趙轉(zhuǎn)哲，劉永明，張 振，魯月林，何慧娟

(安徽工程大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

“機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)”課程是安徽工程大學(xué)機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動(dòng)化、機(jī)械電子工程、車(chē)輛工程、機(jī)器人工程、測(cè)控技術(shù)及儀器等多個(gè)機(jī)械類專業(yè)的學(xué)科基礎(chǔ)課，課程目標(biāo)主要是將最優(yōu)化原理和計(jì)算技術(shù)應(yīng)用于復(fù)雜機(jī)械設(shè)計(jì)領(lǐng)域，為工程設(shè)計(jì)提供一種重要的科學(xué)設(shè)計(jì)方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和解決工程實(shí)際問(wèn)題的能力。然而，在長(zhǎng)期的教學(xué)過(guò)程中一直存在著教師封閉式教學(xué)、理論脫離實(shí)際、學(xué)生學(xué)習(xí)理解困難、積極性不高、教學(xué)效果差、創(chuàng)新能力不足等[1]局限性，非常不利于該課程的課程目標(biāo)達(dá)成，難以滿足工程教育認(rèn)證的要求。

人工智能優(yōu)化算法在各個(gè)工程領(lǐng)域中的應(yīng)用越來(lái)越深入，如尚洪彬等[2]將混合蛙跳算法(shuffled frog leaping algorithm, SFLA)應(yīng)用于自壓微灌管網(wǎng)系統(tǒng)優(yōu)化布置與管徑選擇設(shè)計(jì)，大大節(jié)省了工程投資造價(jià)；李達(dá)等[3]將粒子群算法用于二次再熱機(jī)組主蒸汽溫度控制，實(shí)現(xiàn)了對(duì)串級(jí)控制系統(tǒng)主回路PID控制器參數(shù)的快速優(yōu)化；楊昆等[4]將遺傳算法應(yīng)用于凸輪軸生產(chǎn)線設(shè)備布局優(yōu)化；劉穎明等[5]將蟻獅算法應(yīng)用于風(fēng)電集群儲(chǔ)能容量配置的優(yōu)化過(guò)程。這些應(yīng)用均取得不錯(cuò)的效果，這充分說(shuō)明智能優(yōu)化算法的應(yīng)用前景廣闊，與各行業(yè)結(jié)合后必將賦能產(chǎn)業(yè)發(fā)展。能否將群智能優(yōu)化算法深度融合到“機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)”課程的教學(xué)之中，對(duì)于開(kāi)闊學(xué)生視野、增加課堂教學(xué)的互動(dòng)性以及培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力、提高課程目標(biāo)的達(dá)成度至關(guān)重要。

基于此，本研究提出在本課程中的大作業(yè)環(huán)節(jié)，通過(guò)引入群智能算法，使之智能優(yōu)化二級(jí)齒輪減速器的設(shè)計(jì)過(guò)程，全程計(jì)算機(jī)化，然后進(jìn)行傳統(tǒng)優(yōu)化理論與現(xiàn)代人工智能算法的對(duì)比，分析算法不足，引導(dǎo)學(xué)生提出改進(jìn)方案，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和思維方式，擴(kuò)充學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)以及進(jìn)一步解決機(jī)械領(lǐng)域復(fù)雜工程問(wèn)題奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

1 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)課程大作業(yè)舉例

1.1 題目要求

課程大作業(yè)是機(jī)械類專業(yè)基礎(chǔ)課必須完成的內(nèi)容之一，一般是在學(xué)完課程時(shí)布置一個(gè)工程類題目，讓學(xué)生自行查閱資料，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去解決。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)課程的大作業(yè)題目及要求如下：

斜齒圓柱齒輪減速器(二級(jí))的結(jié)構(gòu)如圖1所示。已知條件：高速軸輸入功率P=6.2 kW，高速軸轉(zhuǎn)速n=1 450 r/min，總傳動(dòng)比i=31.5，齒輪的齒寬系數(shù)φd=0.4；大齒輪45#鋼，正火處理，硬度為(187～207)HBS，小齒輪45#鋼，調(diào)質(zhì)處理，硬度為(228～255)HBS?？偣ぷ鲿r(shí)間不少于10年(每年4 000 h)[6-7]。

圖1 二級(jí)圓柱齒輪減速器簡(jiǎn)圖

優(yōu)化目標(biāo)：設(shè)計(jì)1個(gè)二級(jí)斜齒圓柱齒輪減速器，要求在保證強(qiáng)度、剛度、壽命等條件下體積最小(質(zhì)量最小或結(jié)構(gòu)最緊湊)。

雖然學(xué)生對(duì)工程具體問(wèn)題感興趣，但是以前缺乏將具體工程問(wèn)題抽象簡(jiǎn)化的訓(xùn)練機(jī)會(huì)和過(guò)程，因此需要引導(dǎo)學(xué)生將上述內(nèi)容轉(zhuǎn)換成可以求解的數(shù)學(xué)理論模型：

二級(jí)斜齒圓柱齒輪減速器由2對(duì)齒輪組成，其齒數(shù)分別為Z1、Z2、Z3和Z4，其傳動(dòng)比分別為i1=Z2/Z1和i2=Z4/Z3，2組傳動(dòng)齒輪的法向模數(shù)分別為m1和m2；齒輪的螺旋角為β。由于設(shè)計(jì)前已經(jīng)給定總傳動(dòng)比i，且有i=i1·i2，所以有i2=i/i1，而4個(gè)齒輪的齒數(shù)只要能確定2個(gè)即可，因此這個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的獨(dú)立設(shè)計(jì)變量為Z1、Z3、m1、m2、i1、β，共6個(gè)，作如下替換：X=[x1,x2,x3,x4,x5,x6]=[m1Z1m2Z3i1β]。

將減速器的體積最小作為優(yōu)化目標(biāo)，經(jīng)分析可知，當(dāng)其他參數(shù)相同時(shí)，只要減速器的總中心距a最小，即可認(rèn)為體積(質(zhì)量)達(dá)到最小，結(jié)構(gòu)最緊湊，因此中心距可以作為本設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)，如下表示：

(1)

對(duì)于工程實(shí)際問(wèn)題，存在著諸多約束條件，導(dǎo)致其求解過(guò)程不能完全照搬高等數(shù)學(xué)求極值的方法去做，這需要和學(xué)生講明白。因此，本例中的二級(jí)齒輪減速器設(shè)計(jì)的約束條件有：齒面接觸強(qiáng)度與齒根彎曲強(qiáng)度要求、高速級(jí)大齒輪與低速軸不發(fā)生干涉約束條件等，如下表示：

s.t.g1(X)=(cosx6)3-3.079×10(-6)x13x23x5≤0

g2(X)=x52(cosx6)3-1.701×10(-4)x32x42≤0

g3(X)=(cosx6)3-9.939×10(-5)(1+x5)x32x22≤0

g4(X)=x52(cosx6)2-1.706×10(-4)(31.5+x5)x32x42≤0

g5(X)=x5[2(x1+50)cosx6+x1x3x5]-x3x4(31.5+x5≤0

(2)

各參數(shù)的取值范圍如下：

01≤x1≤50,14≤x2≤22,0.1≤x3≤50,16≤x4≤22,5≤x5≤7,1≤x6≤20

2 基于群智能算法求解的教學(xué)設(shè)計(jì)

群智能是一類分散自組織系統(tǒng)的集體智能行為的總稱[8]，主要模擬自然界低能生物群體(鳥(niǎo)群、魚(yú)群等)在覓食過(guò)程或者生存時(shí)通過(guò)個(gè)體之間的協(xié)作(或競(jìng)爭(zhēng))的現(xiàn)象，或個(gè)體與環(huán)境之間存在交互作用，最終表征出智能行為。科學(xué)家根據(jù)此而形成的群智能優(yōu)化算法，在求解工程問(wèn)題時(shí)具有特別的優(yōu)勢(shì)，如不要求待求解問(wèn)題的連續(xù)性、可導(dǎo)以及不依賴于梯度信息等優(yōu)勢(shì)，已成為目前解決最優(yōu)化問(wèn)題的有利工具，其典型代表有粒子群算法[3]、遺傳算法[4]、混合蛙跳算法[2，9]等。

減速器設(shè)計(jì)也是一個(gè)具體的工程實(shí)際問(wèn)題，傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法采用人工手動(dòng)試湊的方法，或者采用教材中的優(yōu)化理論——單純形或復(fù)合型法，不僅費(fèi)時(shí)費(fèi)力，得到的結(jié)果也可能不是最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。所以，如何將群智能優(yōu)化算法應(yīng)用到本例中是實(shí)際教學(xué)中面臨的第2個(gè)問(wèn)題。

一般而言，經(jīng)典的群智能算法的程序不需要非計(jì)算機(jī)專業(yè)的教師和學(xué)生在教學(xué)中自行編制，可以在MATLAB軟件中直接調(diào)用，只要根據(jù)工程實(shí)際問(wèn)題，設(shè)計(jì)好適應(yīng)度函數(shù)即可，而適應(yīng)度函數(shù)是群智能算法能夠進(jìn)行優(yōu)化的基礎(chǔ)，主要用來(lái)判斷個(gè)體性能優(yōu)劣，從而作為引導(dǎo)群體進(jìn)化的主要依據(jù)。通常是將目標(biāo)函數(shù)通過(guò)某種轉(zhuǎn)換而得到對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)。

本例中，目標(biāo)函數(shù)雖然相對(duì)簡(jiǎn)單，但是約束條件比較多，屬于非線性約束的優(yōu)化問(wèn)題求解，所以采用課程教材中關(guān)于懲罰函數(shù)的構(gòu)造方法[7]進(jìn)行設(shè)計(jì)。本例中采用外點(diǎn)法，與約束條件一起構(gòu)成懲罰函數(shù)。用max(·,·)表示選取括號(hào)內(nèi)2個(gè)元素中較大的1個(gè)，則懲罰函數(shù)可寫(xiě)成：

(3)

式中，gj(X)為式(2)中的不等式約束。

融合了懲罰函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)的適應(yīng)度函數(shù)可寫(xiě)成：

(4)

式中，γ為懲罰因子，與若選取足夠大(本例中γ=10000)，無(wú)約束問(wèn)題F(X,γF(x，γ)的解會(huì)接近于原問(wèn)題f(X)的解，復(fù)雜的非線性約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的無(wú)約束問(wèn)題。

3 求解結(jié)果對(duì)比與教學(xué)分析

3.1 求解結(jié)果對(duì)比

本研究選取遺傳算法、粒子群算法和混合蛙跳算法作為群智能算法的代表進(jìn)行智能求解。遺傳算法和粒子群算法的原理不再贅述，在MATLAB軟件中直接調(diào)用對(duì)應(yīng)函數(shù)即可，以遺傳算法為例進(jìn)行說(shuō)明，在命令行窗口輸入以下命令即可：

lb=[0.1 14 0.1 16 5 1];

ub=[50 22 50 22 8 30];

[X f_val]=ga(@myreducer,6,[],[],[],[],lb,ub)

注：lb和ub是減速器結(jié)構(gòu)中6個(gè)變量的下界和上界，X為求出的6個(gè)參數(shù)組成的向量，f_val為求出的減速器的中心距，ga為調(diào)用的遺傳算法函數(shù)，括號(hào)中的第1個(gè)參數(shù)為調(diào)用的按照式(2)和式(4)所編寫(xiě)的適用度函數(shù)，第2個(gè)參數(shù)為變量的個(gè)數(shù)，第3～6個(gè)參數(shù)在本例中無(wú)特殊定義，采用空的方括號(hào)代替，其他參數(shù)按照默認(rèn)值即可。

粒子群算法在MATLAB中調(diào)用particleswarm函數(shù)即可實(shí)現(xiàn)，具體命令如下：

[X f_val]= particleswarm(@myreducer,6,lb,ub)。

混合蛙跳算法是模擬青蛙群體覓食特性而形成的群智能算法，同時(shí)了結(jié)合粒子群算法和遺傳算法的優(yōu)點(diǎn)而形成的一種仿生算法，具體原理請(qǐng)參考文獻(xiàn)[9]。本課題組據(jù)此采用MATLAB軟件自行編寫(xiě)的應(yīng)用小程序，在講課時(shí)免費(fèi)提供給學(xué)生使用，調(diào)用格式和粒子群算法類似，在此不再贅述。

為了對(duì)比群智能算法的求解精度，將常規(guī)手工計(jì)算和采用最優(yōu)化理論的復(fù)合型算法[10]的計(jì)算結(jié)果與其進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果見(jiàn)表1。

由表1可以明顯看出，采用群智能算法的計(jì)算結(jié)果，其中心距a比常規(guī)手工計(jì)算和復(fù)合型算法的計(jì)算結(jié)果要小很多，其中粒子群算法的求解結(jié)果要比常規(guī)算法的結(jié)果減少26.49%，與題目要求更加符合，其根本原因是適應(yīng)度函數(shù)(目標(biāo)函數(shù))存在著多個(gè)局部最優(yōu)解，手工計(jì)算或者傳統(tǒng)優(yōu)化算法很難找到其全局最優(yōu)解，而群智能算法具有解決齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)等工程實(shí)際問(wèn)題的優(yōu)異特性。

表1 不同求解算法的結(jié)果對(duì)比

3.2 教學(xué)分析

在實(shí)際設(shè)計(jì)中，齒輪齒數(shù)均為整數(shù)，齒輪模數(shù)為非等間隔的有限離散值，傳動(dòng)比為有限的整數(shù)比值，同時(shí)螺旋角精度過(guò)高會(huì)導(dǎo)致加工成本急劇上升，而上述的復(fù)合型算法和群智能算法，因其算法本身是針對(duì)連續(xù)性變量而提出的求解方法，因此求解結(jié)果需要進(jìn)行對(duì)應(yīng)的工程處理，才能供實(shí)際使用，其處理結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 不同求解算法的結(jié)果對(duì)比

對(duì)比表1和表2發(fā)現(xiàn)，即使是同一種算法，工程化處理后的計(jì)算結(jié)果與處理前相比，差別也比較大，如遺傳算法和粒子群算法，其工程化的結(jié)果比理論計(jì)算值都偏大，說(shuō)明基于連續(xù)型變量的群智能求解算法，在解決工程實(shí)際問(wèn)題時(shí)還存在著變量不適用的問(wèn)題，需要進(jìn)一步的改進(jìn)，其計(jì)算結(jié)果才能真正的實(shí)用，得到大家的認(rèn)可。

4 算法改進(jìn)

本質(zhì)上，二級(jí)齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題屬于混合變量的優(yōu)化問(wèn)題。因此，本研究針對(duì)此問(wèn)題，以混合蛙跳算法為對(duì)象，提出如下2個(gè)方面的改進(jìn)[11]。

4.1 變量映射

離散型變量以表格的形式進(jìn)行映射，以在表格中的位置來(lái)表示該變量的大小，同時(shí)根據(jù)其變量變化范圍，自動(dòng)設(shè)置其表格大小，具體如下：

1)齒數(shù)：對(duì)于齒數(shù)這類整數(shù)型變量，因?yàn)槠溟g距固定為1，在進(jìn)行映射時(shí)，表格的第一個(gè)數(shù)即為變量的最小值，然后逐步加1，依此類推，直至變量的最大值。設(shè)第i個(gè)離散變量Xi取值范圍為Xi=[Xmin,Xmax]，其工程處理方法用 MATLAB語(yǔ)言表示為

Xi=Xmin:1:Xmax

即此時(shí)的映射關(guān)系為Xi[n]=Xmin+(n-1)。

例如，Xi[3]表示表格中的第3個(gè)數(shù)，其大小為Xmin+2。

2)模數(shù)：對(duì)于模數(shù)這類非等間距的離散非整數(shù)變量，在進(jìn)行映射時(shí)，轉(zhuǎn)換成等間距的整數(shù)來(lái)表示，即將所有模數(shù)(28個(gè))按照從小到大的順序、一個(gè)不漏地列成1個(gè)表格，模數(shù)的大小映射到表格的位置大小。設(shè)模數(shù)為Y，則此映射方式用MATLAB語(yǔ)言表示為

Y=[0.10 0.12 0.15 0.2 0.25 …25 32 40 50]

此時(shí)的映射關(guān)系為Y[n]=表中第n個(gè)數(shù)。

例如，Y[3]表示表中的第3個(gè)數(shù)，即模數(shù)的大小為0.15；Y[10]表示表中的第10個(gè)數(shù)，即模數(shù)的大小為0.8；

4.2 更新策略的改進(jìn)

由混合蛙跳算法的原理[9]可知，最差青蛙Xw位置更新的本質(zhì)是：青蛙Xw所代表的解向量在連續(xù)解空間跟蹤其局部極值或全局極值的向量運(yùn)算。其中，rand代表青蛙Xw從局部極值最優(yōu)青蛙Xb的信息繼承度，反映了對(duì)Xb信息的置信指標(biāo)。換句話說(shuō)，表示Xw向Xb學(xué)習(xí)逼近的過(guò)程，其中rand表示學(xué)習(xí)的程度，將青蛙更新的公式可以用下式表示：

Xwnew=Xw+rand×(Xb-Xw)

(4)

當(dāng)rand=1rand()=1時(shí)，Xwnew=Xb，表示青蛙Xw移動(dòng)至性能最優(yōu)的青蛙Xb位置；當(dāng)rand=0時(shí)，Xw=Xw，表示青蛙Xw在當(dāng)前位置并未移動(dòng)。該過(guò)程可以通過(guò)如下的交叉操作實(shí)現(xiàn)：

1)在Xb中隨機(jī)選擇一個(gè)交叉區(qū)域，其中rand決定著交叉區(qū)域的大小。

2)將Xb的交叉區(qū)域加到Xw的前面或后面，并刪除Xw中已在Xb的交叉區(qū)中出現(xiàn)過(guò)的數(shù)字。例如：

當(dāng)前位置Xw=3 7 1 8 9 2 4 6 5 10

局部極值Xb=9 5 10 4 3 2 6 7 8

rand=0.3.

假設(shè)隨機(jī)選擇的交叉區(qū)域?yàn)?4 3 2

交叉后為

4 3 2 7 1 8 9 6 5 10或7 1 8 9 6 5 10 4 3 2

可見(jiàn)，采用這種更新策略，實(shí)施方便，操作簡(jiǎn)單，并且子串能夠繼承父串的有效模式，從而實(shí)現(xiàn)了從局部極值Xb獲得更新信息的目的。

將上述改進(jìn)策略與基本混合蛙跳算法結(jié)合，本課題組相關(guān)教師編制了對(duì)應(yīng)的應(yīng)用程序，見(jiàn)圖2。

圖2 改進(jìn)混合蛙跳算法的程序界面

該程序界面由三大部分組成，分別是設(shè)置、運(yùn)行控制和顯示部分。其中，設(shè)置部分又包括優(yōu)化初始條件的設(shè)置、變量的取值范圍設(shè)置和算法的參數(shù)設(shè)置，運(yùn)行控制由6個(gè)控制按鈕組成，分別完成程序的運(yùn)行、運(yùn)行結(jié)果的數(shù)據(jù)另存、幫助等主要功能，最后是顯示部分，能夠顯示算法的運(yùn)行時(shí)間、進(jìn)化迭代曲線圖、優(yōu)化的結(jié)構(gòu)參數(shù)等必須提供的求解結(jié)果。

4.3 結(jié)果分析

改進(jìn)SFLA算法的參數(shù)設(shè)置為青蛙群規(guī)模F=300，子群數(shù)mp=20，子群進(jìn)化代數(shù)Lmax=30，全局進(jìn)化代數(shù)Gmax=50，其他參數(shù)采用默認(rèn)值即可。采用上述程序?qū)Ρ纠龁?wèn)題進(jìn)行求解。為了克服群智能算法結(jié)果的偶然性，本程序獨(dú)立運(yùn)行20次，結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 改進(jìn)混合蛙跳算法的求解結(jié)果統(tǒng)計(jì)

由表3可以看出，第一，采用改進(jìn)后的混合蛙跳算法在二級(jí)齒輪減速器結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的過(guò)程中，不需要人工干預(yù)進(jìn)行圓整處理，程序直接輸出符合工程應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)的求解結(jié)果，實(shí)用性強(qiáng)；第二，混合蛙跳算法作為群智能算法的一種典型代表，由于算法本質(zhì)上屬于隨機(jī)搜索算法(個(gè)體屬性隨機(jī)生成，每次運(yùn)行不完全相同)，在有限的迭代次數(shù)下，其結(jié)果有可能不完全一致，增大全局迭代次數(shù)能較好地減少不同結(jié)果的數(shù)量，但會(huì)增加程序的運(yùn)行時(shí)間。所以，一個(gè)合適的迭代次數(shù)需要結(jié)合實(shí)際需求來(lái)綜合考慮，在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中通過(guò)重復(fù)多次計(jì)算進(jìn)行克服；第三：從表中的統(tǒng)計(jì)情況來(lái)看，算法求出的結(jié)果有4種，其中結(jié)果2最符合結(jié)構(gòu)緊湊、體積最小和中心距最小的要求，但是其出現(xiàn)的次數(shù)只有3次(15%)，而結(jié)果1有13次(65%)，結(jié)果3和結(jié)果4各有2次(均為10%)，所以，可以選擇結(jié)果1作為改進(jìn)混合蛙跳算法對(duì)此二級(jí)齒輪減速器的智能優(yōu)化求解結(jié)果。

5 教學(xué)總結(jié)

(1)群智能算法作為人工智能計(jì)算的一種典型算法，可以應(yīng)用在傳統(tǒng)的 “機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)”課程的教學(xué)過(guò)程中，與傳統(tǒng)的優(yōu)化理論相結(jié)合，可以開(kāi)闊學(xué)生的視野，進(jìn)行思維創(chuàng)新訓(xùn)練，為培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜機(jī)械工程問(wèn)題提供技術(shù)支持；

(2)在懲罰函數(shù)的設(shè)計(jì)過(guò)程中，為了教學(xué)方便，選了最為簡(jiǎn)單的外點(diǎn)法構(gòu)造，在后續(xù)的教學(xué)過(guò)程中，可以根據(jù)學(xué)生水平不同，分別采用內(nèi)點(diǎn)法和混合法構(gòu)造懲罰函數(shù)作為群智能算法的適應(yīng)度函數(shù)的重要組成部分；

(3)本研究針對(duì)混合蛙跳算法的改進(jìn)措施，可以推廣到其他群智能優(yōu)化算法中，也可以為其他混合變量型的工程實(shí)際問(wèn)題提供解題思路。