施郁

2002年6月27日，巴黎，國(guó)際理論物理大會(huì)剛剛結(jié)束，施郁與楊振寧先生合影

很榮幸能在楊振寧先生百歲華誕之際做這個(gè)報(bào)告，向大家匯報(bào)一下我關(guān)于楊先生科學(xué)貢獻(xiàn)的一些研究，我的一些體會(huì)。

為了慶祝楊先生100歲生日，我做了100頁(yè)P(yáng)PT。演講分6個(gè)部分：引言、與粒子物理一同成長(zhǎng)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)的旅程、楊-米爾斯理論、楊振寧研究工作的特點(diǎn)、對(duì)稱性支配相互作用。

一、引言

楊先生在21世紀(jì)初有一個(gè)非常有影響的演講：《20世紀(jì)理論物理的三個(gè)主旋律：量子化，對(duì)稱性，相位因子》。

對(duì)稱性就是楊振寧本人物理生涯的主旋律，對(duì)于物理學(xué)之美的追尋貫穿了楊振寧的科學(xué)生涯。

楊先生曾經(jīng)回憶：“我物理上的品味很大程度形成于1938年到1944年在西南聯(lián)大學(xué)習(xí)的時(shí)期。那些年，我開始欣賞愛(ài)因斯坦、狄拉克和費(fèi)米的工作。他們當(dāng)然有不同的風(fēng)格。然而他們都有一種能力，能夠從物理概念、理論結(jié)構(gòu)或者物理現(xiàn)象提煉出基本，然后集中于本質(zhì)。”

楊先生將各位大師的風(fēng)格總結(jié)為：愛(ài)因斯坦，深廣；狄拉克，笛卡爾式的純粹；費(fèi)米，厚實(shí)、穩(wěn)健有力。他還用“秋水文章不染塵”形容狄拉克的文章，用“神來(lái)之筆”及高適的詩(shī)“性靈出萬(wàn)象，風(fēng)格超常倫”描述狄拉克方程和反粒子理論。楊先生的風(fēng)格結(jié)合了這三種不同的風(fēng)格。因?yàn)槿淮髱煻加泄餐哪芰?，楊先生也具有“提煉出基本，集中于本質(zhì)”這一能力。

我用4個(gè)詞來(lái)描繪楊先生的風(fēng)格：原創(chuàng)、優(yōu)雅、功力、物理。

楊先生的老朋友戴森（Freeman Dyson）在1999年有一個(gè)著名的演講，提到：“楊教授是繼愛(ài)因斯坦和狄拉克后，20世紀(jì)物理學(xué)的卓越風(fēng)格大師……向費(fèi)米學(xué)到了最多的物理……他是保守的革命者。”

2015年的時(shí)候，戴森自己曾經(jīng)解讀這一演講：“我強(qiáng)調(diào)了楊振寧的三個(gè)杰出品質(zhì)，這些品質(zhì)通常很難結(jié)合在一起。第一，奇特的數(shù)學(xué)技巧，這使得他能夠解決技術(shù)問(wèn)題。第二，對(duì)自然的深刻理解，這使他問(wèn)重要的問(wèn)題。第三，社會(huì)精神，這使他在中華文明的復(fù)興中扮演了重要角色。這三個(gè)品質(zhì)共同將他塑造成他，一位繼往開來(lái)的保守革命者。”

關(guān)于芝加哥時(shí)期，楊先生的老同學(xué)、1988年諾貝爾獎(jiǎng)得主斯坦伯格（Jack Steinberger）曾經(jīng)回憶：“最令人印象深刻的是楊振寧，戰(zhàn)后，24歲的他從中國(guó)來(lái)。雖然戰(zhàn)時(shí)中國(guó)條件有限但他來(lái)芝加哥讀研究生時(shí)，熟悉所有的現(xiàn)代物理?！?/p>

1947年年初，楊先生給黃昆寫信，說(shuō)有點(diǎn)幻滅（disillusionment）。然后在這一年，他學(xué)習(xí)鉆研了4個(gè)題目，后來(lái)都開花結(jié)果，導(dǎo)致4個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)。

楊先生在那一年還發(fā)表了在美國(guó)的第一篇文章“量子時(shí)空”（On Quantized Space-Time），在當(dāng)時(shí)斯涅徳（George Snyder）剛發(fā)表的理論中，通過(guò)時(shí)空彎曲實(shí)現(xiàn)平移不變性。這也是對(duì)稱性方面的一個(gè)工作。這篇文章沉睡了幾十年以后，突然在21世紀(jì)以來(lái)，因?yàn)榉菍?duì)易幾何的興起，引用大大增多（圖1）。本文引用情況來(lái)自Web of Sciences數(shù)據(jù)庫(kù)（截至2021年8月12日。此數(shù)據(jù)庫(kù)的早期數(shù)據(jù)存在收錄遺漏的情況，僅作參考）。

圖1 在美國(guó)的第一篇文章“量子時(shí)空”的歷年引用情況

二、與粒子物理一同成長(zhǎng)

二戰(zhàn)后，物理學(xué)家回到基礎(chǔ)研究，粒子物理大發(fā)展。對(duì)稱性分析是關(guān)鍵，而這正是楊先生所擅長(zhǎng)，他逐步成長(zhǎng)為理論粒子物理的締造者之一。

楊先生早年有3篇文章在對(duì)稱性分析方面初步確立領(lǐng)先。第一篇（1948年）基于對(duì)稱分析，得到核反應(yīng)產(chǎn)物角分布。這是他的博士論文，導(dǎo)師是特勒（Edward Teller）。第二篇（1950年）從對(duì)稱性原理得到π0介子衰變?yōu)?個(gè)光子的選擇定則，在芝加哥完成。 第三篇是1950年和蒂奧莫（Jayme Tiomno）合作的β衰變等過(guò)程中自旋1/2粒子的宇稱算符的相位因子，這是到普林斯頓后的第一篇文章。

其中關(guān)于π0衰變的工作最著名，發(fā)表幾年后成了標(biāo)準(zhǔn)知識(shí)，一般不引用原文了。有意思的是，20世紀(jì)80年代引用又多起來(lái)，21世紀(jì)以來(lái)開始飆升（圖2）。

圖2 π0衰變文章的歷年引用情況

1949年，楊先生還有一項(xiàng)著名的工作是和費(fèi)米合作的費(fèi)米-楊模型，探討核子和反核子組成π介子的假設(shè)。當(dāng)時(shí)普遍認(rèn)為介子是基本粒子，而費(fèi)米和楊振寧提出：“介子是基本粒子嗎？”楊先生并未幻想細(xì)節(jié)與實(shí)際一致，但是費(fèi)米認(rèn)為，問(wèn)題本身就值得發(fā)表。剛才提到，戴森說(shuō)，楊振寧問(wèn)重要的問(wèn)題。費(fèi)米-楊模型就是一個(gè)很好的例子。

這個(gè)工作有很重要的歷史意義，相當(dāng)于發(fā)現(xiàn)原子后，問(wèn)原子是否可分。 斯坦伯格的評(píng)價(jià)很干脆:“如果將核子換成夸克，現(xiàn)在還是這個(gè)圖像?！?/p>

這說(shuō)明基本的物理思想是最重要的。

因漸近自由而獲得2004年諾貝爾獎(jiǎng)的維爾切克（Frank Wilczek）做過(guò)跟斯坦伯格精神一致但更詳細(xì)的評(píng)論。首先，費(fèi)米-楊模型堅(jiān)實(shí)地以相對(duì)論量子場(chǎng)論為框架（那個(gè)時(shí)候量子場(chǎng)論還沒(méi)有被普遍接受為粒子物理的框架）。其次，由重得多的粒子組成輕的粒子（借助于結(jié)合能），是個(gè)解放性概念，后來(lái)用夸克和膠子組成介子和核子正是沿著這個(gè)思路。再次，費(fèi)米-楊模型對(duì)強(qiáng)作用采用與弱作用費(fèi)米理論類似的形式，期待了強(qiáng)和弱作用機(jī)制的深刻類似，這是標(biāo)準(zhǔn)模型的中心特征，而標(biāo)準(zhǔn)模型正巧建立在楊振寧本人的楊-米爾斯理論基礎(chǔ)上。

楊振寧在做出獲得諾貝爾獎(jiǎng)的工作前，還有兩個(gè)粒子物理唯象工作。一是1949年在芝加哥與李政道和羅森布魯特（Rosenbluth）關(guān)于弱相互作用普適性的半頁(yè)紙短文，這一工作很快成了這個(gè)領(lǐng)域的基本知識(shí)。二是1956年和李政道提出G宇稱、聯(lián)合電荷共軛對(duì)稱和同位旋對(duì)稱，由此確定了強(qiáng)作用過(guò)程的一些選擇定則。

1956年最重要的物理難題就是所謂θ-τ之謎。θ和τ這兩個(gè)基本粒子很奇怪，它們的宇稱不同，但質(zhì)量和壽命完全一樣。如果物理過(guò)程的宇稱總是守恒的，那θ和τ就是兩個(gè)粒子。但是為什么大自然要將它們的質(zhì)量和壽命微調(diào)成完全一樣？這非常奇怪，很不自然，很不美。

楊振寧和李政道兩位先生共同發(fā)表了劃時(shí)代的文章，提出：“弱相互作用中宇稱是否守恒？” 這又是一個(gè)戴森所說(shuō)的重要問(wèn)題。 這個(gè)問(wèn)題將θ-τ這樣一個(gè)具體的難題擴(kuò)展為一個(gè)弱相互作用的普遍問(wèn)題。他們提出很關(guān)鍵的“宇稱在強(qiáng)與電磁相互作用中守恒，但在弱相互作用中也許不守恒”的可能性，將弱相互作用主宰的衰變過(guò)程獨(dú)立出來(lái)。就是說(shuō)，粒子的產(chǎn)生是強(qiáng)相互作用過(guò)程，是宇稱守恒的，因此粒子本身有確定的宇稱：但是衰變的時(shí)候，由于是由弱相互作用主宰，有可能宇稱不守恒，那么同一種粒子就可以衰變成宇稱不同的產(chǎn)物。這樣，θ和τ就是同一種粒子，只不過(guò)可以衰變?yōu)椴煌罘Q的產(chǎn)物。

楊先生和李先生經(jīng)過(guò)具體計(jì)算發(fā)現(xiàn)，以前并沒(méi)有實(shí)驗(yàn)證明在弱相互作用中宇稱是否守恒。這是一個(gè)頓悟時(shí)刻（aha moment）！

然而長(zhǎng)期以來(lái)，宇稱守恒有著直覺(jué)上的吸引力，被當(dāng)作自然、神圣的，而且非常有用，因此，楊振寧和李政道的論文受到普遍的輕視、異議乃至嘲弄。但是吳健雄決定做他們指出的實(shí)驗(yàn)中的60Co β衰變實(shí)驗(yàn)（楊振寧后來(lái)評(píng)價(jià)：“獨(dú)具慧眼”）。1957年1月初，她領(lǐng)導(dǎo)的實(shí)驗(yàn)組證明此過(guò)程中宇稱確實(shí)不守恒，引起整個(gè)物理學(xué)界的巨大震蕩。楊振寧和李政道當(dāng)年即被授予諾貝爾獎(jiǎng)。得獎(jiǎng)速度創(chuàng)造整個(gè)諾貝爾獎(jiǎng)歷史記錄，至今未被打破，前無(wú)古人，后無(wú)來(lái)者。

因電弱理論獲得1979年諾貝爾獎(jiǎng)的溫伯格（Steven Weinberg）描述：“李政道和楊振寧扭轉(zhuǎn)了從愛(ài)因斯坦開始的物理學(xué)家的一個(gè)傾向，即對(duì)稱性是不言而喻的原理。每個(gè)人都感到這一突破帶來(lái)的激動(dòng)。”

這篇論文引發(fā)宇稱革命，第二年有極多的引用，但是因?yàn)槌蔀楹诵闹R(shí)，原文引用自然衰減。但從20世紀(jì)90年代開始，原文引用又增加起來(lái)（圖3）。

圖3 諾貝爾獎(jiǎng)?wù)撐牡臍v年引用情況

1957年，楊先生和李先生又做了一系列宇稱破壞的后續(xù)工作。

首先，楊先生、李先生和歐米（Reinhard Oehme）合作，討論弱相互作用中，宇稱（P）、電荷共軛（C）、時(shí)間反演（T）各自不守恒之間的關(guān)系。前一年秋天，他們就開始研究這個(gè)問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)上確定宇稱不守恒后，他們1月7號(hào)投稿。當(dāng)然他們沒(méi)想到電荷共軛-宇稱（CP）也不守恒，但是他們的理論框架，對(duì)1964年CP不守恒分析有決定性影響。

3天后，楊先生和李先生又將中微子二分量理論投稿。由于宇稱不守恒，可以用手性區(qū)分中微子和反中微子，各自只有兩個(gè)分量。文章詳盡討論了實(shí)驗(yàn)相關(guān)問(wèn)題，簡(jiǎn)潔地指出中微子探測(cè)的截面應(yīng)該是原來(lái)理論結(jié)果的兩倍。1960年，中微子發(fā)現(xiàn)者雷納斯（Frederick Reines）和科萬(wàn)（Clyde Cowan）指出，探測(cè)截面確實(shí)應(yīng)該比他們最初（1956年）公布的增加一倍。1978年，萊茵斯解釋：“當(dāng)初對(duì)于探測(cè)器效率估計(jì)過(guò)大。” 2002年萊茵斯在諾貝爾演講中說(shuō)：“正如我們幾年后從李政道和楊振寧處了解到的，截面應(yīng)該擴(kuò)大到兩倍，因?yàn)橛罘Q不守恒及中微子手性?！?/p>

宇稱不守恒確立后，人們紛紛研究其他弱相互作用衰變，包括超子衰變?yōu)棣薪樽雍秃俗印?957年10月，楊先生和李先生對(duì)此作了分析。他們定義的幾個(gè)關(guān)鍵參數(shù)成為這個(gè)領(lǐng)域的標(biāo)準(zhǔn)語(yǔ)言。

1960年，李先生和楊先生作了高能中微子實(shí)驗(yàn)的理論探討，是這方面的第一個(gè)理論分析，引導(dǎo)出后來(lái)許多重要研究，也討論了傳遞弱作用的中間玻色子W。斯坦伯格的諾貝爾獎(jiǎng)就是在中微子這方面，他說(shuō)：“這種實(shí)驗(yàn)的物理意義在李政道和楊振寧的論文中被列表討論，這篇文章被證明是預(yù)知未來(lái)的……當(dāng)中微子束和探測(cè)器越來(lái)越強(qiáng)后，這些過(guò)程成為多年深入實(shí)驗(yàn)的課題?！?/p>

1960到1962年，楊先生和李先生還對(duì)中間玻色子做了唯象和邏輯分析。

1999年諾貝爾獎(jiǎng)得主韋爾特曼（Martinus J.G.Veltman）說(shuō): “他們剛開始系統(tǒng)研究矢量玻色子（弱相互作用的W和Z），無(wú)法知道他們?cè)诎l(fā)展標(biāo)準(zhǔn)模型上可以走多遠(yuǎn)?！?/p>

1964年，實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)了CP不守恒。 楊先生和吳大峻提出分析CP不守恒的唯象框架，與李-歐米-楊文章共同定義了該領(lǐng)域的理論框架和術(shù)語(yǔ)。

CP不守恒的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)者克羅寧（James Cronin，獲1980年諾貝爾獎(jiǎng)）說(shuō)：“在1964年的所有這些理論文章中，只有兩篇今天還被引用。其中之一是吳大峻和楊振寧的文章……在過(guò)去的29年中是實(shí)驗(yàn)的指導(dǎo)。”而斯坦伯格回憶，正是吳-楊文章啟發(fā)他去測(cè)量中性K介子衰變的主要參數(shù)。

1965年開始，楊先生和合作者對(duì)高能強(qiáng)子碰撞做了一系列研究，將強(qiáng)子看成一個(gè)延展物，發(fā)展了一個(gè)唯象幾何模型，解釋了很多現(xiàn)象，提出許多被普遍使用的概念（合作者包括吳大峻、拜爾斯、鄒祖德、貝內(nèi)克、閻愛(ài)德等）。

楊振寧粒子物理唯象工作的特點(diǎn)可以小結(jié)如下。楊先生和合作者運(yùn)用對(duì)稱原理，立足實(shí)驗(yàn)分析，提出未來(lái)實(shí)驗(yàn)方向，而不隨便猜測(cè)，體現(xiàn)了費(fèi)米的影響。 這些工作與實(shí)驗(yàn)密切聯(lián)系，引領(lǐng)了本領(lǐng)域發(fā)展，成為標(biāo)準(zhǔn)知識(shí)，大多進(jìn)入教科書，人們一般不引用原文了。因?yàn)榭蒲行掳l(fā)展，部分文章近年來(lái)引用又開始明顯增加。

三、統(tǒng)計(jì)力學(xué)的旅程

1952年，楊先生發(fā)表了二維伊辛模型的自發(fā)磁化計(jì)算。這是楊先生做過(guò)的最長(zhǎng)的計(jì)算，是絕對(duì)的壯舉！戴森稱之為“雅可比橢圓函數(shù)理論的大師式練習(xí)”。在楊先生建議下，張承修計(jì)算了長(zhǎng)方形格點(diǎn)，與楊先生計(jì)算的正方形格點(diǎn)的臨界指數(shù)都是1/8。這是臨界指數(shù)普適性的最早跡象。

1952年楊振寧還與李政道合作發(fā)表了兩篇相變統(tǒng)計(jì)理論的文章，巧妙地研究格氣模型的巨配分函數(shù)，解析延拓到逸度的復(fù)平面上，其零點(diǎn)分布決定熱力學(xué)性質(zhì)。熱力學(xué)極限下，零點(diǎn)趨向正實(shí)軸，代表相變。由此澄清了相變本質(zhì)，消除了對(duì)于同一相互作用下可存在不同熱力學(xué)相的疑惑，即“分子如何‘知道’聚集成液體還是固體”。這個(gè)疑惑現(xiàn)在已經(jīng)轉(zhuǎn)變?yōu)槌ＷR(shí)。兩篇文章的高潮是關(guān)于伊辛模型零點(diǎn)分布的單位圓定理。楊振寧稱之為“小珍品”，數(shù)學(xué)物理學(xué)家呂埃勒（David Ruelle）將其用來(lái)作為猜測(cè)和證明定理的典范。這兩篇文章還引起了愛(ài)因斯坦的興趣。

一般論文的每年引用數(shù)呈下降趨勢(shì)，而1952年這3篇相變文章的引用情況很“反常”，20世紀(jì)60年代有個(gè)飛躍，然后一直保持增長(zhǎng)趨勢(shì)（圖4）。這反映了統(tǒng)計(jì)力學(xué)的發(fā)展情況，以及這3篇論文的重要地位。

圖4 1952年的3篇相變論文（伊辛模型計(jì)算以及與李政道合作的兩篇統(tǒng)計(jì)理論文章）的歷年引用情況

楊振寧和李政道獲諾貝爾獎(jiǎng)前后，研究了量子多體問(wèn)題，以玻色氣為主。這是物理上由液氦超流問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，數(shù)學(xué)上定義完善的模型。

楊振寧先與黃克孫等人將贗勢(shì)法用于這個(gè)系統(tǒng)。楊振寧和李政道寫完θ-τ文章后，開始發(fā)展量子多體的二元碰撞法。鄭振寧、黃克孫、李政道用贗勢(shì)法得到同樣結(jié)果以及低激發(fā)譜，特別是基態(tài)能量的平方根修正項(xiàng)，被稱為“李-黃-楊修正”。獲諾貝爾獎(jiǎng)后，楊振寧和李政道又回到玻色氣問(wèn)題，做了一系列后續(xù)工作。

50年后，冷原子物理實(shí)驗(yàn)證實(shí)了他們的理論結(jié)果! 楊先生1992年被問(wèn)到“選擇10到20年后變得重要的問(wèn)題的能力”時(shí)，回答說(shuō)：“與物理現(xiàn)象或者與物理學(xué)基本結(jié)構(gòu)直接相關(guān)的課題?！?玻色氣就是個(gè)很好的例子，而且是四五十年后特別重要。

1961年楊先生訪問(wèn)斯坦福大學(xué)，在那里工作的費(fèi)爾班克（William Fairbank）和戴佛（Bascom Deaver）實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)超導(dǎo)環(huán)中磁通量以hc/2e為單位的量子化。費(fèi)爾班克疑惑，這是不是因?yàn)殡姶艌?chǎng)有超越麥克斯韋理論的新規(guī)律。楊振寧和拜爾斯（Nina Byers）給出理論解釋，證明了電子配對(duì)即可導(dǎo)致觀測(cè)到的現(xiàn)象，澄清了不需要引入新的關(guān)于電磁場(chǎng)的基本原理。這也是楊先生與實(shí)驗(yàn)家互動(dòng)的一個(gè)例子。

玻色氣和磁通量子化這些問(wèn)題最終統(tǒng)一起來(lái)，引導(dǎo)楊先生走向了非對(duì)角長(zhǎng)程序。這是他1962年提出的概念，統(tǒng)一刻畫超流和超導(dǎo)的本質(zhì)。

2006年，因氦3超流理論而獲得2003年諾貝爾獎(jiǎng)的萊格特（Anthony Leggett）在他的專著《量子凝聚》序言中說(shuō)：“我從一開始就采納首先由楊振寧闡明的觀點(diǎn)，即應(yīng)該簡(jiǎn)單地考慮單粒子或兩粒子密度矩陣?！?/p>

玻色氣、磁通量子化和非對(duì)角長(zhǎng)程序這3篇文章的引用，都是多年后遠(yuǎn)超當(dāng)初（圖5）。

圖5 楊振寧的李-黃-楊修正、超導(dǎo)環(huán)磁通量子化（與拜爾斯合作）以及非對(duì)角長(zhǎng)程序論文的歷年引用情況

楊先生還做了一批與貝特（Hans Bethe）假定有關(guān)的工作，與楊振平等人合作完成。貝特假定是1931年貝特關(guān)于一維自旋鏈的波函數(shù)的一個(gè)假定，關(guān)鍵是自旋波沒(méi)有衍射。

非對(duì)角長(zhǎng)程序工作之后，楊先生尋找具有這種長(zhǎng)程序的模型，其間重燃了1947年和1952年對(duì)貝特假定的興趣，特別地，他研讀了利布（E.H.Lieb）和林尼格（W.Liniger）用貝特假定研究一維δ函數(shù)排斥勢(shì)中玻色子的工作。1964—1966年，他和楊振平研究格氣模型里的相變及其量子推廣，然后研究與之等效的各向異性海森堡鏈，用了貝特假定，并如此命名。

楊先生在1967年，研究了一維δ函數(shù)排斥勢(shì)中的費(fèi)米子。 這打開了兩個(gè)領(lǐng)域的大門：一是楊-巴克斯特方程，開辟了在數(shù)學(xué)和物理中一個(gè)重要領(lǐng)域；二是一維費(fèi)米子，后來(lái)在冷原子等實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)。次年他還研究了該模型的S矩陣。后來(lái)人們研究了很多可解模型的S矩陣。楊-巴克斯特方程與扭結(jié)理論、辮子群、霍普夫代數(shù)、量子群、拓?fù)?、弦理論等等都有密切的關(guān)系。兩年后，楊振寧又和楊振平研究了一維δ函數(shù)排斥勢(shì)中的玻色子在有限溫度的嚴(yán)格解。這是歷史上首次得到的有相互作用的量子統(tǒng)計(jì)模型在有限溫度的嚴(yán)格解，近年來(lái)，也在冷原子系統(tǒng)中得到實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)和驗(yàn)證。

楊-巴克斯特方程和有限溫度解這兩篇文章的引用情況也都是呈長(zhǎng)期上升趨勢(shì)（圖6）。

圖6 楊振寧的楊-巴克斯特方程論文和有限溫度一維玻色子論文（與楊振平合作）的歷年引用情況

1989年，楊先生終于找到了具有非對(duì)角長(zhǎng)程序的模型，是在高溫超導(dǎo)這一當(dāng)代問(wèn)題中很重要的二維Hubbard模型，而且是在激發(fā)態(tài)。具體來(lái)說(shuō)，是通過(guò)η配對(duì)。這是總波數(shù)為π的電子之間配對(duì)（傳統(tǒng)配對(duì)的總波數(shù)為0）。這篇文章的引用數(shù)在20世紀(jì)90年代中期最多，之后有所回落，現(xiàn)在又開始明顯增多（相對(duì)而言，發(fā)表時(shí)間距離現(xiàn)在時(shí)間還不算很長(zhǎng)）（圖7）。

圖7 1990年Hubbard模型中η配對(duì)的文章的歷年引用情況

在η配對(duì)基礎(chǔ)上，楊振寧和張首晟很快發(fā)現(xiàn)了Hubbard模型的SO（4）對(duì)稱性，與超導(dǎo)性和磁性都相關(guān)。由此，張首晟后來(lái)又發(fā)展出高溫超導(dǎo)的SO（5）理論，將超導(dǎo)性與磁性統(tǒng)一起來(lái)。張首晟稱之為“對(duì)稱性支配相圖”。

SO（4）對(duì)稱性這篇文章引用很多，Google Scholar統(tǒng)計(jì)到近千篇，但是在Web of Science無(wú)引用信息，因?yàn)榇宋陌l(fā)表于新雜志，作為支持。

楊先生沒(méi)有研究生物物理，但是也問(wèn)過(guò)這方面的一個(gè)重要問(wèn)題。他在給《相變與臨界現(xiàn)象》（多姆和格林編，共20卷，1971—2001）第一卷的序言最后一段寫道：“今后幾十年的一個(gè)重大智力挑戰(zhàn)是腦組織的問(wèn)題。記憶存儲(chǔ)的基本機(jī)制是什么？什么過(guò)程實(shí)現(xiàn)體內(nèi)基本上化學(xué)的過(guò)程與大腦的很特定、非統(tǒng)計(jì)的操作之間的聯(lián)系？最重要的，人腦如何實(shí)現(xiàn)概念的形成？我疑惑，是不是這些研究中的物理學(xué)精神與感動(dòng)‘熱力學(xué)的合理基礎(chǔ)’奠基者的并不相似?！?/p>

在這個(gè)方向上，利特爾的文章發(fā)表于1974年，霍普菲爾德的文章發(fā)表于1982年。

楊振寧統(tǒng)計(jì)力學(xué)（含多體和凝聚態(tài)）工作的特色可以小結(jié)如下。楊先生對(duì)扎根于物理現(xiàn)實(shí)的普遍模型嚴(yán)格求解與分析，從而漂亮地抓住問(wèn)題的本質(zhì)和精髓。這方面工作與物理現(xiàn)象、場(chǎng)論和數(shù)學(xué)都有深刻聯(lián)系，對(duì)稱性也起了重要作用。大多數(shù)工作具有極長(zhǎng)的生命力，原文引用不斷創(chuàng)新高。

四、楊-米爾斯理論

1947年，在芝加哥，楊先生學(xué)習(xí)了泡利對(duì)于規(guī)范理論的綜述文章，對(duì)于通過(guò)規(guī)范（指相位）不變性得到電荷守恒這一思想印象深刻，并試圖將它推廣到非阿貝爾規(guī)范理論，以描述粒子間的相互作用。當(dāng)時(shí)也有實(shí)驗(yàn)背景。1947 年，π+介子在宇宙線中被發(fā)現(xiàn)。所以楊先生也試圖與介子掛鉤。但是1947年的嘗試沒(méi)有成功。

到了1954年時(shí)，越來(lái)越多的粒子被發(fā)現(xiàn)。楊先生覺(jué)得，需要一個(gè)原理，來(lái)寫下相互作用。楊先生在訪問(wèn)布魯克海文實(shí)驗(yàn)室時(shí)，與米爾斯合作，在兩篇短文中，提出了楊-米爾斯理論。這兩篇短文是：

1.C.N.Yang， R.Mills， 同位旋守恒與廣義規(guī)范不變，Phys.Rev.95， 631 （1954）；

2.C.N.Yang， R.Mills， 同位旋守恒與同位規(guī)范不變，Phys.Rev.96， 191 （1954）。

第一篇短文是楊振寧1964年4月在美國(guó)物理學(xué)會(huì)會(huì)議的報(bào)告的摘要：“電荷是電磁場(chǎng)的源。這里的一個(gè)重要概念是規(guī)范不變性，它緊密相關(guān)于 （1）電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)方程，（2）流密度的存在， （3）可能存在的帶電的場(chǎng)與電磁場(chǎng)的相互作用。 我們嘗試將這一規(guī)范不變性的概念推廣，以用于同位旋守恒……”

這是推廣規(guī)范場(chǎng)的第一條途徑，將同位旋守恒跟電荷守恒相類比，既然電荷守恒是阿貝爾規(guī)范不變性的后果，那么提出，同位旋守恒也是一種規(guī)范不變性的后果，這個(gè)規(guī)范不變是非阿貝爾規(guī)范不變。

第二篇《同位旋守恒與同位規(guī)范不變》是完整的論文，其摘要強(qiáng)調(diào)了第二條推廣途徑，即同位旋轉(zhuǎn)動(dòng)是局域的，而不是整體的： “……探討了在局域同位旋轉(zhuǎn)動(dòng)下的不變性。這導(dǎo)致建立同位旋規(guī)范不變性原理，以及b場(chǎng)的存在，它和同位旋的關(guān)系同于電磁場(chǎng)與電荷的關(guān)系。b場(chǎng)滿足非線性微分方程。 b場(chǎng)的量子是自旋1、同位旋1、電荷±e或零的粒子?！?/p>

所以楊先生的思路如下。與局域相位變換聯(lián)系的阿貝爾規(guī)范不變性表現(xiàn)為電荷守恒，并導(dǎo)致電磁相互作用。外爾發(fā)現(xiàn)了這個(gè)理論結(jié)構(gòu)，雖然當(dāng)時(shí)電磁相互作用已經(jīng)是已知的。楊-米爾斯理論將它推廣為與局域同位旋變換聯(lián)系的非阿貝爾規(guī)范不變性，由此決定新的、待確定的相互作用。這敲開了“對(duì)稱性支配相互作用”原理的大門。

通過(guò)后來(lái)許多學(xué)者于二十世紀(jì)六七十年代引入的自發(fā)對(duì)稱破缺與漸進(jìn)自由的觀念，楊-米爾斯理論發(fā)展成今天的粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型，包括：1） 電弱統(tǒng)一理論：U（1）XSU（2）楊-米爾斯理論；2） 量子色動(dòng)力學(xué)：SU（3）楊-米爾斯理論。

多位理論物理學(xué)家因?yàn)榛跅?米爾斯理論的工作而獲得諾貝爾獎(jiǎng)。

楊振寧和米爾斯1954年文章的最后一段討論了規(guī)范粒子的質(zhì)量問(wèn)題：“在電動(dòng)力學(xué)中，人們認(rèn)為，電荷守恒要求光子質(zhì)量消失。對(duì)于b場(chǎng)（即楊-米爾斯規(guī)范場(chǎng)），沒(méi)有相應(yīng)的論證，雖然同位旋守恒成立。因此我們對(duì)于b量子（即楊-米爾斯規(guī)范粒子）不能做出任何結(jié)論?！?/p>

這有預(yù)見性。后來(lái)發(fā)現(xiàn)，楊-米爾斯規(guī)范粒子的質(zhì)量確實(shí)可能不為零，也可能為零。電弱理論中，在保持物理定律的對(duì)稱性前提下，允許現(xiàn)象的對(duì)稱性自發(fā)破缺，這導(dǎo)致弱相互作用規(guī)范粒子質(zhì)量不為零。而在關(guān)于強(qiáng)相互作用的量子色動(dòng)力學(xué)中，規(guī)范對(duì)稱沒(méi)有破缺，規(guī)范粒子膠子的質(zhì)量確實(shí)為零，但是夸克和膠子被禁閉著。

1979 年諾貝爾獎(jiǎng)是關(guān)于建立在楊-米爾斯理論基礎(chǔ)上的電弱統(tǒng)一理論，授予格拉肖（Sheldon Glashow）、溫伯格和薩拉姆（Abdus Salan）。格拉肖在諾貝爾演講中說(shuō)：“今天我們有個(gè)被稱作基本粒子物理學(xué)的‘標(biāo)準(zhǔn)理論’，其中強(qiáng)、弱和電磁相互作用都從局域?qū)ΨQ原理給出……這個(gè)概念在1954年被用到非阿貝爾局域?qū)ΨQ群。”

溫伯格在諾貝爾演講中說(shuō)：“更復(fù)雜的群的推廣是1954年楊和米爾斯一篇重要文章中做出，他們展示了怎樣構(gòu)造一個(gè)強(qiáng)相互作用的SU（2）規(guī)范理論……我們目前關(guān)于基本粒子相互作用的細(xì)節(jié)性理論可以作為對(duì)稱原理和對(duì)付無(wú)窮大的可重正化原理的后果?！?/p>

1999年諾貝爾獎(jiǎng)是關(guān)于楊-米爾斯理論的可重正性，授予韋爾特曼和特·胡夫特（Gerard ‘t Hooft）。韋爾特曼在諾貝爾演講中說(shuō)： “楊-米爾斯理論大概是對(duì)于重正化來(lái)說(shuō)最好的理論……從探究楊-米爾斯理論中的費(fèi)曼圖開始，我確定了很多發(fā)散的消失。”

特·胡夫特在諾貝爾演講中說(shuō)：“我計(jì)算了場(chǎng)論的標(biāo)度性質(zhì)，我嘗試的第一個(gè)理論是楊-米爾斯理論……量子色動(dòng)力學(xué)是一種規(guī)范群SU（3）的楊-米爾斯理論。”

特·胡夫特也發(fā)現(xiàn)了漸近自由，但是沒(méi)有發(fā)表。

2004年諾貝爾獎(jiǎng)是關(guān)于楊-米爾斯理論的漸近自由，授予格羅斯（David Gross）、維爾切克和普利策（David Politzer）。獲獎(jiǎng)人格羅斯在諾貝爾演講中說(shuō)：“特·胡夫特關(guān)于楊-米爾斯理論可重正性的杰出工作將非阿貝爾規(guī)范理論重新介紹到業(yè)內(nèi)……我們判斷可以計(jì)算楊-米爾斯理論的β函數(shù)……”

獲獎(jiǎng)人維爾切克在諾貝爾演講中說(shuō):“我們發(fā)現(xiàn)展示漸近自由的理論叫做非阿貝爾規(guī)范理論，或者楊-米爾斯理論（楊和米爾斯，1954）?！?/p>

楊-米爾斯理論已成為標(biāo)準(zhǔn)知識(shí)和核心知識(shí)，絕大多數(shù)人不引用原文，正如討論相對(duì)論時(shí)一般不引用愛(ài)因斯坦的原文。以“Yang Mills”為主題的論文有2萬(wàn)篇，以“non ablian”為主題的論文有七千多篇。原文引用趨勢(shì)先是逐年上升，1978年左右是高峰，然后下降，20世紀(jì)90年代以來(lái)又開始上升（圖8）。

圖8 1954年楊-米爾斯理論原始論文的歷年引用情況

1957年4月羅切斯特會(huì)議上，楊先生就曾提出弱相互作用的中間矢量場(chǎng)可能是規(guī)范場(chǎng)。但是楊先生認(rèn)為不應(yīng)當(dāng)馬虎地將規(guī)范場(chǎng)變成唯象的東西，認(rèn)為牽強(qiáng)嘗試破壞了規(guī)范不變性。

20世紀(jì)60年代后期開始，楊先生回到規(guī)范場(chǎng)，在規(guī)范場(chǎng)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和磁單極方面做了一系列重要工作，開辟了新領(lǐng)域。 其中第一篇是1967年和吳大峻合作的非阿貝爾磁單極，是經(jīng)典純楊-米爾斯理論的第一個(gè)解。

1967—1968年，楊先生意識(shí)到規(guī)范場(chǎng)深刻的幾何意義，開始研究規(guī)范場(chǎng)的積分形式，發(fā)現(xiàn)了不可積相位因子的重要性。此文給出推廣規(guī)范理論的第三條途徑：將不可積相位因子推廣為不可積李群元素。

楊先生和吳大峻將規(guī)范場(chǎng)基本概念“翻譯”成纖維叢基本概念。關(guān)于數(shù)學(xué)和物理對(duì)應(yīng)的“吳-楊字典”引起數(shù)學(xué)界的廣泛興趣。其中與物理上的源對(duì)應(yīng)的問(wèn)號(hào)代表當(dāng)時(shí)還沒(méi)研究。

文章里面還包含了用不可積相位因子，重新研究狄拉克磁單極，揭示了拓?fù)浜臀锢淼纳羁搪?lián)系，解決了有幾十年歷史的奇異弦困難。有的文獻(xiàn)稱之為阿貝爾吳-楊磁單極。1976年他們又用纖維叢概念詳細(xì)討論，楊先生認(rèn)為這是他最優(yōu)雅的工作之一。

這兩篇文章引用一直很多，因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)了新的豐富礦藏，不斷被發(fā)掘（圖9）。

圖9 楊振寧和吳大峻1975年規(guī)范場(chǎng)與纖維叢對(duì)應(yīng)的論文以及1976年第一篇磁單極論文的歷年引用情況

對(duì)于無(wú)源規(guī)范場(chǎng)， 1977年楊先生討論了楊-米爾斯場(chǎng)的一般性的自對(duì)偶條件，得到“楊方程”。后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)楊方程與可積系統(tǒng)有密切關(guān)系。自對(duì)偶解，即瞬子解，于1975年由別拉溫（Belavin）、波利亞科夫（ Polyakov）、 施瓦茨（Schwarz）、特尤普金（Tyupkin）（四人合稱BPST）首先得到。

1978年，楊先生又將狄拉克磁單極推廣到五維平直空間或者四維球空間的SU（2）規(guī)范場(chǎng)，這是四維平直空間的BPST瞬子解在四維球空間的共形映射。

楊-米爾斯理論帶來(lái)一系列數(shù)學(xué)進(jìn)展：

1.阿蒂亞研究了瞬子解分類，與希欽（N.Hitchin）和辛格（I.Singer）計(jì)算了瞬子?？臻g的維數(shù)。

2.于倫貝克（K.Uhlenbeck）將楊-米爾斯方程表示成橢圓系統(tǒng)，導(dǎo)致一系列結(jié)果（ 2019 阿貝爾獎(jiǎng)成果一部分）。

3.陶布斯（C.Taubes）研究瞬子模空間邊界和自對(duì)偶四維流形的粘結(jié)。

4.唐納森（S.Donaldson）在前面三人工作基礎(chǔ)上，用瞬子模空間研究四維微分流形拓?fù)?，得到唐納森定理。結(jié)合弗里德曼定理，說(shuō)明存在一種四維可微流形，與四維歐幾里得空間拓?fù)涞葍r(jià)卻不微分等價(jià)（1986菲爾茲獎(jiǎng)）。

5.威滕（E.Witten）用超對(duì)稱楊-米爾斯理論研究低維拓?fù)涞葦?shù)學(xué)問(wèn)題。

阿蒂亞說(shuō)：“1977年以后我的興趣轉(zhuǎn)向規(guī)范理論以及幾何與物理的相互作用……辛格告訴我楊-米爾斯方程，通過(guò)楊振寧的影響，它正在向數(shù)學(xué)圈滲透?！?/p>

于倫貝克說(shuō): “楊-米爾斯方程正等著被發(fā)現(xiàn)。但是數(shù)學(xué)家不能自己創(chuàng)造它們。規(guī)范場(chǎng)論是個(gè)領(lǐng)養(yǎng)的孩子。物理學(xué)家楊和米爾斯于1954年寫下他們的方程?！?/p>

所以楊先生開啟了物理與數(shù)學(xué)前沿兩個(gè)匯合點(diǎn)：楊-巴克斯特方程和楊-米爾斯理論，大大促進(jìn)了數(shù)學(xué)與物理學(xué)以后的成功合作。

有多項(xiàng)菲爾茲獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)工作與楊-巴克斯特方程或楊-米爾斯理論有密切的關(guān)系，這兩者之間的深刻聯(lián)系也越來(lái)越多地被揭示出來(lái)。

楊先生感懷：“大多數(shù)物理同事對(duì)數(shù)學(xué)采取實(shí)用主義的態(tài)度……我對(duì)數(shù)學(xué)有更多的欣賞。我欣賞數(shù)學(xué)家的價(jià)值判斷，我崇尚數(shù)學(xué)的美和力量……奇跡中的奇跡，數(shù)學(xué)中一些概念竟提供了主宰物理宇宙的基本結(jié)構(gòu)！”

五、楊振寧研究工作的特點(diǎn)

對(duì)于自己研究工作的特點(diǎn)，楊先生本人總結(jié)的三要素是：眼光、堅(jiān)持、力量。

在研究中，楊先生特別關(guān)注: 物理現(xiàn)象和實(shí)驗(yàn)事實(shí)，例如，他鼓勵(lì)外村彰用超導(dǎo)環(huán)驗(yàn)證了AB效應(yīng)；物理學(xué)基本結(jié)構(gòu)；物理理論形式的美。

他從物理現(xiàn)象和自己的物理思想出發(fā)，做出深刻發(fā)現(xiàn)，不趕時(shí)髦、不隨大流、不落俗套。

楊先生腳踏實(shí)地，有費(fèi)米之風(fēng)。他和李先生提出中微子二分量理論時(shí)，在有實(shí)驗(yàn)證據(jù)之前不隨便猜測(cè)，一旦有了實(shí)驗(yàn)證據(jù)則透徹討論。1964年，他和吳大峻沒(méi)有理會(huì)脫離實(shí)際的理論猜測(cè)，而作了CP不守恒的唯象分析，集中于未來(lái)實(shí)驗(yàn)的仔細(xì)分析，建立了分析此類現(xiàn)象的唯象框架。

縱觀楊先生的學(xué)術(shù)研究生涯，可謂是“文章千古事，得失寸心知”。有些工作的重要性因?yàn)榈玫綄?shí)驗(yàn)支持很快被承認(rèn)，比如粒子物理唯象的工作，特別是關(guān)于宇稱不守恒的工作。 有些工作的重要性則隨著時(shí)間的推移與日俱增，比如楊-米爾斯場(chǎng)論以及統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的很多工作。

這些特征貫穿了楊先生整個(gè)研究生涯。

六、對(duì)稱性支配相互作用

1979年，在紀(jì)念愛(ài)因斯坦百年壽辰演講中，楊先生總結(jié)了“對(duì)稱性支配相互作用”總原理。

愛(ài)因斯坦開啟了這個(gè)原理，從廣義坐標(biāo)不變性確定了未知的引力定律，即廣義相對(duì)論。外爾最初試圖推廣廣義相對(duì)論，統(tǒng)一引力和電磁力，后來(lái)將規(guī)范變換修改為量子力學(xué)中的相位變換，從阿貝爾規(guī)范不變性確定了電磁定律，雖然當(dāng)時(shí)電磁定律是已知的。楊-米爾斯理論從非阿貝爾規(guī)范不變性確定未知的新的相互作用定律。 所以，4種基本相互作用都由對(duì)稱性決定。楊-米爾斯理論是20世紀(jì)理論物理三個(gè)主旋律交融變奏的高潮。

確實(shí)，特·胡夫特說(shuō): “規(guī)范理論成為基本粒子理論的中樞概念，并被期待在更基本的理論構(gòu)造中扮演同樣必要的角色，以提供普適物理定律的包容一切的圖像?！?/p>

因此，“對(duì)稱性支配相互作用”這一論斷概況了半個(gè)多世紀(jì)理論物理主要概念性進(jìn)展，并將繼續(xù)為理論物理的進(jìn)步提供一般性指導(dǎo)。

我稱之為物理定律的定律（Law of laws）。

“對(duì)稱性支配相互作用”原理的歷史脈絡(luò)就是：愛(ài)因斯坦—外爾—楊振寧。

格羅斯說(shuō)：“對(duì)稱性支配相互作用而楊振寧支配對(duì)稱性?！?/p>

“對(duì)稱性支配相互作用”使得基本規(guī)律別無(wú)選擇，成為必然，可以被確定，消除了任意性。在深層次的規(guī)律上，美就是真，真就是美，美支配真。我們通過(guò)美確定真。當(dāng)然，要通過(guò)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。這是人類思想史上深刻的一筆?？芍^是大美至真！

我們引述戴森對(duì)于楊-米爾斯理論的3個(gè)評(píng)論：

1.“非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)的發(fā)現(xiàn)打下新的知識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)，這個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)的建造花費(fèi)了30年?，F(xiàn)代理論描述，又被現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)證實(shí)，物質(zhì)的狀態(tài)是非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)的湯，這些規(guī)范場(chǎng)由楊振寧45年前發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)對(duì)稱性聚集在一起?！?/p>

2.“楊振寧占據(jù)了外爾的位置，成為我這一代物理學(xué)家的領(lǐng)頭鳥……楊振寧還畫龍點(diǎn)睛地指出，愛(ài)因斯坦引力理論符合同一個(gè)框架……非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)生成非平庸的李代數(shù)，場(chǎng)之間的相互作用形式被唯一地確定下來(lái)，因此對(duì)稱性支配相互作用。這個(gè)想法是楊振寧對(duì)物理學(xué)最大的貢獻(xiàn)。”

3.“楊-米爾斯規(guī)范場(chǎng)是狄拉克方程之后，理論物理最重要的發(fā)現(xiàn)?！?/p>

楊先生曾經(jīng)回顧1954年的價(jià)值判斷：“（A）規(guī)范不變性的美和力量，以及（B）規(guī)范玻色子的質(zhì)量問(wèn)題。對(duì)于米爾斯和我來(lái)說(shuō)，中心動(dòng)機(jī)來(lái)自（A），正如我們的短摘要所表明的。至于（B），米爾斯和我探討了各種可能性，在我們1954年的文章最后總結(jié)道：‘因此我們沒(méi)有得到關(guān)于b量子的質(zhì)量的任何結(jié)論?！簿褪钦f(shuō)，我們將（B）當(dāng)作未來(lái)的問(wèn)題?！?/p>

從非阿貝爾規(guī)范不變性得到相互作用，是楊-米爾斯理論的核心思想，是正確的。規(guī)范粒子質(zhì)量問(wèn)題后來(lái)得到了解決。粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型的成功證實(shí)了楊振寧基于美的眼光、判斷和勇氣。 這是物理學(xué)歷史的幸運(yùn)。

談到歷史，我們可以從哥白尼的日心說(shuō)得到教益。 哥白尼日心說(shuō)的核心思想是，所有行星繞日運(yùn)動(dòng)。由此自然地解釋了托勒密地心說(shuō)中很多奇怪的規(guī)定。這是一個(gè)大美。它的優(yōu)點(diǎn)在于美，然而它并不比托勒密的地心說(shuō)更符合觀測(cè)。它也借用托勒密的方法，如偏心和本輪。日心說(shuō)在對(duì)觀測(cè)符合上的優(yōu)勢(shì)，要等到伽利略基于望遠(yuǎn)鏡的發(fā)現(xiàn)。而基于正圓的理論缺陷，要等到開普勒的橢圓軌道來(lái)消除。

但是哥白尼日心說(shuō)的核心思想是正確的，其他問(wèn)題后來(lái)解決。圓對(duì)稱（甚至擴(kuò)大為球?qū)ΨQ）轉(zhuǎn)移到深層次的牛頓引力定律，而軌道形狀由于自發(fā)對(duì)稱破缺而成為橢圓。這在細(xì)節(jié)上也碰巧與楊-米爾斯理論有類似。

500年前的哥白尼日心說(shuō)，今天依然重要，核心思想的重要性和正確性更清楚?？梢云诖?，楊-米爾斯理論500年后也將重要，核心思想的重要性和正確性也會(huì)更清楚。

“對(duì)稱性支配相互作用”原理的三位關(guān)鍵人物愛(ài)因斯坦、外爾、楊振寧都是戴森在普林斯頓高等研究院的同事。

楊-米爾斯理論完美詮釋了普林斯頓高等研究院院徽（圖10）表達(dá)的理念：

圖10 普林斯頓高等研究院的院徽

美即是真，真即是美 （Beauty is truth， truth beauty）

——濟(jì)慈 （John Keats）

感謝楊振寧先生對(duì)物理學(xué)的偉大貢獻(xiàn)！恭祝楊先生百歲生日快樂(lè)！祝楊先生保持身體健康，科學(xué)生涯再譜新篇！