賀 佳， 王小勝*， 李 偉

(1.河北工程大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，河北 邯鄲 056038；2.河北工程大學(xué) 水利水電學(xué)院，河北 邯鄲 056038)

隨著經(jīng)濟(jì)全球化，水資源短缺，水環(huán)境惡化等問題的日益加劇，實(shí)施節(jié)水改造項(xiàng)目是必然趨勢(shì)。合同節(jié)水管理(Water-saving Management Contract，簡稱WSMC)是一種新型的市場化節(jié)水服務(wù)機(jī)制，其核心是節(jié)水改造全過程的契約式管理。WSMC主要通過募集資本引用先進(jìn)的技術(shù)對(duì)用戶進(jìn)行節(jié)水改造，使得整個(gè)項(xiàng)目獲得節(jié)水收益，實(shí)現(xiàn)用戶、節(jié)水服務(wù)公司(Water Service Company，簡稱WSCO)，投資方等多方共贏[1-3]。但WSMC存在成本回收周期長，WSCO不能按時(shí)交付節(jié)水收益的問題，影響了雙方合作。其中，合理穩(wěn)定的利益分配方案是參與方合作的基礎(chǔ)，也是促進(jìn)WSMC項(xiàng)目發(fā)展的關(guān)鍵。

目前在理論方法上利益分配問題相關(guān)研究中，徐曉燕等[4]在節(jié)能效益保證型的模式下，構(gòu)建客戶和節(jié)能服務(wù)公司之間的Stackelberg博弈的利益分配模型。Deng等[5]基于蒙特卡洛模擬來最大化節(jié)能服務(wù)公司的收益。Shapley[6]最先提出N個(gè)局中人合作的利益分配方法，為利益分配理論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。Guo[7]等將實(shí)物期權(quán)分析應(yīng)用于合同能源管理項(xiàng)目，選出對(duì)參與者都有吸引力的利益分配方案。同時(shí)，利益分配問題在合同能源管理項(xiàng)目、PPP項(xiàng)目等[8-12]都有相關(guān)研究。但由于WSMC是2014年提出的新概念、新模式，未形成完整的研究體系，與其他領(lǐng)域相比，收益分配機(jī)制研究較少。近幾年部分學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了實(shí)踐探索。尹慶民等[13]分析分享型合同節(jié)水利益分配相關(guān)者，并對(duì)解決多方利益分配進(jìn)行探索研究。王小勝等[14]提出了基于討價(jià)還價(jià)模型的動(dòng)態(tài)博弈利益分配方案。Liu等[15]用修正Shapley討論了分享型合同節(jié)水利益分配問題。這些是針對(duì)效益分享型模式研究的WSMC利益分配，其他模式下更無利益分配模型經(jīng)驗(yàn)可循。效益保證型是WSMC基本模式之一，該模式可規(guī)定用戶希望達(dá)到的節(jié)水目標(biāo)，為項(xiàng)目實(shí)現(xiàn)的節(jié)水效果提供保障。本文從用戶角度出發(fā)，為使WSMC項(xiàng)目達(dá)到預(yù)期節(jié)水效果，首次針對(duì)節(jié)水效益保證型模式，運(yùn)用分級(jí)分成模型[16-17]研究WSMC利益分配。同時(shí)，本文選取WSCO的努力程度、知識(shí)投入效率系數(shù)為影響因素，分成WSCO僅獲得固定管理費(fèi)用和WSCO參與超額利潤分配兩種情形，探討WSCO努力工作的積極性，并決策參與方超額利潤分配比例。

1 節(jié)水效益保證型管理模式

合同節(jié)水管理的基本模式有三種：效益分享型、用水費(fèi)用托管型、效益保證型。效益分享型為用戶僅提供節(jié)水場地，WSCO為用戶募集資本，負(fù)責(zé)項(xiàng)目的改造及運(yùn)營，合同期產(chǎn)生的節(jié)水效益以合同規(guī)定的分享比例分成。用水費(fèi)用托管型為用戶委托WSCO進(jìn)行用水設(shè)備改造和運(yùn)營管理，并按合同規(guī)定向WSCO支付用水托管費(fèi)用，合同期產(chǎn)生的節(jié)水收益歸用戶所有。節(jié)水效益保證型是用戶與WSCO簽訂合同，合同規(guī)定用戶募集資本，WSCO負(fù)責(zé)節(jié)水改造及維護(hù)運(yùn)營，同時(shí)，節(jié)水服務(wù)企業(yè)對(duì)節(jié)水改造實(shí)施的節(jié)水效果作出承諾，未達(dá)到節(jié)水效果的，由WSCO按照合同約定對(duì)用戶進(jìn)行補(bǔ)償，超過節(jié)水效果的，用戶可分享給WSCO一定比例超額利潤的模式[18-20]。與效益分享型和固定投資回報(bào)型相比，效益保證型的特點(diǎn)：(1)用戶融資，用戶是項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)主要承擔(dān)者；(2)用戶可以明確規(guī)定節(jié)水目標(biāo)和相應(yīng)的補(bǔ)償條例。如圖1所示。

圖1 節(jié)水效益保證型示意圖Fig.1 Schematic diagram of water saving benefit guarantee type

2 模型建立

WSMC的利潤主要與兩個(gè)因素有關(guān)：WSCO努力成本和WSMC節(jié)水收益。因此，要提高其利潤，也需要從這兩個(gè)方面入手。作如下基本定義與假設(shè)：

第一，在效益保證型模式下，用戶享有WSMC利益分配的所有權(quán)，聘請(qǐng)WSCO節(jié)水改造管理項(xiàng)目。

第二，雖然水價(jià)市場受調(diào)控等因素影響，整體有所波動(dòng)。但這種整體波動(dòng)，屬于水價(jià)市場的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，并不只是影響某個(gè)WSMC項(xiàng)目。因此，為便于研究，不考慮水價(jià)整體市場的影響。此處假設(shè)節(jié)水收益主要與WSCO的努力程度相關(guān)。

(1)

第四， 假設(shè)在WSCO的努力下，節(jié)水利潤為

(2)

(3)

第六， 假設(shè)WSCO的努力工作效果函數(shù)為

r=keη(0≤η<1)

(4)

3 WSCO與用戶利益分配

3.1 WSCO僅獲得固定管理費(fèi)用

定理1 在用戶只支付管理費(fèi)情況下，為使整個(gè)合同節(jié)水項(xiàng)目的利潤最大，WSCO的工作努力程度與知識(shí)投入效率系數(shù)呈正相關(guān)。

證明將式(3)、(4)代入式(2)，得

(5)

上式π對(duì)e求一階偏導(dǎo)、二階偏導(dǎo)，得

(6)

(7)

(8)

式中：α為常量，是利潤空間占同類節(jié)水項(xiàng)目合同價(jià)格的比例；ε為常量，是WSCO努力工作最大成本占同類項(xiàng)目合同價(jià)格的比例；k為變量，是WSCO知識(shí)投入的效率系數(shù)。

綜上，在用戶只支付管理費(fèi)情況下，為使整個(gè)合同節(jié)水項(xiàng)目的利潤最大，WSCO的工作努力程度與知識(shí)投入效率系數(shù)呈正相關(guān)。

將式(8)代入式(5)，得到整個(gè)WSMC利潤最大值π*。

(9)

從整個(gè)WSMC效益最大化出發(fā)，一方面，WSCO需要努力工作，充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性，滿足市場要求，提升項(xiàng)目的合同價(jià)格。另一方面，WSCO需要加強(qiáng)項(xiàng)目管理和成本管控，降低項(xiàng)目成本。

定理2 在只支付管理費(fèi)情況下，用戶和WSCO對(duì)于利益分配比例要求存在矛盾。WSCO愿意付出的額外工作努力程度低于項(xiàng)目整體利潤最大化需要WSCO應(yīng)該付出的工作努力程度，項(xiàng)目利潤等于計(jì)劃利潤。

證明用戶的收益等于項(xiàng)目的總利潤減去用戶支付WSCO的管理費(fèi)用，即

(10)

將式(5)代入式(10)，得

(11)

上式π1對(duì)λ求一階偏導(dǎo)，得

(12)

WSCO的收益來源于用戶支付的管理費(fèi)用減去努力工作花費(fèi)的額外成本，即

(13)

將式(3)代入式(13)，得

(14)

上式π2對(duì)e求一階偏導(dǎo)，得

(15)

e*=0

(16)

綜上，在只支付管理費(fèi)情況下，用戶和WSCO對(duì)于利益分配比例要求存在矛盾。WSCO愿意付出的額外工作努力程度低于項(xiàng)目整體利潤最大化需要WSCO應(yīng)該付出的工作努力程度，項(xiàng)目利潤等于計(jì)劃利潤。

3.2 WSCO參與超額利潤分配

定理3 WSCO參與超額利潤分配的情況下，從自身利益出發(fā)，其工作努力程度高于只獲得管理費(fèi)用情況下的努力程度，低于整個(gè)節(jié)水項(xiàng)目利潤最大化時(shí)的努力程度。

證明用戶的收益等于項(xiàng)目的利潤減去用戶支付WSCO的管理費(fèi)用，再減去分配給WSCO的超額利潤從而有

(17)

將式(5)代入式(17)，得

(18)

對(duì)于WSCO而言，除可獲得管理費(fèi)用外，還分享因其努力工作帶來的項(xiàng)目超額利潤，其收益為

(19)

將式(3)、(5)代入式(19)，得

(20)

上式π2對(duì)e求一階偏導(dǎo)，得

(21)

(22)

式(22)求得在WSCO從自身利益出發(fā)投入努力工作水平e**。將式(22)分別與式(12)，(16)進(jìn)行比較，得e**e*。

綜上，WSCO參與超額利潤分配的情況下，從自身利益出發(fā)，其工作努力程度高于只獲得管理費(fèi)用情況下的努力程度，低于整個(gè)節(jié)水項(xiàng)目利潤最大化時(shí)的努力程度。

定理4 在WSCO分享超額利潤的情況下，其最優(yōu)工作努力程度e**分別與知識(shí)投入效率系數(shù)k、超額利潤分配比例β呈正相關(guān)。

證明式(22)中e**分別對(duì)k，β求偏導(dǎo)得：

(23)

(24)

綜上，在WSCO分享超額利潤的情況下，其最優(yōu)工作努力程度e**分別與知識(shí)投入效率系數(shù)k、超額利潤分配比例β呈正相關(guān)。

定理5 在WSCO分享超額利潤的情況下，項(xiàng)目總利潤π是超額利潤分配比例β的增函數(shù)，且β與η呈正相關(guān)。

證明將式(22)代入式(5)，得

(25)

上式π對(duì)β求一階偏導(dǎo)，得

(26)

將式(22)代入式(18)，得

(27)

上式π1對(duì)β求一階偏導(dǎo)、二階偏導(dǎo)，得

β+η]/[ηβ2(1-η)(1+β)]

(28)

(4η+1)β-η2-η]/[ηβ3(1-η)

(29)

-(1-η)2β3-(η2-3η+2)β2-β+η=0

(30)

上式β對(duì)η求一階偏導(dǎo)，得

(31)

綜上，在WSCO分享超額利潤的情況下，項(xiàng)目總利潤π是超額利潤分配比例β的增函數(shù)，且β與η呈正相關(guān)。

4 算例分析

WSCO投入的知識(shí)效率系數(shù)k變化的取值，兩種情況下的努力程度，各方的收益以及整個(gè)合同節(jié)水項(xiàng)目的總收益情況如表1所示。

由表1可知，由于WSCO與用戶都考慮如何決策使自身利益最大化，兩種情況下的項(xiàng)目總利潤都低于項(xiàng)目利潤最大值π*，且項(xiàng)目利潤最大化下的WSCO的工作努力程度e高于各種情況下其所付出的工作努力程度。對(duì)比只支付管理費(fèi)用和WSCO分享超額利潤兩種情況，WSCO參與超額利潤分配付出的努力程度e**高于只支付管理費(fèi)用情況下的努力程度e*；并且在WSCO分享超額利潤的情況下，WSMC總利潤以及參與方的收益都高于只支付管理費(fèi)情況下的數(shù)值。同時(shí)可以看出，在知識(shí)投入系數(shù)k的取值變化下，WSCO的工作努力程度e與k呈正相關(guān)。WSCO為可分享超額利潤比例情況時(shí)，WSMC項(xiàng)目的總利潤隨e(0≤e<1)的增大而增大。

表1 η=0.5時(shí)參數(shù)變化及各變量的計(jì)算結(jié)果

5 結(jié)論

相比于只獲得固定管理費(fèi)用的情形下，節(jié)水服務(wù)公司(WSCO)參與超額利潤時(shí)，努力工作的積極性更高。WSCO努力程度越大，WSCO分享的利潤比例、雙方收益、項(xiàng)目的總利潤分別增大。同時(shí)，隨著知識(shí)效率系數(shù)的升高，WSCO努力程度增大。因此，從自身利益出發(fā)，WSCO會(huì)選取知識(shí)效率系數(shù)大，努力程度大的方案完成合同節(jié)水管理(WSMC)項(xiàng)目。用戶將選取分享WSCO超額利潤的方案，增加自身收益。然而，本文還存在一些不足，未考慮當(dāng)WSCO未達(dá)到約定的節(jié)水效益時(shí)，對(duì)其應(yīng)當(dāng)作出適當(dāng)?shù)膽土P措施。在未來也會(huì)對(duì)其進(jìn)行研究，并應(yīng)用到WSMC效益保證型模式中。