、混合均勻分布和柯西算子改進(jìn)的蝗蟲算法(CUGOA)。測(cè)試函數(shù)表達(dá)式如式(15)所示，函數(shù)理論值為0，測(cè)試結(jié)果如表1所示。

表1 Rastrigin函數(shù)算法性能測(cè)試結(jié)果Table1 Rastrigin function algorithm performance test results算法名最優(yōu)值最差值均值標(biāo)準(zhǔn)差耗時(shí)/sGOA9.64E+011.67E+021.35E+022.05E+0155.64GOA10.00E+001.89E+011.25E+011.43E+0141.37GOA20.00E+001.73E+011.14E+011.36E+0135.46CUGOA0.00E+000.00E+000.00E+000.00E+0025.76

xi∈[-5.12， 5.12]

(15)

由標(biāo)準(zhǔn)蝗蟲算法和3種不同程度改進(jìn)的蝗蟲算法在Rastrigin測(cè)試函數(shù)下的平均收斂結(jié)果可知，傳統(tǒng)GOA算法在尋優(yōu)過程中極易陷入函數(shù)局部極值而尋優(yōu)失敗，服從均勻分布的GOA1可以尋找到函數(shù)最小值，但收斂速度不如引入柯西算子的GOA2快，而同時(shí)引入2種改進(jìn)策略的CUGOA能夠在準(zhǔn)確收斂到最優(yōu)解的前提下保持較高的收斂效率，證明混合均勻分布和柯西算子改進(jìn)后的蝗蟲算法性能更強(qiáng)。

2.3 基于CUGOA的預(yù)應(yīng)力拐點(diǎn)識(shí)別模型

本文基于GOA算法改進(jìn)，提出服從均勻分布和引入柯西算子的CUGOA算法，并將其應(yīng)用于預(yù)應(yīng)力二次張拉曲線的拐點(diǎn)識(shí)別中，預(yù)測(cè)模型算法執(zhí)行流程如圖3所示。執(zhí)行步驟如下:

圖3 基于CUGOA的預(yù)應(yīng)力拐點(diǎn)識(shí)別模型Figure 3 Recognition model of prestress inflection point based on CUGOA

a.確定優(yōu)化參數(shù)：確定優(yōu)化參數(shù)的個(gè)數(shù)，調(diào)整蝗蟲個(gè)體維度與優(yōu)化參數(shù)個(gè)數(shù)保持一致；

b.數(shù)據(jù)預(yù)處理：對(duì)預(yù)應(yīng)力二次張拉曲線模型中的k1，k2，b1，b2，p(x0，y0)這5個(gè)參數(shù)進(jìn)行預(yù)處理，確定參數(shù)取值中心；

c.初始化CUGOA參數(shù)：初始化種群大小、空間維度、最大迭代次數(shù)等基本參數(shù)；

d.初始化種群位置：初始化蝗蟲種群位置，并計(jì)算種群適應(yīng)度值；

e.更新遞減系數(shù)：按服從均勻分布的改進(jìn)策略更新遞減系數(shù)c(n)；

f.計(jì)算控制概率Pc并執(zhí)行算法1：判斷算法執(zhí)行全局搜索或局部開發(fā)；

g.更新目標(biāo)位置：重新計(jì)算種群適應(yīng)度，通過比對(duì)記憶中的最優(yōu)位置更新當(dāng)前目標(biāo)位置；

h.停止條件：滿足停止條件則終止算法輸出種群最優(yōu)值，否則返回步驟e。

3 尋優(yōu)結(jié)果分析

根據(jù)平益高速公路項(xiàng)目現(xiàn)場(chǎng)對(duì)模型梁進(jìn)行的試驗(yàn)，共計(jì)對(duì)500根預(yù)應(yīng)力鋼絞線進(jìn)行預(yù)應(yīng)力二次張拉，獲取預(yù)應(yīng)力張拉數(shù)據(jù)共計(jì)2 000余組，對(duì)張拉數(shù)據(jù)進(jìn)行初篩處理后，使用遺傳算法(GA)、粒子群算法(PSO)和改進(jìn)的蝗蟲算法(CUGOA)共3種典型優(yōu)化算法對(duì)處理后的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行適應(yīng)度計(jì)算，各算法計(jì)算出的平均適應(yīng)度收斂曲線如圖4所示。

圖4 典型算法平均適應(yīng)度曲線Figure 4 Average fitness curve of typical algorithms

由圖4可知，GA和CUGOA算法均能在最大迭代周期內(nèi)達(dá)到最佳收斂，但CUGOA對(duì)預(yù)應(yīng)力二次張拉數(shù)據(jù)的敏感程度更高，收斂速度更快，跳出局部極值能力最強(qiáng)。PSO雖然前期能以較快的速度將優(yōu)化參數(shù)定位到拐點(diǎn)附近，但后期算法性能下降較快，對(duì)預(yù)應(yīng)力張拉曲線拐點(diǎn)的精確識(shí)別能力較差，綜合來看，CUGOA算法性能更強(qiáng)。

圖5給出了CUGOA的尋優(yōu)結(jié)果、處理過的多組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)離散點(diǎn)和離散值擬合直線，由圖5可知，CUGOA對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的擬合度較高，可以達(dá)到對(duì)預(yù)應(yīng)力張拉控制應(yīng)力離散值的基本吻合，對(duì)兩直線模型參數(shù)的優(yōu)化較為準(zhǔn)確，識(shí)別出的拐點(diǎn)偏離程度較小，接近真實(shí)值。

圖5 CUGOA預(yù)應(yīng)力曲線拐點(diǎn)識(shí)別Figure 5 Recognition of inflection point of CUGOA prestress curve

(16)

通過式(16)計(jì)算GA和CUGOA預(yù)應(yīng)力二次張拉曲線拐點(diǎn)尋優(yōu)模型的擬合標(biāo)準(zhǔn)差，可知RMSE=0.18<1，說明CUGOA可快速精確定位預(yù)應(yīng)力二次張拉曲線拐點(diǎn)，且誤差控制良好。

4 結(jié)論

本文基于混合均勻分布和柯西算子改進(jìn)的蝗蟲優(yōu)化算法，對(duì)預(yù)應(yīng)力二次張拉曲線拐點(diǎn)識(shí)別問題建立數(shù)學(xué)尋優(yōu)模型并進(jìn)行求解，得到的結(jié)論如下：

a.預(yù)應(yīng)力二次張拉曲線拐點(diǎn)識(shí)別的問題可以轉(zhuǎn)化為以數(shù)值擬合和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)間誤差最小值為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問題。

b.相較于標(biāo)準(zhǔn)蝗蟲算法或單一策略改進(jìn)的蝗蟲算法，混合策略改進(jìn)后的蝗蟲算法性能提升明顯，在兼顧全局搜索與局部開發(fā)能力的前提下仍能保持最快的收斂速度。

c.混合均勻分布和柯西算子改進(jìn)的蝗蟲優(yōu)化算法對(duì)預(yù)應(yīng)力曲線拐點(diǎn)求解的問題具有良好的適應(yīng)性，其尋優(yōu)精度和收斂速度均超過傳統(tǒng)遺傳算法和粒子群算法。