王旭飛，張 靜，沈酉慶，寇子明

（太原理工大學機械與運載工程學院，太原 030024）

0 引言

隨著航天事業(yè)的發(fā)展，平面薄膜結構憑借其質量輕、折展比高、易折疊等優(yōu)勢，逐漸成為太陽帆、遮陽罩、空間可展天線等航天器結構的重要發(fā)展方向［1-4］。為了確保薄膜在軌展開后達到正常的工作狀態(tài)，其表面形狀需要滿足平衡條件和結構要求。因此，對平面薄膜結構的膜面形狀進行找形分析具有重要意義。

平面薄膜結構主要由薄膜、張緊結構和邊框支撐結構組成。其中張緊結構主要分為一級張緊結構和二級張緊結構［5］。在一級張緊結構中，分布在薄膜邊界的索（邊索）直接穿過薄膜邊緣處的索套，其兩端與角點支座相連，從而實現(xiàn)膜面的張拉；二級張緊結構中的索主要包含內索和外索等，兩者在每一跨通過連接點或中間索進行連接，通過內索、外索、固定支座在平面薄膜結構角點處的配合，以實現(xiàn)薄膜膜面的張拉。在平面薄膜結構中，評價膜面性能的主要指標有膜面基頻、有效面積率以及應力分布均勻度等［2］。

薄膜結構的找形方法主要有力密度法［6-7］、動態(tài)松弛法［8-9］和非線性有限元法［10］。由于有限元軟件的廣泛應用，國內外學者大多使用非線性有限元法進行找形分析，并對膜面性能的影響因素做了大量研究。汪有偉等［4］通過非線性有限元找形分析發(fā)現(xiàn)，較之一級張緊結構，二級張緊結構可以減緩褶皺的發(fā)生。肖薇薇等［11］采用非線性有限元法研究了不同邊緣索曲線形狀對平面薄膜結構中膜面基頻和應力分布均勻度的影響。丁瀟等［5］采用非線性有限元法對平面薄膜結構進行找形分析，研究了索力和張緊形式對膜面有效面積率、基頻和支座反力的影響。項平等［12］采用非線性有限元法對不同張緊結構的平面薄膜進行了找形分析，結果表明二級張緊結構的膜面應力分布均勻度低于一級張緊結構。目前已有的研究主要集中于索力、結構邊界形狀和張緊形式對膜面有效面積率以及應力分布均勻度的影響，較少考慮膜面預應力、厚度、跨數(shù)對膜面有效面積率、基頻和應力分布均勻度的影響。

二次找形法則是對非線性有限元法的二次使用［13］，其具體分析過程為：第1 次采用非線性有限元法時，通常將薄膜和索的彈性模量降低2 個數(shù)量級，使膜面和索柔軟到可以自由變形，再對其施加初始預應力和邊界條件，得到應力分布相對均勻的初始近似曲面，此過程也被稱為小彈性模量法；之后，將初始近似曲面進行第2 次非線性有限元分析，輸入薄膜和索的真實彈性模量，最終可得到較為精確的曲面［14］。由文獻［15］可知，二次找形法具有收斂速度快，收斂性好等優(yōu)點，且已廣泛應用于建筑薄膜結構找形，但在空間平面薄膜結構上的應用卻極少。

本文采用二次找形法，對一級張緊結構和含中間索的二級張緊結構時的平面薄膜結構進行了找形分析，并通過改變膜面預應力、厚度、跨數(shù)等參數(shù)，分析其對基頻、有效面積率以及應力分布均勻度的影響，為結構分析提供數(shù)值參考。

1 張緊結構中預應力計算方法

1.1 一級張緊結構

由胡克定律知，一級張緊結構中邊索預張力T和膜面預應力F［4］為：

式中：Ec為邊索的彈性模量；Ac為邊索的截面面積；εc為邊索的應變；Em為薄膜的彈性模量；hm為薄膜厚度；ν為薄膜的泊松比；εm為薄膜的應變。

由于建模時邊索單元與膜單元之間共享節(jié)點，為了避免薄膜出現(xiàn)褶皺，同時減少膜面與邊索之間的摩擦［4］，應使邊索與薄膜的應變值保持一致。通過對應變值進行設定，可求得一級張緊結構中薄膜和邊索的預應力。

1.2 二級張緊結構

在一級張緊結構中，相鄰兩支座之間計為一跨，如果薄膜的任意一條邊有S個支座，則此結構的跨數(shù)為S-1；在含中間索的二級張緊結構中，相鄰兩中間索之間計為一跨，若此結構的中間索數(shù)目為M，則其跨數(shù)為M-1。

在對張緊形式為二級張緊結構（含中間索）的薄膜結構進行整體找形時，為使膜面能夠處于理想的平衡狀態(tài)，需確定各索的預張力，即索力大小。在此以中間索數(shù)目為6，跨數(shù)為5 的二級張緊結構為例，進行索力的分析計算。

為了簡化找形過程，將如圖1 所示的二級張緊結構拆分成5 跨的一級張緊結構、中間索和外索三部分。首先取出內索和膜面，將內索與中間索的連接點處設置成固定支座，此結構相當于5 跨的一級張緊結構［5］，并對其完成找形分析；然后將結果中的各個支座反力作為中間索的預張力；最后，通過力的平衡分析以完成外索索力大小的確定。

圖1 跨數(shù)為5的二級張緊結構的初始模型（mm）

為使中間索在找形之后仍能基本維持豎直或水平狀態(tài)，對外索施加滿足平衡條件的預張力。假設索力平衡時張緊結構形態(tài)如圖2 所示。

圖2 假設平衡時張緊結構形態(tài)

若α1、α2中任意一個角度值為已知，即可求得外索預張力T1、T2和T3，即：

式中：Tn1、Tn2、T4為中間索的預張力；α1、α2為外索與水平線之間的夾角。

2 一級張緊結構下找形及數(shù)值分析

利用ABAQUS軟件，對平面薄膜結構進行找形分析，薄膜采用聚酰亞胺材料，索采用Kevlar 材料，其中薄膜和索的具體參數(shù)見表1。

表1 薄膜和索的參數(shù)

有限元模型中，薄膜采用S3 殼單元，索采用T3D2桁架單元，薄膜和邊索進行綁定約束，并對邊索處4 個角點施加完全固定約束。另外，對于含中間索的二級張緊結構，內索與中間索的連接點、中間索與外索連接點均進行綁定約束。整個分析過程均涉及幾何非線性［15］。

2.1 一級張緊結構下的找形分析

建立如圖3 所示的初始模型，其中方形膜面邊長為1 000 mm。根據(jù)式（1），取εc=εm=0.20%，可計算得到薄膜的預應力與邊索的預張力分別為1.23、31.60 N。利用降溫法［16］分別對薄膜和邊索施加預應力。

圖3 一級張緊結構的初始模型（mm）

經過兩次找形后得到的膜面應力分布結果分別如圖4 所示。

圖4 兩次找形后膜面應力分布云圖

由圖4 可知，第1 次小彈性模量找形與第2 次找形后的幾何形態(tài)相似。第1 次找形后的膜面應力分布范圍為0.715～3.931 MPa；第2 次找形后的膜面應力分布范圍為0.720～3.520 MPa。由于第1 次找形時使用的彈性模量較小，使薄膜能夠柔軟地進行張拉，因此造成兩次找形應力分布范圍相差較大。

經過兩次找形后的薄膜更加真實且更能滿足結構要求，同時也驗證了二次找形法的可行性和實用性。此外，找形后的膜面并非等應力分布，造成此現(xiàn)象的原因主要有兩點：①薄膜和邊索的連接方式會影響膜面應力分布；②角點處為完全約束形式，極易導致此處的薄膜出現(xiàn)應力集中現(xiàn)象，進而使膜面應力分布不均勻。

2.2 基頻的影響因素

基頻是結構振動特性的重要參數(shù)。對于平面薄膜結構來說，基頻越大，其剛度也就越大。本文分析了一級張緊結構中薄膜厚度不同時，膜面預應力、跨數(shù)對膜面基頻的影響。

（1）膜面預應力對基頻的影響。邊索預張力保持31.60 N不變，對薄膜厚度為26.50～200 μm、膜面預應力分別為0.5、0.75、1、1.23、1.50 和2 MPa 時的平面薄膜結構進行找形分析，結果如圖5 所示。

由圖5 可知，當薄膜厚度保持不變，且膜面預應力由0.5 MPa增大到2 MPa 時，膜面基頻呈現(xiàn)較快的增長態(tài)勢。當膜面預應力保持不變時，基頻隨薄膜厚度增大而減小。

圖5 不同薄膜厚度下基頻隨膜面預應力的變化曲線

（2）跨數(shù)對基頻的影響。在保證一級張緊結構中膜面預應力與邊索預張力不變的前提下，分析了跨數(shù)對膜面基頻的影響，結果見表2。

表2 不同跨數(shù)下的膜面基頻

由表2 可知，在一級張緊結構中，基頻隨著跨數(shù)的增多而增大，意味著薄膜的膜面剛度也隨之增大。

2.3 有效面積率的影響因素

平面薄膜結構的有效面積是指找形分析完成后索膜邊界曲線所圍形狀的內切矩形面積，有效面積率是指該面積與邊框圍成的矩形面積之比，它是平面薄膜結構的重要設計指標［5］。

（1）膜面預應力對有效面積率的影響。在薄膜厚度為26.50～200 μm、邊索預張力為1.23 MPa 時，對平面薄膜結構的有效面積率進行分析，其中膜面預應力的取值與2.2（1）節(jié)中相同。結果曲線如圖6 所示。

圖6 不同薄膜厚度下有效面積率隨膜面預應力的變化曲線

由圖6 可知，當邊索預張力保持不變時，有效面積率隨膜面預應力的增大而減小，且不同厚度薄膜對應的有效面積率的變化趨勢是相同的。當膜面預應力保持不變，薄膜厚度從26.50 μm 增大到200 μm 時，膜面有效面積率的變化幅度不大；但隨著膜面預應力增大，相近厚度薄膜的有效面積率的變化幅度也隨之增大。

（2）跨數(shù)對有效面積率的影響。在膜面預應力為1.23 MPa和邊索預張力為31.60 N不變的情況下，研究跨數(shù)對有效面積率的影響，結果如圖7 所示。

圖7 不同跨數(shù)下的有效面積率

由圖7 可知，當跨數(shù)從1 增大到6 時，膜面有效面積率也隨之增大，但其增長速率逐漸放緩。當一級張緊結構的跨數(shù)為6 時，其有效面積率高達98.50%。

2.4 應力分布均勻度的影響因素

采用膜面所有節(jié)點的Mises應力均方差值與其均值的比值作為膜面應力分布是否均勻的衡量標準，并將此比值稱為應力波動系數(shù)φ。φ 越小，表明膜面應力分布越均勻［11］。膜面所有節(jié)點的Mises 應力均方差值σ計算公式如下：

式中：σi為膜面節(jié)點應力的仿真值；σm為所有節(jié)點應力的均值；N為節(jié)點總個數(shù)。

（1）膜面預應力對應力分布均勻度的影響。膜面預應力對應力分布均勻度的影響分析是在薄膜厚度為26.50～200 μm、邊索預張力保持1.23 MPa不變的情況下進行的，其中膜面預應力的取值與2.2（1）節(jié)中相同。結果如圖8 所示。

圖8 不同薄膜厚度下φ隨膜面預應力的變化曲線

由圖8 可知，當薄膜厚度一定時，應力波動系數(shù)隨膜面預應力的增大而減小，表明當膜面預應力在一定范圍內取值時，膜面應力分布隨著膜面預應力增大會越均勻，此時薄膜越不易形成褶皺。保持邊索預張力和膜面預應力不變，隨著薄膜厚度增大，膜面應力波動系數(shù)也隨之增大，則膜面應力分布越不均勻。

（2）跨數(shù)對應力分布均勻度的影響。保證一級張緊結構中膜面預應力為1.23 MPa 與邊索預張力為31.60 N不變的前提下，研究了跨數(shù)對φ的影響，結果曲線如圖9 所示。

圖9 跨數(shù)對φ的影響曲線

由圖9 可知，當跨數(shù)為1～6 時，膜面應力波動系數(shù)隨著跨數(shù)的增多而減小，表明膜面應力分布越均勻。

3 二級張緊結構下的找形及結果對比分析

3.1 二級張緊結構下的找形分析

在膜面預應力為1.23 MPa 不變的條件下，通過1.2 節(jié)中索力計算方法得出各個索力大小，采用二次找形法對如圖1 所示的模型進行找形，其中，方形薄膜邊長為1 m，結構中角點處中間索長度為，其余中間索長度均為80 mm。圖10 為跨數(shù)為5 的二級張緊結構找形后的膜面Mises應力分布云圖。

圖10 膜面Mises應力分布云圖

通過圖10 可得，薄膜結構找形后膜面應力分布范圍為0.723～5.602 MPa，其中膜面在中間索與內索連接點處以及4 個角點處的應力值較大。

3.2 不同張緊形式下找形結果對比

對4、5、6 跨的二級張緊結構進行找形，并將其與同等跨數(shù)下的一級張緊結構的找形結果進行對比分析，結果見表3。

表3 跨數(shù)為4、5、6 的一級張緊結構與二級張緊結構的找形結果對比

由表3 可知，在膜面預應力相同條件下，相同跨數(shù)的二級張緊結構與一級張緊結構相比，其有效面積率和基頻均較小，但應力波動系數(shù)較大。

4 結論

本文利用ABAQUS軟件，針對膜面尺寸為1 m×1 m的平面薄膜結構進行了找形分析。探究了一定條件下，不同的張緊形式、膜面預應力等參數(shù)對膜面有效面積率、基頻和應力分布均勻度等性能指標的影響，得出了以下結論：

（1）在一級張緊結構中，基頻和應力分布均勻度與膜面預應力和跨數(shù)的變化均成正相關。隨著跨數(shù)增多，有效面積率也隨之增大，但當膜面預應力逐漸增大時，有效面積率反之減?。?/p>

（2）相同的膜面預應力和跨數(shù)下，與二級張緊結構相比，一級張緊結構的有效面積率和基頻較大，應力波動系數(shù)較小，表明在此條件下，一級張緊結構的膜面性能要優(yōu)于二級張緊結構。