裘祖榮，周 磊，薛 潔，于 振

（天津大學精密測試技術(shù)及儀器國家重點實驗室，天津300072）

1 引 言

精密減速器具有傳動精度高、結(jié)構(gòu)緊湊、可靠性高等優(yōu)點，已成為工業(yè)機器人的核心部件，并廣泛應(yīng)用于先進制造、航空航天等領(lǐng)域。為了提高減速器的質(zhì)量水平，必須對精密減速器的傳動效率、傳動誤差、扭轉(zhuǎn)剛度和空程等參數(shù)進行檢測。減速器各項性能指標參數(shù)顯示，角位移是減速器性能測試中不可或缺的基本量之一。當前，國內(nèi)減速器檢測儀大多選擇高精度、高分辨力、高響應(yīng)速度的圓光柵來測量角度。但是，由于安裝偏心、光柵變形以及環(huán)境干擾等因素對圓光柵角度測量的影響，其測角精度往往不能達到其標稱數(shù)值，嚴重地影響了高精度減速器檢測儀的測角精度［1-2］。因此，需要研究實際工況下圓光柵的測角誤差及其補償方法，進而實現(xiàn)圓光柵的測角精度，保障檢測儀的高精度要求。

目前，國內(nèi)外減速器檢測儀測角精度提高的措施主要分兩種：（1）采用多讀數(shù)頭自校準的方法抑制對應(yīng)階次的測角誤差，該方法可以從原理上抑制測角誤差，但需要布置多個讀數(shù)頭，硬件成本較高［3-4］；（2）采用多項式法、三次樣條插值法、誤差諧波法等數(shù)值補償算法對圓光柵測角誤差進行擬合。其中，誤差諧波法應(yīng)用最為廣泛，其擬合的測角誤差具有周期性，遵循圓周誤差封閉原則，尤其適合圓光柵測角誤差的補償［5-8］。但上述算法的采樣點個數(shù)被多面棱體工作面的個數(shù)限制，需要利用圓光柵N個角位置處的測角誤差數(shù)據(jù)擬合出整周期測角誤差模型，參與擬合的樣本點過少，擬合出的測角誤差模型不能充分反映圓光柵整周期測角誤差，補償效果有限。

本文利用光電自準直儀結(jié)合正24 面棱體，對精密減速器檢測儀圓光柵測角系統(tǒng)的測角誤差進行了標定和補償。在標定過程中，將多面棱體與測量軸系固接，實現(xiàn)多面棱體與圓光柵同步轉(zhuǎn)動。通過控制系統(tǒng)驅(qū)動電機旋轉(zhuǎn)固定角度（15°），使得多面棱體與圓光柵穩(wěn)定在指定位置，此時數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)同步采集兩者的角度信號。在標定實驗結(jié)束后，自動生成報表并將其帶入測角誤差擬合程序中。利用誤差諧波法對多組測量數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，將多組測量數(shù)據(jù)相關(guān)聯(lián)，再利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無需計算出具體補償式的特點，將預(yù)處理后的測量數(shù)據(jù)作為訓練點，擬合出圓光柵測角誤差模型。該方法將多個圓光柵角位置處的測角誤差結(jié)合起來，增加了采樣點數(shù)，實現(xiàn)了多面棱體工作面的拓展，在誤差諧波法的基礎(chǔ)上進一步提高了圓光柵測角系統(tǒng)的精度，從而使減速器檢測儀的測角精度達到亞角秒級。

2 圓光柵測角誤差模型

2.1 精密減速器檢測儀測角系統(tǒng)

如圖1 所示，精密減速器檢測儀測角系統(tǒng)的核心組件包括圓光柵和兩個對徑安裝的讀數(shù)頭，在高速端和低速端處各有一套角度測量系統(tǒng)，串聯(lián)在整個測量軸系中。減速器檢測儀測角精度主要受到圓光柵測角精度的限制，若想提高檢測儀的測角精度，需要建立圓光柵的測角誤差模型并對其進行補償。其中，影響圓光柵測角精度的主要誤差源包括：圓光柵自身刻線誤差、讀數(shù)頭電子細分誤差、安裝誤差、軸系晃動誤差以及光柵變形引入的誤差［9-10］。

圖1 精密減速器檢測儀測角系統(tǒng)Fig.1 Angle measuring system of precision reducer tester

2.2 誤差諧波算法

誤差諧波算法來源于函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開，其擬合的誤差具有周期性，尤其適用于對具有圓封閉特性的圓光柵測角信號進行補償。若想進一步提高補償精度，需要增加采樣點個數(shù)。但采樣點過多時，誤差諧波法所得模型復雜，容易出現(xiàn)擬合震蕩的情況。其原理是利用圓光柵角度誤差信號的周期性，將不同時間段內(nèi)測得的角度信號進行三角形式的傅里葉級數(shù)分解，選取其中幅值、相位基本不變的階次擬合出測角誤差模型，建立諧波測角誤差模型［11］。

2.3 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法具有很強的非線性映射能力和泛化能力，其模型包含一個輸入層、至少一個隱含層以及一個輸出層。該算法無需考慮補償對象的線性或非線性，只關(guān)注輸入和輸出情況。在系統(tǒng)穩(wěn)定、環(huán)境因素影響較小的情況下效果更好，尤其適用于樣本點較多的情況，補償精度高［12］。

在圓光柵測角誤差補償系統(tǒng)中，輸入為圓光柵角位置，輸出為對應(yīng)的測角誤差，因此選用單輸入-單輸出的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。其三層結(jié)構(gòu)為1×N×1，輸入層和輸出層的神經(jīng)元個數(shù)均取1，隱含層神經(jīng)元個數(shù)N通過經(jīng)驗公式和訓練點數(shù)試算后確定，即：

其中：Ni是輸入神經(jīng)元個數(shù)，No是輸出神經(jīng)元個數(shù)，Ns是訓練點個數(shù)，α為自取的任意值變量，通常范圍可取1~10。

2.4 諧波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合補償算法

通常情況下，采用多項式補償法、誤差諧波法等傳統(tǒng)數(shù)值補償法對圓光柵測角誤差進行擬合時，采樣點個數(shù)被多面棱體工作面?zhèn)€數(shù)N限制，擬合出的圓光柵測角誤差模型不能充分反映圓光柵測角誤差特征，補償效果有限。鑒于此，本文將誤差諧波法和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法相結(jié)合，通過多次標定過程增加了采樣點數(shù)，在誤差諧波法的基礎(chǔ)上進一步提高了圓光柵的測角精度，滿足了減速器檢測儀測角系統(tǒng)的高精度要求。諧波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合補償法的具體實施步驟如下：

步驟1：測量多組不同起始角的位置誤差數(shù)據(jù)。將24 面棱體安裝在裝有待測光柵的軸系上，多面棱體第 1 個工作面對準圓光柵 0°（±1°），進行單次測角誤差標定實驗，重復測量5 次，得到第1 組測角誤差數(shù)據(jù)。隨后小角度旋轉(zhuǎn)多面棱體，將第一個工作面分別對準圓光柵 5°，10°（±1°），再次進行測角誤差標定實驗，得到第2 組和第3組測角誤差數(shù)據(jù)k=1，2，…，24。

步驟2：擬合誤差曲線。采用誤差諧波法，使用第1 組測角誤差標定實驗所得的24 個圓光柵角位置的相對誤差數(shù)據(jù)，擬合出圓光柵測角誤差模型f(θ)。

步驟3：多組誤差數(shù)據(jù)預(yù)處理。選取測角誤差模型f(θ)上一段升降趨勢穩(wěn)定或者誤差波動較小的角位置區(qū)間以該區(qū)間的角位置及其對應(yīng)測角誤差為絕對誤差基準。選取其他兩組數(shù)據(jù)中落在該區(qū)間的角位置用該角位置所對應(yīng)的測角誤差擬合值減去實際相對誤差分別得到第 2 組和第 3 組的調(diào)節(jié)系數(shù)即有：

隨后將第2 組和第3 組數(shù)據(jù)中所有角位置對應(yīng)的相對測角誤差 Δθ分別加上得到預(yù)處理后測角誤差Δθ′，將各組測量數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)。

其中：

步驟4：將預(yù)處理后的角位置-誤差數(shù)據(jù)(θ，Δθ′)代入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，依據(jù)式（3）得到隱含層神經(jīng)元個數(shù)的取值范圍，并根據(jù)擬合所得的補償模型補償效果和擬合用時，選取BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱含層神經(jīng)元個數(shù)、學習率和訓練方法等參數(shù)，并得到最終的圓光柵測角誤差模型。

3 自動標定系統(tǒng)設(shè)計

3.1 多面棱體結(jié)合自準直儀測試方法

以自準直儀對準多面棱體1 號工作面為起始點，同步采集自準直儀和圓光柵讀數(shù)頭的數(shù)據(jù)，隨后以24 面棱體標準角度15°旋轉(zhuǎn)測量軸系并記錄數(shù)據(jù)，重復旋轉(zhuǎn)軸系并記錄數(shù)據(jù)，直至完成棱體所有工作面的數(shù)據(jù)采集。

記多面棱體第i個工作面的角位置值為αi，對應(yīng)圓光柵的角位置值為βi。得到多面棱體各工作面角位置后，以多面棱體轉(zhuǎn)過的角位移(αi-α1)為參考值，圓光柵轉(zhuǎn)過的角位移(βi-β1)為測量值，得到對應(yīng)圓光柵角位置的誤差：

其中，多面棱體的角位置αi由三個部分組成，分別是多面棱體第i個工作面角度、光電自準直儀測量值ε及多面棱體經(jīng)計量院檢定后的工作面偏差λ，即：

3.2 圓光柵測角誤差自動標定系統(tǒng)組成

自動標定系統(tǒng)的硬件系統(tǒng)架構(gòu)如圖2 所示，包含上位機模塊、下位機模塊、驅(qū)動模塊、圓光柵模塊和自準直儀模塊。此架構(gòu)功能強大，開發(fā)周期短，易于維護升級。

圖2 嵌入式控制與信號采集系統(tǒng)架構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic diagram of embedded control and signal acquisition system

上位機模塊負責人機交互，并對自準直儀讀數(shù)進行采集；下位機模塊由RT 處理器和FPGA 采集板卡共同構(gòu)成，將上位機命令傳遞至電機驅(qū)動器從而控制電機旋轉(zhuǎn)，采集存儲圓光柵讀數(shù)頭的測角信號；自準直儀模塊包括24面棱體和雙軸光電自準直儀，其中24 面棱體精度等級為0 級，檢定精度為0.1″，光電自準直儀的測量值在±100″范圍內(nèi)的精度為±0.5″，重復性為0.3″，分辨力為0.1″；圓光柵模塊包括圓光柵和兩個對徑安裝的讀數(shù)頭，待補償?shù)膱A光柵為雷尼紹絕對式圓光柵RESA-30U-SA3000，其標稱測角精度為±0.95″，對徑安裝的讀數(shù)頭可減小光柵安裝偏心所引入的測角誤差。

最終搭建的實驗裝置實物如圖3 所示，其中TESA 測頭用于輔助調(diào)節(jié)多面棱體的端面跳動，轉(zhuǎn)接件將多面棱體與測量軸系固接。

圖3 測角誤差標定實驗裝置Fig.3 Experimental setup for calibration of angle mea?surement error

3.3 圓光柵測角誤差自動標定系統(tǒng)控制軟件

為提高實驗效率，編寫了自動標定采集軟件，實現(xiàn)“一鍵式”自動標定，流程如圖4 所示。其中，自準直儀X軸方向與多面棱體旋轉(zhuǎn)方向重合，其讀數(shù)的變化值代表多面棱體旋轉(zhuǎn)角度。

圖4 自動標定流程Fig.4 Flow chart of automatic calibration

上位機程序前面板如圖5 所示，包含命令模塊、自準直儀模塊和RT 控制模塊，命令模塊有開始、停止和選擇高速端/低速端的功能；自準直儀模塊可以對自準直儀參數(shù)進行設(shè)置，顯示自準直儀的工作狀態(tài)和計數(shù)次數(shù)，采集存儲自準直儀讀數(shù)；RT 控制模塊可以驅(qū)動電機旋轉(zhuǎn)固定角度并穩(wěn)定在指定位置，顯示圓光柵讀數(shù)頭計數(shù)次數(shù)，采集存儲圓光柵讀數(shù)頭信號。

圖5 自動標定系統(tǒng)操作界面Fig.5 Operation interface of automatic calibration system

4 實 驗

4.1 圓光柵測角誤差補償實驗結(jié)果

將多面棱體第一個工作面與圓光柵零點對齊，在不同時間段內(nèi)重復進行5 次測角誤差標定實驗，所得離散角度誤差數(shù)據(jù)如圖6 所示，未補償時角度誤差數(shù)據(jù)集中在（-4.02″，2.12″）之間。

圖6 測角誤差數(shù)據(jù)及誤差諧波法擬合曲線Fig.6 Angle measurement error data and harmonic com?pensation curve

采用誤差諧波法分別求解出單次實驗誤差諧波的各階次幅值相位，如表1 所示。可以發(fā)現(xiàn)，1，2，6 階諧波幅值相位變化較小，為系統(tǒng)誤差的主要階次，因此測角誤差模型的表達式為：

表1 誤差諧波法所得的幅值相位Tab.1 Amplitude and phase obtained by error harmonic method

其中：θ為圓光柵角位置；φ為測角誤差值。

將選取的各階次相位幅值取5 次實驗平均值，得到：

選?。?°，15°）為基準區(qū)間，對其他兩組數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，將所得角位置點θ和對應(yīng)測角誤差Δθ′作為訓練點代入BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，得到圓光柵全周期測角誤差模型。經(jīng)反復實驗后，選取神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型參數(shù)如下：隱含層神經(jīng)節(jié)點個數(shù)設(shè)置為36，訓練目標設(shè)置為0.01，學習率設(shè)置為0.05。在該參數(shù)下系統(tǒng)穩(wěn)定收斂，且收斂速度較快。訓練點與諧波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合補償法所得的測角誤差模型如圖7 所示。

圖7 訓練點與諧波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合補償法所得的測角誤差模型Fig.7 Angle measurement error model obtained by train?ing point and harmonic neural network combined compensation method

4.2 誤差模型有效性實驗驗證

為了驗證諧波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合補償法的補償效果，隨機改變多面棱體和圓光柵在周向方向的相對位置進行拓展實驗，本文隨機選取了多面棱體第1 個工作面與圓光柵8.17°對齊的位置。再次進行測角誤差標定實驗，得到24 個圓光柵角位置處的相對測角誤差，分別使用誤差諧波法和諧波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合補償法擬合出的測角誤差模型對所得數(shù)據(jù)進行補償。

補償前后的驗證數(shù)據(jù)如表2 所示，可以看出，補償前測角誤差集中在（-3.47″，1.89″），誤差諧波法補償后測角誤差集中在（-1.29″，1.52″），諧波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合補償法補償后的測角誤差集中在（-0.84″，0.10″）。

表2 驗證點補償前后的測角誤差Tab.2 Angle measurement error before and after com?pensation of verification points

對比曲線如圖8 所示，補償前測角誤差峰峰值為5.36″，標準差為1.32″；采用誤差諧波法修正后測角誤差峰峰值為2.82″，標準差為0.66″；諧波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合補償法修正后測角誤差峰峰值為0.94″，標準差為0.25″，分別減小至誤差諧波法補償后的33.3%和37.9%。由此可見，采用諧波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合補償法擬合的測角誤差補償模型，可以進一步提高減速器檢測儀的測角精度。

圖8 誤差諧波法與諧波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合補償法的殘差對比Fig.8 Comparison of residuals between error harmonic method and harmonic neural network combined compensation method

5 不確定度分析

經(jīng)補償后的角度測量系統(tǒng)誤差須達到亞角秒級別，此外，諧波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合補償法需要結(jié)合多個角位置的誤差數(shù)據(jù)，在測試過程中需要小范圍調(diào)節(jié)多面棱體和圓光柵周向方向上的相對位置，也會引入不確定度，因此需要對自動標定系統(tǒng)進行不確定度分析。標準不確定度u是各標準不確定度分量ui的合成。ui可由被測量可能值區(qū)間的半寬度U除以包含因子k表示［13］。

5.1 光電自準直儀引入的不確定度

5.1.1 示值誤差

由檢定證書可得，自準直儀在±100″內(nèi)讀數(shù)精度為 0.5″，當U=0.5″，k=2，則0.25″。

5.1.2 自準直儀的十字線傾斜引起的讀數(shù)誤差

理想情況如圖9（a）所示，自準直儀豎直方向十字線與旋轉(zhuǎn)軸線重合，多面棱體繞旋轉(zhuǎn)軸OY旋轉(zhuǎn)的真實角度即為自準直儀X軸的示數(shù)變化值x，Y軸的示數(shù)保持不變。實際工況如圖9（b）所示，多面棱體繞OY軸旋轉(zhuǎn)時，自準直儀X軸的示數(shù)變化與實際偏轉(zhuǎn)角度不等，測量誤差為：

圖9 自準直儀十字線傾斜示意圖Fig.9 Schematic diagram of autocollimator cross line tilt

其中：x′為X軸讀數(shù)，y′為Y軸讀數(shù)，θ為十字線傾斜角度［14］。

本實驗中，調(diào)節(jié)自準直儀姿態(tài)，直至滿足多面棱體繞OY軸轉(zhuǎn)動±1 500″時，Y軸的示數(shù)變化在3″內(nèi)，即傾斜角度θ≤0.055°。在此條件下，若自準直儀的X，Y軸讀數(shù)在±50″內(nèi)時，測量誤差最大值ξ1max=0.097″，誤差規(guī)律近似矩形分布，

5.1.3 數(shù)顯漂移引起的讀數(shù)誤差

單組標定實驗測試用時約為15 min，將自準直儀對準多面棱體工作面，測試其30 min 內(nèi)的漂移情況，采樣頻率為0.5 Hz。實驗結(jié)果如圖11所示。讀數(shù)算數(shù)平均值為9.23″，峰峰值為0.23″，實驗標準偏差為u3=0.03″。

5.2 多面棱體引入的不確定度

5.2.1 檢定誤差

本實驗所用多面棱體精度等級為0 級，由檢定證書得，U=0.1″，k=2，則

圖10 自準直儀X 軸示數(shù)漂移Fig.10 Data drift of autocollimator in X-axis

5.2.2 多面棱體安裝偏心引入的不確定度

多面棱體的安裝偏心影響自準直儀十字光線在多面棱體工作面上的位置，進而引入多面棱體工作面的平面度誤差，由此引入的測角誤差為：

其中：ρ為弧度與角秒間的轉(zhuǎn)換常數(shù)，ρ=206 265；h為棱體工作面的平面度誤差；Δh為自準直儀光線改變位置的距離；H為棱體工作面的寬度［15］。

本實驗所使用的多面棱體單個工作面寬度H=30 mm，平面度誤差h小于 50 nm，當 Δh=0.5 mm 時，引入的測角誤差最大值ξ2max=0.046″。

5.2.3 多面棱體安裝傾斜引入的不確定度

由多面棱體安裝傾斜所造成的測角誤差可近似為：

其中：α為多面棱體軸線傾斜角，γi為多面棱體的旋轉(zhuǎn)角度。

實驗中調(diào)節(jié)多面棱體姿態(tài)，使得α<100″，0°<γi<360°，則由多面棱體安裝傾斜引入的誤差最大值為ξ3max=0.098″。

5.3 多面棱體安裝調(diào)試過程引入的不確定度

使用諧波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合補償法時，要結(jié)合多組測量數(shù)據(jù)，需要在15°內(nèi)轉(zhuǎn)動多面棱體，該過程不改變自準直儀十字線的傾斜角度和多面棱體的平面度，但會改變多面棱體的傾斜狀態(tài)。由5.2.3 可知，轉(zhuǎn)動多面棱體引入的測角誤差最大值為：

根據(jù)以上分析，使用傳統(tǒng)方法補償最終合成的不確定度為：

使用諧波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合補償法補償合成的不確定度為：

由結(jié)果可知，使用諧波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補償法和傳統(tǒng)方法補償?shù)暮铣刹淮_定度均為0.27″，即在15°內(nèi)改變多面棱體與圓光柵的周向相對位置不改變合成不確定度的大小。而且，改變多面棱體與圓光柵周向方向的相對位置所引入的測角誤差最大值僅為0.013″，比標定系統(tǒng)總體測角誤差小一個數(shù)量級，它對標定系統(tǒng)的影響可忽略不計，可視為等精度測量。

6 結(jié) 論

本文基于精密減速器檢測儀的實際需求，提出了一種多數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的減速器檢測儀測角誤差擬合方法，將誤差諧波法與BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法結(jié)合起來，利用誤差諧波法將多組角位置誤差數(shù)據(jù)相關(guān)聯(lián)，再帶入BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中訓練擬合出圓光柵整周期測角誤差。在誤差諧波法的基礎(chǔ)上再次對圓光柵測角誤差進行補償，編寫了自動補償程序，在分析現(xiàn)有圓光柵測角誤差擬合方法的基礎(chǔ)上，提高了減速器檢測儀的測角精度。實驗結(jié)果表明：諧波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合補償法修正后測角誤差峰峰值為0.94″，標準差為0.25″，分別減小至誤差諧波法修正后的33.3%和37.9%。該方法進一步提高了圓光柵的測角精度，使減速器檢測儀的測角精度達到了亞角秒級別。