蔡宗楷 徐燦? 鄭志剛?

1) (華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，廈門(mén) 361021)

2) (華僑大學(xué)系統(tǒng)科學(xué)研究所，廈門(mén) 361021)

由大量耦合相振子組成的Kuramoto 模型是研究各種自持續(xù)振蕩系統(tǒng)同步相變和集體動(dòng)力學(xué)的重要模型.近些年,高階耦合Kuramoto 模型引起了廣泛的研究興趣,尤其高階耦合結(jié)構(gòu)在模擬編碼和信息存儲(chǔ)的動(dòng)力學(xué)方面起到重要作用.為了研究高階耦合的影響,本文通過(guò)考慮頻率與耦合之間的關(guān)聯(lián)對(duì)高階耦合的Kuramoto 模型進(jìn)行了推廣,所得到的模型出現(xiàn)了一些新穎的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,包括多集團(tuán)態(tài)(多團(tuán)簇態(tài))、雙穩(wěn)態(tài)、爆炸性同步以及振蕩態(tài).對(duì)無(wú)序態(tài)的線性穩(wěn)定分析得到表征系統(tǒng)由無(wú)序向同步轉(zhuǎn)變的臨界耦合強(qiáng)度,利用自洽方法分析得到系統(tǒng)的多團(tuán)簇態(tài),并進(jìn)一步在等效低維子空間中對(duì)多團(tuán)簇態(tài)進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析得到穩(wěn)定的多團(tuán)簇態(tài)解以及去同步相變點(diǎn).對(duì)理論分析結(jié)果的討論總結(jié)了系統(tǒng)由遲滯到振蕩態(tài)的轉(zhuǎn)變.此外,本文強(qiáng)調(diào)結(jié)合表征系統(tǒng)不對(duì)稱性的Kuramoto 序參量和表征系統(tǒng)多團(tuán)簇態(tài)的Daido 序參量可以對(duì)系統(tǒng)宏觀動(dòng)力學(xué)給出完整的描述.通過(guò)本文的研究可以進(jìn)一步加深對(duì)高階耦合相振子系統(tǒng)中耦合異質(zhì)性以及爆炸性同步的理解.

1 引言

同步涌現(xiàn)是耦合非線性系統(tǒng)中的一個(gè)顯著現(xiàn)象,對(duì)這種自組織行為的研究涵蓋了物理學(xué)、工程學(xué)、生物學(xué)以及社會(huì)系統(tǒng)等多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域.典型的例子包括超導(dǎo)中的耦合約瑟夫森結(jié)、電力網(wǎng)絡(luò)、心臟起搏器、大腦中的神經(jīng)元放電以及觀眾現(xiàn)場(chǎng)掌聲的形成等[1?4].探索通往同步的道路并揭示這種集體行為背后的內(nèi)在機(jī)制具有重要的現(xiàn)實(shí)意義,也為理解復(fù)雜系統(tǒng)宏觀動(dòng)力學(xué)提供理論依據(jù)[5?7].

在研究同步問(wèn)題的諸多模型中,一個(gè)典型的范例是著名的Kuramoto 模型[8],該模型于1975 年被正式提出.Kuramoto 模型由具有隨機(jī)固有自然頻率的相振子系統(tǒng)組成,并且振子間通過(guò)相差的正弦函數(shù)進(jìn)行全局耦合.Kuramoto 模型由弱耦合極限環(huán)振子通過(guò)快慢時(shí)間尺度分離絕熱地消去系統(tǒng)的振幅效應(yīng)而得到,在這一框架下,系統(tǒng)從無(wú)序到有序的同步轉(zhuǎn)變可以被看作是一種典型的非平衡相變.經(jīng)典的Kuramoto 模型指出系統(tǒng)從無(wú)序態(tài)到同步態(tài)的轉(zhuǎn)變呈現(xiàn)出一系列連續(xù)相變,相應(yīng)地,刻畫(huà)系統(tǒng)同步程度的序參量經(jīng)歷了一個(gè)從零到非零的超臨界分岔,這一同步轉(zhuǎn)變特性與統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的二級(jí)相變十分類似[9?11].

最初的Kuramoto 模型及其各種形式的推廣通常局限于每個(gè)振子之間的單次諧波相互作用,即耦合函數(shù)只包含每一對(duì)相互作用振子之間相差的一次簡(jiǎn)諧函數(shù).為了更好地描述大量現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中集體節(jié)律的形成,近年來(lái)研究者對(duì)高階耦合相振子系統(tǒng)開(kāi)展了廣泛的研究[12?17],即系統(tǒng)的耦合函數(shù)包含了相差的二階乃至更高階簡(jiǎn)諧項(xiàng),這類高階耦合相振子模型被統(tǒng)稱為Kuramoto–Daido 模型,這類模型與現(xiàn)實(shí)中的許多物理系統(tǒng)密切相關(guān)[18?22].最近研究表明,作為Kuramoto 耦合相振子模型的一種重要推廣,當(dāng)耦合函數(shù)引入高階結(jié)構(gòu)時(shí),相較于單純的一階耦合,系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生一系列新穎的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象[23?29],例如多集團(tuán)態(tài)、廣泛多穩(wěn)態(tài)、一系列爆炸性去同步轉(zhuǎn)變等[30?35].此外,全局高階耦合相振子系統(tǒng)中涌現(xiàn)出一系列非平庸動(dòng)力學(xué)特性可以用來(lái)有效地模擬編碼和數(shù)據(jù)存儲(chǔ),也為揭示人腦中結(jié)構(gòu)與功能的關(guān)聯(lián)提供了重要的理論啟示.以往對(duì)高階耦合相振子的研究集中在振子間為均勻的耦合方式,而現(xiàn)實(shí)中個(gè)體間的相互作用往往是異質(zhì)性且非對(duì)稱的,例如社交中人與人之間的交流受到個(gè)體性格差異的影響、大腦中神經(jīng)元連接的不對(duì)稱性以及電力網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)間耦合存在差異等.由此本文主要考慮異質(zhì)性且非對(duì)稱的耦合,耦合異質(zhì)性的引入也使得系統(tǒng)的宏觀動(dòng)力學(xué)行為和發(fā)生的相變過(guò)程完全不同（相比于均勻耦合系統(tǒng)中出現(xiàn)的連續(xù)的二級(jí)相變）,除了多集團(tuán)態(tài)、廣泛多穩(wěn)態(tài),系統(tǒng)還將出現(xiàn)由表征系統(tǒng)一級(jí)相變的遲滯現(xiàn)象向振蕩態(tài)的轉(zhuǎn)變,此外系統(tǒng)中表現(xiàn)出的爆炸式同步相變與現(xiàn)實(shí)中一些突發(fā)性現(xiàn)象具有高度相似性,對(duì)爆炸式同步的研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

本文研究了具有高階耦合結(jié)構(gòu)的全局耦合相振子系統(tǒng)中出現(xiàn)的新奇同步相變.通過(guò)建立自然頻率與耦合之間的聯(lián)系進(jìn)行研究,結(jié)果表明這種推廣模型是可以被精確求解的.特別地,文章揭示一階和二階序參量的結(jié)合運(yùn)用可以很好地描述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué).尤其是當(dāng)考慮自然頻率服從雙峰分布時(shí),系統(tǒng)的同步相變形式依賴于頻率分布參數(shù).具體而言,當(dāng)頻率分布的中心頻率較小時(shí),用來(lái)表征系統(tǒng)出現(xiàn)多團(tuán)簇態(tài)的Daido 序參量表現(xiàn)出爆炸性去同步和同步的不可逆一級(jí)相變,而刻畫(huà)不對(duì)稱程度的Kuramoto 序參量則表現(xiàn)出依賴于不對(duì)稱度參數(shù)的爆炸性同步和去同步(abrupt synchronization and desynchronization transition,ASDT).當(dāng) 頻率分布的中心頻率增大時(shí),表征系統(tǒng)一級(jí)相變的遲滯現(xiàn)象隨之消失,宏觀序參量表現(xiàn)為不連續(xù)同步和去同步振蕩態(tài)(oscillatory state,Os).本文從無(wú)序態(tài)線性穩(wěn)定性分析出發(fā),解析地得到表征無(wú)序態(tài)失穩(wěn)的臨界耦合強(qiáng)度.緊接著,通過(guò)自洽方法分析得到系統(tǒng)的多團(tuán)簇態(tài),并在等效低維子空間中對(duì)多團(tuán)簇態(tài)進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析,得到多團(tuán)簇態(tài)的穩(wěn)定解.結(jié)合無(wú)序態(tài)穩(wěn)定性分析和多團(tuán)簇態(tài)分析的結(jié)果揭示了系統(tǒng)由ASDT 到Os 的轉(zhuǎn)變機(jī)制.

本文內(nèi)容安排如下:第2 節(jié)引入高階耦合的動(dòng)力學(xué)模型,并展示了該動(dòng)力學(xué)模型的數(shù)值模擬結(jié)果;第3 節(jié)進(jìn)行理論分析,包括通過(guò)無(wú)序態(tài)的穩(wěn)定分析得到依賴于頻率分布參數(shù)的臨界耦合強(qiáng)度,利用自洽分析得到了系統(tǒng)的多團(tuán)簇態(tài)解,以及對(duì)多團(tuán)簇態(tài)的穩(wěn)定性分析得到穩(wěn)定的多團(tuán)簇態(tài)解,并結(jié)合各分析結(jié)果討論系統(tǒng)相變機(jī)制的轉(zhuǎn)變;最后,在第4 節(jié)對(duì)全文內(nèi)容進(jìn)行概括總結(jié),并對(duì)高階耦合的研究進(jìn)行展望.

2 理論模型及數(shù)值模擬

2.1 理論模型

首先,考慮將經(jīng)典Kuramoto 模型推廣到一般的高階耦合相振子模型,其動(dòng)力學(xué)演化方程如下：

式中,‘‘·”表示對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),θi(t) 表示第 i 個(gè)振子在 t 時(shí)刻的相位,ωi是振子 i 的固有自然頻率,一般取自一個(gè)給定的概率分布函數(shù) g(ω).Kij代表第i個(gè)振子和第 j 個(gè)振子間的耦合強(qiáng)度,并且耦合強(qiáng)度大于 0 表示振子間的相互吸引.與振子間的相互作用為均勻耦合的經(jīng)典Kuramoto 模型相比,該模型中的耦合強(qiáng)度是異質(zhì)性且非對(duì)稱的,即 KijKji,由此更能反映實(shí)際耦合的非對(duì)稱的本質(zhì)[36,37],這也與大腦中的神經(jīng)元連接的不對(duì)稱性一致.

為了突出耦合的異質(zhì)性,這里考慮一種特殊的情形,即 Kij=K|wi|,且 K >0[38?47],這種耦合稱為內(nèi)耦合,即在耦合系統(tǒng)中通過(guò)建立耦合強(qiáng)度與振子本身固有頻率的關(guān)聯(lián)而賦予振子間耦合的異質(zhì)性,在這樣的框架下,耦合的異質(zhì)性源自振子本身的固有特性.頻率權(quán)重模型通常被用來(lái)揭示耦合相振子系統(tǒng)通往同步過(guò)程中發(fā)生的一級(jí)相變[48?53],但是這些研究工作僅僅考慮相差的一次簡(jiǎn)諧函數(shù).本文主要研究高階耦合相振子系統(tǒng)在自然頻率的分布為雙峰對(duì)稱情形下的動(dòng)力學(xué)特性.

為了描述系統(tǒng)的宏觀動(dòng)力學(xué)特性,引入兩個(gè)復(fù)序 參量,定義為

其中,Zk(t) 是宏觀變量,對(duì)應(yīng)于復(fù)平面單位圓上N個(gè)振子 {eikθ} 的質(zhì)心.Rk(t) 和 Θk(t) 分別是復(fù)序參量 Zk(t) 的幅值和幅角.Z1(t) 是Kuramoto 序參量,而 Z2(t) 則被稱作Daido 序參量.從下文將會(huì)發(fā)現(xiàn),這兩個(gè)序參量的組合可以很好地描述方程(1)的宏觀動(dòng)力學(xué).這組序參量可以被解釋為由振子群產(chǎn)生的集體節(jié)律,特別地,Z2(t)可以衡量振子間的同步程度以及集團(tuán)態(tài)的形成,而 Z1(t) 則反映系統(tǒng)的不對(duì)稱度,尤其當(dāng)所有振子同步到兩個(gè)不同的團(tuán)簇上時(shí).顯然,當(dāng)系統(tǒng)在單位圓上的不同位置出現(xiàn)多個(gè)同步團(tuán)簇時(shí),Z2(t) 可以更好地刻畫(huà)系統(tǒng)的同步程度,而 Z1(t) 則表示團(tuán)簇間的大小差異,即兩個(gè)團(tuán)簇的不對(duì)稱程度.具體而言,R1=0 表明兩個(gè)同步團(tuán)簇完全對(duì)稱,幅角相差 π,而當(dāng) R1=1 時(shí),意味著整個(gè)系統(tǒng)表現(xiàn)為一個(gè)巨大的振子團(tuán)簇,說(shuō)明了系統(tǒng)達(dá)到完全同步.

對(duì)上述的頻率權(quán)重內(nèi)耦合相振子,其動(dòng)力學(xué)方程 可寫(xiě)成

由(2)式定義的序參量方程可以將方程(3)改寫(xiě)成平 均場(chǎng)的形式:

很顯然,寫(xiě)成平均場(chǎng)的形式,每一個(gè)振子的演化僅僅與兩個(gè)宏觀參量 R2和Θ2耦合,而與其他所有振子似乎解耦了,且對(duì)每一個(gè)振子而言,與平均場(chǎng) 的有效作用強(qiáng)度為 KR2|ωi|.

2.2 數(shù)值模擬結(jié)果

接下來(lái),通過(guò)展示方程(3)的數(shù)值模擬結(jié)果來(lái)直觀地了解該系統(tǒng)所表現(xiàn)出的新穎的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.以 N=50000 個(gè)振子數(shù),利用四階Runge-Kutta方法對(duì)方程(3)進(jìn)行數(shù)值模擬,自然頻率分別服從雙峰洛倫茲分布

和均勻分布

為了方便討論,對(duì)于雙峰洛倫茲分布,固定Δ=0.1觀察不同 ω0情形下系統(tǒng)隨耦合強(qiáng)度的改變(增加或減小)所表現(xiàn)出的同步相變過(guò)程,而對(duì)于均勻分布直接固定 γ=1 觀察其同步相變過(guò)程,并且在持續(xù)增大耦合強(qiáng)度 K 時(shí)選取任意的相位初始條件θi(0),而在持續(xù)減小耦合強(qiáng)度 K 的過(guò)程中,以不同概率 α 和 1?α 分別選取相位初始條件為θi(0)=0和 θi(0)=π.

圖1 給出了自然頻率服從雙峰洛倫茲情形下序參量 R2和 R1對(duì)應(yīng)不同初始條件和頻率分布參數(shù)下隨耦合強(qiáng)度 K 的相變圖.其中,雙峰洛倫茲分布的半寬 Δ 固定為 0.10,中心頻率 ω0取值分別為0.08(圖1(a)),0.12 (圖1(b)),0.30 (圖1(c)),和0.40(圖1(d)).α 分別取 1.00 (粉),0.90 (青),0.80(藍(lán)),0.70(綠),0.60 (紅).圖1 中的正三角形表示序參量隨耦合強(qiáng)度增大方向的點(diǎn),而倒三角形表示序參量隨耦合強(qiáng)度減小方向的點(diǎn).當(dāng) ω0相對(duì)較小時(shí),從圖1(a1)和圖1(b1)可以看出Daido 序參量R2隨耦合強(qiáng)度 K 的變化經(jīng)歷了一級(jí)相變,即當(dāng) K從小往大增加時(shí),在臨界耦合 Kf處二階序參量 R2發(fā)生由無(wú)序態(tài)(R2=0)到同步態(tài)(R2>0)的不連續(xù)跳變.而當(dāng)耦合強(qiáng)度 K 由大減小的過(guò)程中,R2從同步態(tài)(R2≈0.71)到無(wú)序態(tài)(R2≈0)的去同步轉(zhuǎn)變也是以不連續(xù)跳變的形式,并且去同步臨界耦合強(qiáng)度為 Kb≈2Kb),R1表現(xiàn)為依賴于不對(duì)稱度參數(shù) α 的同步態(tài)(亦即依賴于初始條件),并且隨著耦合強(qiáng)度逐漸減小,每一支解都在相同的臨界耦合強(qiáng)度 K=Kb≈2 經(jīng)歷一系列不連續(xù)的去同步轉(zhuǎn)變.值得注意,序參量 R2和 R1擁有相同的去同步耦合強(qiáng)度 Kb,而 Kf隨著 ω0的增大而減小,進(jìn)而遲滯區(qū)隨著 ω0增大而縮小.

圖1 序參量R2 和 R1隨耦合強(qiáng)度K的相變圖.g(ω)為雙峰洛倫茲分布,且Δ=0.10,ω0分別取(a)0.08,(b)0.12,(c) 0.30,(d) 0.40.其中正三角形△表示耦合強(qiáng)度K增大的方向,倒三角形▽表示耦合強(qiáng)度K 減小的方向.(a2)?(d2)中R1的相變曲線自上往下 α 分別取 1.00 (粉,方形),0.90 (青,圓形),0.80 (藍(lán),菱形),0.70 (綠,左三角),0.60 (紅,右三角)Fig.1.Phase transition diagram of order parameters R2 and R1 with the coupling strength K.g(ω) is bimodal Lorentz distribution with Δ=0.10,and ω0=0.08 (a),0.12 (b),0.30 (c),0.40 (d),respectively.The regular triangle △ indicates the direction of the increase of coupling strength K and the inverted triangle ▽ indicates the direction of the decrease of coupling strength K.In(a2)?(d2),phase transition of R1 with α=1.00(pink,square),0.90 (cyan,circle),0.80(blue,diamond),0.70(green,left triangle)and 0.60 (red,right triangle) from top to bottom,respectively.

當(dāng) ω0較大時(shí)(圖1(c)和圖1(d)),宏觀序參量R2和 R1的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象與之前的圖1(a)和圖1(b)又截然不同.首先,隨著耦合強(qiáng)度的增大或減小時(shí),序參量 R2并不存在遲滯現(xiàn)象,并且在減小和增大K的過(guò)程中 R2的相變是對(duì)稱的.具體而言,系統(tǒng)的無(wú)序態(tài) R2=0 在 Kf<2 處失穩(wěn),對(duì)于同步態(tài)而言,R2在Kb≈2 處發(fā)生不連續(xù)跳變,在區(qū)間Kf

從圖2 可以清晰地看到序參量 R2和 R1隨時(shí)間是周期振蕩的,并且振蕩的最低點(diǎn)都是 0,于是,在此將系統(tǒng)的宏觀序參量 R2和 R1隨時(shí)間 t 表現(xiàn)出周期振蕩的行為稱為振蕩態(tài).同樣,對(duì)于 R1而言,其隨時(shí)間振蕩的幅度依賴于不對(duì)稱度參數(shù) α.為了進(jìn)一步考察自然頻率分布對(duì)系統(tǒng)宏觀動(dòng)力學(xué)的影響,圖3 展示了自然頻率服從半寬為 1 的均勻分布,其情形與圖1(c)、圖1(d)和圖2 類似.系統(tǒng)無(wú)遲滯存在,宏觀序參量R2和 R1在相變過(guò)程中呈現(xiàn)出振蕩態(tài),同時(shí),R1的同步態(tài)和振蕩態(tài)也依賴于不對(duì)稱度參 數(shù) α.

圖3 g(ω) 為均勻分布,γ=1.0 (a),(b)序參量 R2 和 R1 隨耦合強(qiáng)度 K 的相變圖.其中相變曲線自上往下 α 分別取 1.00 (粉,方形),0.90 (青,圓形),0.80 (藍(lán),菱形),0.70 (綠,左三角),0.60 (紅,右三角).(c),(d)耦合強(qiáng)度 K=1.90 時(shí)序參量 R2 和 R1 隨時(shí)間t的演化.圖中 R1 曲線自上往下 α 分別取 1.0 (粉,實(shí)線),0.9 (青,劃線),0.8 (藍(lán),點(diǎn)線),0.7 (綠,點(diǎn)劃線),0.6 (紅,雙點(diǎn)劃線)Fig.3.g(ω) is uniform distribution with γ=1.0 (a),(b) Phase transition diagram of order parameters R2 and R1 with the coupling strength K.Phase transition of R1 with α=1.00 (pink,square),0.90 (cyan,circle),0.80 (blue,diamond),0.70 (green,left triangle) and 0.60 (red,right triangle) from top to bottom,respectively.(c),(d) Evolution of the order parameters R2 and R1 with time t at coupling strength K=1.90.The curve of R1 with α=1.00 (pink,solid line),0.90 (cyan,dash line),0.80 (blue,dot line),0.70 (green,dash dot line),0.60 (red,dash dots line) from top to bottom,respectively.

3 理論分析

3.1 無(wú)序態(tài)穩(wěn)定性分析

考慮熱力學(xué)極限情況下(N →∞),系統(tǒng)的狀態(tài)可以用概率密度分布函數(shù) ρ(θ,ω,t) 來(lái)描述.其中,ρ(θ,ω,t)dθdω表示在 t 時(shí)刻介于區(qū)間ω ∈(ω,ω+dω)和 θ ∈(θ,θ+dθ)內(nèi)振子的比例.此外,ρ(θ,ω,t) 是關(guān) 于相位 θ 周期為 2π 的函數(shù),并且滿足歸一化條件

由于在 N趨于無(wú)窮時(shí),系統(tǒng)的振子數(shù)守恒,故分布函 數(shù) ρ(θ,ω,t)滿足以下連續(xù)性方程:

其中,速度 v(θ,ω,t) 為

相應(yīng)地,由(2)式定義的宏觀序參量 Zk在連續(xù)極限的情況下寫(xiě)成積分的形式為

接下來(lái)將通過(guò)系統(tǒng)的無(wú)序態(tài)線性穩(wěn)定性分析得到無(wú)序態(tài)失穩(wěn)點(diǎn),即系統(tǒng)隨耦合強(qiáng)度 K 增加由無(wú)序向同步轉(zhuǎn)變的臨界耦合強(qiáng)度 Kf.ρ0(θ,ω,t)=1/2π表示系統(tǒng)的無(wú)序態(tài),對(duì)應(yīng)于連續(xù)性方程(6)的平庸解.相應(yīng)地,序參量 Zk=0,所有振子以自然頻率繞單位圓運(yùn)動(dòng).

對(duì) ρ(θ,ω,t) 在平庸解 ρ0附近考慮一個(gè)小的擾動(dòng)

其中,ε 是擾動(dòng)幅值,且 0<ε ?1,ν(θ,ω,t) 是關(guān)于相位 θ 周期為2π 的擾動(dòng)函數(shù).由(5)式的歸一化條件可以得到 ν(θ,ω,t) 對(duì) θ 的均值為 0,即

由此,序參量在擾動(dòng)的作用下改寫(xiě)成關(guān)于擾動(dòng)函數(shù)的形式

相應(yīng)地,速度 v(θ,ω,t) 可寫(xiě)成如下形式:

由于 ν(θ,ω,t) 是關(guān)于 θ 周期為 2π 的函數(shù),可以將ν(θ,ω,t)對(duì)θ 進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi):

其中,νn(ω,t) 為傅里葉展開(kāi)系數(shù),由于 ν(θ,ω,t) 是實(shí)函數(shù),故而 ν0(ω,t)=0 且 νn(ω,t)=將(14)式代入(11)式得到關(guān)于Daido 序參量的簡(jiǎn)潔形式:

從(15)式右邊可以發(fā)現(xiàn),僅 ν(θ,ω,t) 傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的二次簡(jiǎn)諧項(xiàng)對(duì)非平庸線性化振幅方程有作用,這與方程(3)定義的高階耦合有關(guān).將(14)式代入方程(13)可以直觀地得到這一結(jié)論,即

對(duì)方程(16)右邊定義一個(gè)線性算符,即

很顯然,(17)式右邊第一項(xiàng)為乘積算子,其相應(yīng)的本征值為 λ=?2iω,而右邊第二項(xiàng)可以看作是擾動(dòng)算子作用在第一項(xiàng)上.文獻(xiàn)[54,55]指出線性算子的本征譜在微擾作用下保持不變,且文獻(xiàn)[56]表明 L 的連續(xù)譜就是乘積算子的本征值,即σc(L)={λ=?2iω,ω ∈support(g)}.與傳統(tǒng)的Kuramoto 模型及其推廣模型一樣,L 的連續(xù)譜是純虛的,并不會(huì)誘導(dǎo)高階耦合相振子系統(tǒng)的無(wú)序態(tài)線性失穩(wěn).

緊接著,分析 L 的離散譜.對(duì)于 λ ∈Cσc(L),令

結(jié)合(17)式和(18)式,得

式中 λ 的實(shí)部決定了無(wú)序態(tài)的穩(wěn)定性.對(duì)于(20)式,很容易驗(yàn)證如果 λ 存在,那么其實(shí)部一定非負(fù),因此,表征系統(tǒng)無(wú)序態(tài)失穩(wěn)的臨界耦合強(qiáng)度 Kf通過(guò)取極限 Re(λ)→0+和 Im(λ)→Ωc可求得.令λ=x+iy,那么本征方程(20)在極限條件下可分別寫(xiě)成實(shí)部和虛部?jī)蓚€(gè)等式,即

其中,P.V.表示對(duì) ω 沿實(shí)軸的主值積分.最終可以確定臨界耦合強(qiáng)度 Kf的一般形式

其中,臨界平均場(chǎng)頻率 Ωc由平衡方程(22)確定.如,對(duì)于單位半寬的單峰洛倫茲分布,其 Ωc=±2,相應(yīng)地,Kf=4.對(duì)于ω∈[?1,1] 的均勻分布,其而本文主要考慮的雙峰洛倫茲分布,其臨界頻率為

相應(yīng)地,臨界耦合強(qiáng)度為

固定 Δ=0.1,如果 ω0=0.08,那么Kf≈3.12(圖1(a1)),同樣地,ω0=0.12,Kf≈2.56 (圖1(b1)),ω0=0.30,Kf≈1.26 (圖1(c1)),ω0=0.40,Kf≈0.97(圖1(d1)).通過(guò)改變不同的中心頻率 ω0,可得到不同的臨界耦合強(qiáng)度Kf,并且表征無(wú)序態(tài)失穩(wěn)的臨界耦合強(qiáng)度 Kf與表征同步態(tài)去同步的臨界耦合強(qiáng)度的大小關(guān)系,可產(chǎn)生完全不同的宏觀相變過(guò)程(圖1(a1)、圖1(b1)與圖2(c1)、圖1(d1))與微觀動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.

由以上的無(wú)序態(tài)線性穩(wěn)定性分析可知,對(duì)于K Kf,本征值存在且實(shí)部大于 0,意味著無(wú)序態(tài)失穩(wěn).在臨界點(diǎn) K=Kf,本征值虛部非 0,即 Ωc0,說(shuō)明在 K=Kf處發(fā)生Hopf 分岔,系統(tǒng)出現(xiàn)了不連續(xù)爆炸性同步相變[57].

3.2 自洽方法

為了更好地理解系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分岔以及同步相變機(jī)制,接下來(lái)利用自洽方法分析系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間演化的宏觀動(dòng)力學(xué)特性.自洽方法最核心的思想就是假定系統(tǒng)在長(zhǎng)時(shí)間的演化之后處于定態(tài),即 Rk(t) 為隨時(shí)間不變的定值,且 Θk(t) 均勻旋轉(zhuǎn).由于方程(3)滿足旋轉(zhuǎn)不變性和反演對(duì)稱性,在旋轉(zhuǎn)框架下選取適當(dāng)?shù)某跏紬l件可以令 Θ(t)=0,故而 Zk=Rk.此時(shí)平均場(chǎng)方程為

根據(jù) KR2的幅值大小,系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)出兩種不同的宏觀動(dòng)力學(xué)行為.當(dāng) KR2>1 時(shí),所有振子都會(huì)被鎖住,與自然頻率大小無(wú)關(guān),并且鎖相相位滿足

按照三角函數(shù)恒等式變換,可求得

其中,δ(·) 表示Dirac 函數(shù),參數(shù) α 是反映兩個(gè)團(tuán)簇間的不對(duì)度.當(dāng) KR2<1時(shí),所有振子處于漂移的狀態(tài),并在單位圓上非均勻地運(yùn)動(dòng),此時(shí)的相位分布為

相應(yīng)地,序參量也分為兩種不同的情形進(jìn)行討論,分別為

和

其中,〈·〉 表示所有振子取平均.在連續(xù)極限的情況下,按照(8)式關(guān)于序參量的定義以及系統(tǒng)的對(duì)稱性,可以計(jì)算得到關(guān)于二階序參量的一個(gè)簡(jiǎn)潔形式:

由此可解得

對(duì)于實(shí)數(shù) K 和 R2,(36)式有解必須滿足 K ≥2.結(jié)合序參量 R1的定義和 R2的表達(dá)式,求得 R1關(guān)于耦合強(qiáng)度 K 和不對(duì)稱度參數(shù) α 的表達(dá)式為

由(37)式可以看出,序參量 R1是取決于不對(duì)稱度參數(shù) α 的廣泛多穩(wěn)態(tài),而由序參量 R2的表達(dá)式(36)式可知,R2只與耦合強(qiáng)度有關(guān),并不依賴于不對(duì)稱度參數(shù) α.對(duì)于足夠大的耦合強(qiáng)度 K,序參量 R2有兩支解,且其中一支是穩(wěn)定的,另一支是不穩(wěn)定的,下文將證明其中是穩(wěn)定的,是不穩(wěn)定的.在耦合強(qiáng)度 K 由大逐漸減小的過(guò)程中,序參量 R1和 R2的每一支解都會(huì)在相同的臨界耦合強(qiáng)度 Kb=2 處消失,表明系統(tǒng)在此處發(fā)生爆炸性去同步轉(zhuǎn)變,至于去同步之后系統(tǒng)會(huì)處于無(wú)序態(tài)還是振蕩態(tài)取決于振子自然頻率分布的中心頻率.

3.3 多團(tuán)簇態(tài)穩(wěn)定性分析

3.2 節(jié)基于自洽方程得到了多團(tuán)簇態(tài)的一般形式,但是其穩(wěn)定性特性仍然是模糊的,使得對(duì)系統(tǒng)集體動(dòng)力學(xué)的理解不夠深刻.這一節(jié)將解決多集團(tuán)態(tài)的穩(wěn)定性問(wèn)題,具體而言,就是對(duì)各個(gè)團(tuán)簇進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析.

從(27)式可以看出,鎖相時(shí)所有振子被鎖在4 個(gè)團(tuán)簇,分別為換句話說(shuō),對(duì)于 N 維的的系統(tǒng)方程(3),最終演化到一個(gè)4維的子流形.在這樣的低維子空間中,系統(tǒng)的演化方程退化到一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)潔的形式:

其中,ω >0為團(tuán)簇 θp的自然頻率.接著,引入相差φ=θp?θn,那么可以得到相差 φ 的演化方程

顯然,當(dāng) K >2 時(shí),(40)式存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn),即

對(duì)(40)式進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析,可以很容易得到穩(wěn)定的條件為 cos(2φ)>0.并且,注意到

因此,穩(wěn)定條件 cos(2φ)>0 等價(jià)于

3.4 一級(jí)相變與振蕩態(tài)

從3.3 節(jié)的多團(tuán)簇態(tài)的穩(wěn)定性分析可以得到,在耦合強(qiáng)度 K >Kb=2 時(shí),多團(tuán)簇態(tài)的解存在且穩(wěn)定.又由3.1 節(jié)無(wú)序態(tài)的穩(wěn)定性分析得到,無(wú)序態(tài)的失穩(wěn)點(diǎn) Kf的一般表達(dá)式((23)式),與自然頻率分布函數(shù)的中心頻率 ω0和半寬 Δ 有關(guān),若固定 Δ 為常數(shù)不變,那么表征無(wú)序態(tài)失穩(wěn)的臨界耦合強(qiáng)度 Kf將隨著 ω0增大而減小.當(dāng) ω0較小時(shí),使得Kf>Kb,就會(huì)出現(xiàn)遲滯現(xiàn)象(圖2(a)和圖2(b)),具體而言,當(dāng)耦合強(qiáng)度從小往大增加時(shí),無(wú)序態(tài)將在Kf>Kb=2處失穩(wěn),所有振子發(fā)生同步,且臨界點(diǎn)處的序參量>0,可由(36)式和(37)式及(43)式求得,分別為

序參量 RK在臨界點(diǎn)由 RK=0 直接向 RK>0 發(fā)生跳變,表現(xiàn)為不連續(xù)相變(一級(jí)相變),即爆炸式同步.同樣地,當(dāng)耦合強(qiáng)度由大往小減時(shí),多團(tuán)簇態(tài)將在 Kb=2 處去同步,且

序參量由非 0 跳到0,表現(xiàn)為爆炸式去同步,值得注意,耦合強(qiáng)度在 Kb2時(shí)穩(wěn)定,那么在 Kf

4 結(jié)論

綜上,本文探討了耦合強(qiáng)度與頻率關(guān)聯(lián)的高階耦合相振子的動(dòng)力學(xué).由數(shù)值模擬與理論分析得出,在自然頻率服從雙峰分布的情形下,隨著自然頻率分布的中心頻率的增加,系統(tǒng)將由ASDT 向Os 轉(zhuǎn)變.具體而言,首先,利用無(wú)序態(tài)線性穩(wěn)定性分析得到了系統(tǒng)發(fā)生同步的臨界耦合強(qiáng)度,再通過(guò)自洽分析得到系統(tǒng)的多團(tuán)簇態(tài)及其一般表達(dá)式,并對(duì)多團(tuán)簇態(tài)進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析得到其穩(wěn)定解.當(dāng)頻率分布的中心頻率較小時(shí),系統(tǒng)由無(wú)序向同步轉(zhuǎn)變的臨界耦合強(qiáng)度大于多團(tuán)簇態(tài)的去同步點(diǎn),將存在無(wú)序態(tài)與多團(tuán)簇態(tài)共存的雙穩(wěn)態(tài),此時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)為ASDT.當(dāng)增大自然頻率分布的中心頻率,系統(tǒng)無(wú)序態(tài)失穩(wěn)的臨界耦合強(qiáng)度小于多團(tuán)簇態(tài)的去同步點(diǎn),此時(shí),遲滯消失且在無(wú)序態(tài)失穩(wěn)點(diǎn)與多團(tuán)簇態(tài)去同步點(diǎn)之間存在非定態(tài)解,即Os.值得注意,本文指出二階序參量可以很好地描述系統(tǒng)多團(tuán)簇態(tài)的形成,而一階序參量則反映系統(tǒng)的不對(duì)稱性.

本文旨在考察高階耦合結(jié)構(gòu)對(duì)耦合相振子集體動(dòng)力學(xué)的影響,但該模型在研究自然界中的同步現(xiàn)象以及社會(huì)中的復(fù)雜系統(tǒng)建模等相關(guān)具體應(yīng)用還有待進(jìn)一步研究.本文僅對(duì)全局耦合相振子系統(tǒng)所表現(xiàn)出的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象給出理論基礎(chǔ),缺乏對(duì)現(xiàn)實(shí)因素的考量以及系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的討論,這些問(wèn)題將有待進(jìn)一步得到分析解決.