郝衛(wèi)強(qiáng), 劉麗娟, 沈巧銀

(1. 常州工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 江蘇 常州 213164; 2. 南京大學(xué)常州高新技術(shù)研究院, 江蘇 常州 213164)

等度洗脫和梯度洗脫是液相色譜的兩種基本操作模式。在等度洗脫中,實(shí)驗(yàn)參數(shù)如流動(dòng)相組成(即強(qiáng)洗脫溶劑在流動(dòng)相中的體積分?jǐn)?shù),φ)等為一常數(shù)。在梯度洗脫中,φ則會(huì)隨時(shí)間(t)的改變而發(fā)生變化。與等度洗脫相比,梯度洗脫有助于縮短分析時(shí)間,減少色譜峰的寬度,在實(shí)踐中有著廣泛應(yīng)用[1,2]。然而溶質(zhì)的保留因子(k)以及傳質(zhì)系數(shù),如溶質(zhì)沿色譜柱軸向的擴(kuò)散系數(shù)(D)以及在固定相和流動(dòng)相之間的吸附動(dòng)力學(xué)系數(shù)(kf)等,也會(huì)隨著φ的改變而發(fā)生變化。在色譜理論中,色譜過程所涉及的對流、擴(kuò)散、吸附等可通過由偏微分方程組構(gòu)成的色譜模型進(jìn)行描述[3,4]。物理參數(shù)k、D、kf等往往出現(xiàn)在偏微分方程的系數(shù)之中。對于等度洗脫,這些參數(shù)為常數(shù),因此等度洗脫所對應(yīng)的色譜模型為常系數(shù)偏微分方程組。然而對于梯度洗脫,k、D、kf則會(huì)隨著φ的改變而發(fā)生變化,因此其所對應(yīng)的色譜模型為變系數(shù)偏微分方程組,這就增加了數(shù)學(xué)分析的難度。

“譜帶壓縮效應(yīng)”是梯度洗脫的重要特征。在梯度洗脫中,沿著流速方向,譜帶后沿所處的流動(dòng)相洗脫強(qiáng)度將高于前沿。因此,位于譜帶后沿的溶質(zhì)的遷移速率快于前沿,進(jìn)而導(dǎo)致譜帶壓縮。在色譜中,溶質(zhì)的遷移速率等于u/(1+k),其中u為流動(dòng)相的線性流速[3]。因此,譜帶壓縮的程度與k在譜帶區(qū)間的分布相關(guān)。對于等度洗脫,k為常數(shù),因此譜帶壓縮效應(yīng)在等度洗脫中并不存在。經(jīng)典的范德姆特(van Deemter)理論塔板高度方程基于等度洗脫推導(dǎo)得到,因此并未包含譜帶壓縮效應(yīng)的影響[5]。但是對于梯度洗脫,由范氏方程所描述的因擴(kuò)散或吸附等造成的譜帶展寬現(xiàn)象(即理論塔板高度H>0)依然存在。在梯度洗脫中譜帶壓縮和譜帶展寬現(xiàn)象同時(shí)并存,這也增加了分離機(jī)理研究的難度。Gritti和Guiochon[6,7]指出,目前對于譜帶壓縮效應(yīng)的研究尚未引起足夠的重視。

1 Poppe公式

對于最簡單的梯度洗脫情形,梯度曲線為線性,

Φ(t)=φ0+Bt

(1)

其中,Φ(t)為輸入系統(tǒng)的流動(dòng)相組成隨時(shí)間t(min)變化的程序,φ0為初始流動(dòng)相組成,B為梯度斜率,溶劑強(qiáng)度模型為Snyder等[8,9]提出的線性溶劑強(qiáng)度模型(linear solvent strength model, LSSM),

lnk=lnk0-Sφ

(2)

其中,lnk0和S為溶劑強(qiáng)度參數(shù),Poppe等[10]基于平衡-擴(kuò)散色譜模型(即將導(dǎo)致譜帶展寬的所有傳質(zhì)因素集中體現(xiàn)在軸向擴(kuò)散系數(shù)D的大小上,通常用符號(hào)Da替代D[3,4]),推導(dǎo)得到第一個(gè)具有嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義,也是在2008年之前唯一一個(gè)可用于譜帶壓縮因子(G)計(jì)算的數(shù)學(xué)公式(以下簡稱Poppe公式)[6],

(3)

其中,σL為色譜峰沿色譜柱軸向的標(biāo)準(zhǔn)偏差(cm),H為理論塔板高度(cm),L為色譜柱長(cm),參數(shù)p通過公式(4)進(jìn)行計(jì)算,

(4)

其中,t0為死時(shí)間(min),kφ0為溶質(zhì)在初始流動(dòng)相中的保留因子。Poppe公式在推導(dǎo)的過程中還遵循以下兩個(gè)假設(shè)[6,10]: (1)H不隨φ的改變而發(fā)生變化;(2)梯度曲線在遷移過程中未發(fā)生變形,即固定相對流動(dòng)相組成溶劑的吸附可忽略不計(jì)。在得到G值后,色譜峰寬(W)可通過下式進(jìn)行計(jì)算：

(5)

其中,N為色譜柱的理論塔板數(shù)(N=L/H),φR為溶質(zhì)流出色譜柱時(shí)所對應(yīng)的流動(dòng)相組成,kφR為φR情形中的保留因子。然而,實(shí)踐中由公式(3)～(5)計(jì)算得到的峰寬理論值往往小于實(shí)驗(yàn)測定值[11,12]。Snyder等[13]嘗試引入經(jīng)驗(yàn)參數(shù)J,即將公式(5)中的G替換為GJ,從而消除這種偏差。然而,J的物理意義至今仍不明確,這在一定程度上限制了人們對于譜帶壓縮效應(yīng)的認(rèn)識(shí)。

2 Poppe公式的改進(jìn)

在實(shí)踐中l(wèi)nk-φ曲線往往呈現(xiàn)出非線性的特征[14,15]。Carr等[16]指出,受制于LSSM的局限,著名色譜軟件DryLab將無法準(zhǔn)確預(yù)測梯度洗脫中的色譜圖。為了更為準(zhǔn)確地描述lnk與φ之間的關(guān)系,一些學(xué)者提出了具有如下形式的擬線性或非線性溶劑強(qiáng)度模型[17-19],

lnk=lnk0-S1φ+S2φ2

(6)

(7)

(8)

其中,lnk0、S1、S2為溶劑強(qiáng)度參數(shù)。Neue等[20]通過研究指出,為了正確認(rèn)識(shí)梯度洗脫中的譜帶壓縮效應(yīng),需要將lnk-φ曲線的非線性特征考慮在內(nèi)。在計(jì)算中,Neue等[20]將kφR的實(shí)驗(yàn)測定值替換基于LSSM得到的理論值,由此計(jì)算得到W的理論值與實(shí)驗(yàn)值之間的誤差可降低至7%。Neue等[20]研究工作的不足是尚未將lnk-φ曲線的非線性特征對G值的影響進(jìn)行校正。

作為對Poppe工作的改進(jìn),Gritti和Guiochon[6,7]基于非線性溶劑強(qiáng)度模型,以平衡-擴(kuò)散色譜模型為研究對象,探討了G的通用數(shù)學(xué)表達(dá)式。本文作者則根據(jù)傳輸色譜模型(即將導(dǎo)致譜帶展寬的所有傳質(zhì)因素集中體現(xiàn)在吸附動(dòng)力學(xué)系數(shù)kf的大小上,通常用符號(hào)kfL替代kf[3,4])展開研究,得到了具有如下形式的理論塔板高度方程[21],

(9)

其中,σt為色譜峰沿時(shí)間坐標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)偏差(min),tR為保留時(shí)間(min),tD為流動(dòng)相從輸液系統(tǒng)中的混合器到達(dá)色譜柱入口所必需的時(shí)間(min),Hap為表觀理論塔板高度(cm),k、H中的下標(biāo)為其所對應(yīng)的流動(dòng)相組成。公式(9)與Gritti和Guiochon得到的結(jié)果基本一致[22]。不同之處在于公式(9)進(jìn)一步考慮了梯度延遲時(shí)間tD對色譜峰寬的影響。在實(shí)踐中,任何一臺(tái)HPLC儀都不可避免地會(huì)存在梯度延遲。這就意味著在分離的過程中,在梯度曲線追上溶質(zhì)之前,溶質(zhì)將會(huì)隨著初始流動(dòng)相在色譜柱中進(jìn)行遷移。溶質(zhì)在初始流動(dòng)相中的遷移行為可通過無量綱值Z0/L=tD/(t0kφ0)進(jìn)行度量,其中Z0為溶質(zhì)隨初始流動(dòng)相在柱中的遷移距離(cm)[23]。由于不同HPLC儀的tD都不一樣,研究tD對溶質(zhì)色譜行為的影響對于分離結(jié)果的準(zhǔn)確預(yù)測,以及分析方法在不同儀器之間的轉(zhuǎn)移將具有重要意義。

當(dāng)H隨φ的變化可忽略不計(jì)時(shí),由公式(9)可得到G的一個(gè)通用表達(dá)式[23],

(10)

對于Poppe所研究的LSSM-線性梯度洗脫情形,由(10)式可得：

(11)

(12)

當(dāng)tD/(t0kφ0)被忽略不計(jì)時(shí)(Poppe在推導(dǎo)公式(3)時(shí)采用了Snyder等[8,9]提出的忽略了tD/(t0kφ0)影響的保留時(shí)間公式),由公式(11)可得到Poppe公式(這時(shí)q=1/(1+p))[23]。當(dāng)lnk-φ曲線的非線性對G的影響被考慮在內(nèi)時(shí),如通過Schoenmakers等[17]提出的二次溶劑強(qiáng)度模型(quadratic solvent strength model, QSSM,即公式(6))描述lnk與φ之間的關(guān)系,對于公式(1)描述的線性梯度洗脫,由公式(10)可得[23]：

(13)

(14)

基于公式(13)計(jì)算得到的峰寬理論值與實(shí)驗(yàn)值更為吻合[23,24]。對于Neue等[20]研究得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),當(dāng)考慮lnk-φ曲線的非線性,以及H隨φ的變化對G的影響時(shí),計(jì)算得到的峰寬理論值與實(shí)驗(yàn)值之間的誤差可由7%降低至2%[24]。這一結(jié)果表明,以往研究報(bào)道的梯度洗脫中峰寬的理論值與實(shí)驗(yàn)值之間存在較大偏差(即通過Snyder提出的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)J進(jìn)行衡量),可能更多的是由于計(jì)算方法不當(dāng)所致。

3 理想情形中的譜帶壓縮效應(yīng)

基于理想色譜模型對梯度洗脫的分離機(jī)理展開研究,將有助于認(rèn)識(shí)譜帶壓縮效應(yīng)的極限情形[25]。在理想色譜模型中,引起譜帶展寬的傳質(zhì)動(dòng)力學(xué)因素被忽略不計(jì)(即H=0)。因此,譜帶在遷移的過程中將僅受到譜帶壓縮效應(yīng)的影響,壓縮程度將最大化。對于分析型液相色譜(即溶質(zhì)的濃度位于吸附等溫線的線性區(qū)間),假定進(jìn)樣函數(shù)是寬度為Tinj的矩形進(jìn)樣。對于理想情形中的等度洗脫,由于譜帶的形狀不會(huì)隨溶質(zhì)在柱中的遷移而發(fā)生改變,因此色譜柱出口處的譜帶寬度(WG)將等于進(jìn)樣寬度Tinj。而在梯度洗脫中,由于存在譜帶壓縮效應(yīng),WG

(15)

上式適用于任意形式的溶劑強(qiáng)度模型以及梯度曲線。需要注意,Gideal(=kφ0/kφR)出現(xiàn)在了(12)式的分母之中。對于具有其他溶劑強(qiáng)度形式(如QSSM)的線性梯度洗脫,都可以將G(H>0)表達(dá)為Gideal(H=0)的函數(shù)[24]。

4 結(jié)論

在實(shí)踐中除了流動(dòng)相組成梯度,還存在溫度、pH值、離子強(qiáng)度等多種梯度形式。例如,Gritti[26]嘗試設(shè)計(jì)了一種新的加熱裝置,從而實(shí)現(xiàn)溫度沿色譜柱軸向的梯度變化。與等度洗脫相比,梯度洗脫在增加分離操作靈活性的同時(shí),也增加了理論研究的難度。雖然梯度洗脫的分離機(jī)理非常復(fù)雜,但是其依然有規(guī)律可循。通過對梯度洗脫中的譜帶壓縮效應(yīng)展開研究,將有助于深化人們對于梯度洗脫機(jī)理的認(rèn)識(shí),從而為實(shí)踐中色譜分離條件的選擇提供指導(dǎo)。