○ 文/楊樹(shù)宇

在材料力學(xué)中，計(jì)算梁彎曲時(shí)的內(nèi)力，并繪制剪力、彎矩圖，是力學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，是對(duì)梁進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算和剛度校核的依據(jù)，同時(shí)又是后續(xù)課程的很重要的基礎(chǔ)知識(shí)。但對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)卻是一個(gè)難點(diǎn)，在計(jì)算截面內(nèi)力和應(yīng)用簡(jiǎn)捷法、疊加法繪制內(nèi)力圖時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤，而使內(nèi)力圖成為力學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中的一個(gè)“瓶頸”，且簡(jiǎn)捷法、疊加法繪制時(shí)需要分段，然后逐段進(jìn)行分析、繪制，計(jì)算過(guò)程相對(duì)復(fù)雜。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，通過(guò)幾年來(lái)的研究和教學(xué)實(shí)踐，筆者嘗試使用了一種更直觀、更簡(jiǎn)捷的描繪內(nèi)力圖的方法，并稱之為“剪力、彎矩圖‘一筆畫(huà)’”。

之所以稱之為“剪力彎矩圖‘一筆畫(huà)’”，是受智力游戲“一筆畫(huà)”中不斷筆、不重復(fù)地從起點(diǎn)到終點(diǎn)畫(huà)出完整圖形的啟發(fā)。筆者通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)剪力、彎矩圖的繪制中也有這樣“一筆畫(huà)”的規(guī)律可循。要一筆繪制出一個(gè)完整的剪力或彎矩圖，就要分析清楚各段圖線的線型，各段圖線的連接及圖線的起、終點(diǎn)等 問(wèn)題。

一、“一筆畫(huà)”理論分析

（一）剪力、彎矩圖的線型

由我們已知的知識(shí)可知，剪力、彎矩圖圖線是分段繪制出的，在各段中圖線有平行于軸線的直線、斜直線、二次拋物線等基本線型。據(jù)微分關(guān)系及微分關(guān)系的幾何意義可知，剪力、彎矩圖線型與荷載分布形式有緊密聯(lián)系：當(dāng)梁段上無(wú)荷載分布時(shí)［q(x)=0］，剪力圖圖線是一條平行于桿軸線的直線、彎矩圖圖線是一條斜直線；當(dāng)梁段上有均勻分布的荷載時(shí)［q(x)=常數(shù)］，剪力圖圖線是一條斜直線、彎矩圖圖線是一條二次拋物線（如圖1）。這樣內(nèi)力圖在各梁段上的線型就確定清楚了。

圖1

（二）剪力、彎矩圖各段圖線的連接

當(dāng)各段的圖線得到了確定后，接下來(lái)的問(wèn)題就是如何“一筆”連接各段線條。這就要搞清楚圖線分段的依據(jù)，及剪力、彎矩圖圖線中的連續(xù)與突變。

首先，圖線的分段是以梁段上荷載作用的突然變化為分段依據(jù)的。而圖線是連續(xù)還是突變，就要視荷載情況來(lái)分析了：當(dāng)梁上荷載由無(wú)荷載變?yōu)橛芯己奢d時(shí)，剪力、彎矩圖圖線將改變線條的形狀或方向，但線條是連續(xù)的，不發(fā)生突變；當(dāng)有集中荷載F作用時(shí)，剪力圖發(fā)生突變，彎矩圖連續(xù)；當(dāng)有集中力偶m作用時(shí)，剪力圖不受影響，彎矩圖發(fā)生突變，如圖2所示。

圖2

突變時(shí)：截取突變截面處的微段分析，如圖3所示。

圖3

得： FQ右=FQ左－F， M右=M左－m

可見(jiàn)突變值的大小為集中力F或集中力偶m的大小。反應(yīng)在圖形上，剪力圖和彎矩圖在此處的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變化F或m，此時(shí)連接前后兩段圖線的線段垂直于軸線，恰好為圖線的縱標(biāo)線，而圖形在縱標(biāo)線的連接下被完整的一筆連起來(lái)。

據(jù)內(nèi)力計(jì)算可知，繪剪力圖時(shí)，如果繪制順序是從左向右，那么剪力圖突變的方向正好與荷載的作用方向相同，即遇向下的集中荷載，剪力圖向下突變，反之向上；繪彎矩圖時(shí)，彎矩圖突變的方向也與荷載的作用方向相關(guān)：遇逆時(shí)針外力偶作用時(shí)，彎矩圖向上突變（在土建工程類材料力學(xué)中，彎矩圖繪制時(shí)，基線上方為負(fù)），反之向下。

因此剪力、彎矩圖在梁段上的圖線可據(jù)荷載作用情況，逐段連續(xù)繪制。當(dāng)無(wú)突變時(shí)，連續(xù)繪制；當(dāng)有突變時(shí)，以縱標(biāo)線連接連續(xù)繪制。(縱標(biāo)線繪制的方向和大小由外力來(lái)定)。

（三）圖線的起、終點(diǎn)

前面分析了圖線繪制過(guò)程中可一筆繪制，那么圖線從哪起筆，又從哪收筆呢？對(duì)梁的整個(gè)圖線來(lái)說(shuō)，其桿件端點(diǎn)內(nèi)力對(duì)應(yīng)的縱標(biāo)應(yīng)為圖線的起點(diǎn)，但桿件端點(diǎn)內(nèi)力的縱標(biāo)值也與外力有關(guān)。其縱標(biāo)線的絕對(duì)值的大小，在剪力圖中恰好為桿端豎直方向集中力的大??；在彎矩圖中恰好為外力偶矩的大小。此處的縱標(biāo)線可視為桿端外力外側(cè)的截面內(nèi)力為零，遇有外力作用后產(chǎn)生突變（如圖4）。此縱標(biāo)的性質(zhì)與上述“剪力、彎矩圖圖線中的連續(xù)與突變”性質(zhì)一樣。那么，桿端外力外側(cè)內(nèi)力為零，即縱標(biāo)起點(diǎn)為零。同理終點(diǎn)處縱標(biāo)也為零。所以在“一筆畫(huà)”繪制內(nèi)力圖時(shí)，“一筆畫(huà)”的起點(diǎn)為基線的起點(diǎn)，同時(shí)終點(diǎn)也恰為基線的終點(diǎn)。

圖4

二、剪力圖“一筆畫(huà)”方法

1.計(jì)算支反力。

2.確定基線。

3.繪圖線。一般為從基線左端起筆開(kāi)始向右連續(xù)繪圖(稱“從左向右繪圖法”)。

繪剪力圖圖線方法：從基線左端起筆，向右連續(xù)繪制首尾相接的圖線段，各種線段為：

（1）遇集中荷載（包括支反力），則沿集中荷載指向，向上或向下繪垂直于基線線段，線段長(zhǎng)為集中荷載大??；

（2）遇無(wú)荷載梁段，繪平行于基線的圖線；

（3）遇向上（或向下）均布荷載，繪斜向上（或斜向下）直線，斜直線的起點(diǎn)與終點(diǎn)差值為對(duì)應(yīng)梁段上均布荷載的合力值（q·a）。

這樣，一條圖線從基線左端起連續(xù)繪至右端時(shí)，圖線應(yīng)回到基線，完成“一筆畫(huà)”。再標(biāo)出各控制點(diǎn)處縱標(biāo)值及縱標(biāo)線、符號(hào)、圖名、單位等，至此剪力圖繪制完畢。則整條圖線為從基線左端起筆連續(xù)繪制線段至基線右端止的圖線。概括為一句話：“剪力圖線走向與荷載方向一致，連續(xù)繪制”。(說(shuō)明：如果從右向左繪制時(shí)，圖線走向與荷載方向相反)。

舉例說(shuō)明：繪如圖5所示梁的內(nèi)力圖（支反力的計(jì)算過(guò)程略）。例題剪力圖（FQ圖）說(shuō)明：如 圖5（b）。

圖5

如圖所示，F(xiàn)Q圖圖線共有八段圖線一筆連接而成：

①-② 段：遇豎直向上集中荷載RA=70kN ——圖線豎直向上畫(huà)70，縱標(biāo)由0至70；

②-③ 段：無(wú)荷載梁段——水平直線，縱標(biāo)70；

③-④ 段：遇豎直向下集中荷載120kN——圖線豎直向下畫(huà)120，縱標(biāo)由70至70－120=－50；

④-⑤ 段：無(wú)荷載梁段——水平直線，縱標(biāo)－50；

⑤-⑥ 段：遇向上均布荷載，合力大小為30×4=120kN——圖線斜向上畫(huà)直線，起點(diǎn)與終點(diǎn)差值為120，縱標(biāo)由－50至－50+120=70；

⑥-⑦ 段：遇豎直向下集中荷載60kN——圖線豎直向下畫(huà)60，縱標(biāo)由70至70－60=10；

⑦-⑧段：遇向下均布荷載，合力大小為20×2=40kN——圖線斜向下畫(huà)直線，起點(diǎn)與終點(diǎn)差值為40，縱標(biāo)由10至10－40=－30；

⑧-⑨ 段：遇豎直向上集中荷載RB=30kN ——圖線豎直向上畫(huà)30，縱標(biāo)由 －30至－30+30=0，且回到了基線。

三、彎矩圖“一筆畫(huà)”方法

比起剪力圖的繪制，彎矩圖計(jì)算較復(fù)雜，數(shù)據(jù)不易得出，所以不宜直接采用“一筆畫(huà)”來(lái)繪彎矩圖。但借助剪力圖以面積法來(lái)計(jì)算，同樣也可方便的“一筆”繪出彎矩圖。方法如下：

1.確定基線。

2.繪圖線。同繪剪力圖一樣，畫(huà)彎矩圖時(shí)一般也是從左向右連續(xù)繪制。

注意：因是借助剪力圖來(lái)繪制，而剪力圖中反映不出集中力偶的作用，所以繪彎矩圖時(shí)應(yīng)結(jié)合荷載圖中的集中力偶作用，不能丟掉。

繪彎矩圖（M圖）圖線的方法：從基線左端起筆向右連續(xù)繪制首尾相接圖線段，各種線段為：

①遇力偶作用，據(jù)該力偶矩使向下段梁產(chǎn)生正彎矩（或負(fù)彎矩），向上（或向下）繪垂直于基線線段，線段長(zhǎng)為該力偶矩大?。换驌?jù)遇逆時(shí)針外力偶作用時(shí)，彎矩圖向上突變，反之向下來(lái)判斷圖線繪制方向。

②遇剪力圖為等于0直線段，則繪平行于基線 線段；

③遇剪力圖為正水平線段（與基線構(gòu)成一矩形），則繪斜向下直線；如剪力圖為負(fù)水平線段，則繪斜向上直線；繪出的斜直線起點(diǎn)與終點(diǎn)差值為此段剪力圖與基線構(gòu)成的矩形面積大?。?/p>

④遇剪力圖為斜直線時(shí)，對(duì)應(yīng)彎矩圖為二次曲線，二次曲線的凸向與斜直線斜向一致，即斜向上直線對(duì)應(yīng)向上凸二次曲線，反之對(duì)應(yīng)向下凸二次曲線。此二次曲線兩端差值△M計(jì)算如下：

設(shè)剪力圖斜直線的起點(diǎn)、終點(diǎn)剪力值為a、b，斜直線對(duì)應(yīng)基線段長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則對(duì)應(yīng)二次曲線起點(diǎn)、終點(diǎn)差值△M=（b+a）L/2（注意a、b取代數(shù)量）。如果計(jì)算△M＞0，則二次曲線終點(diǎn)在起點(diǎn)下側(cè)，反之如△M＜0，則終點(diǎn)在起點(diǎn)上側(cè)。另，在二次曲線段內(nèi)如有極值，則需另外計(jì)算。

如上述方法，一條圖線從基線左端起連續(xù)繪制至右端時(shí)，應(yīng)回到基線，然后標(biāo)出各控制點(diǎn)縱標(biāo)值、縱標(biāo)線、符號(hào)、圖名、單位等，至此剪力圖繪制完畢。

概括一句話來(lái)表達(dá)：“彎矩圖圖線走向與剪力圖面積大小及符號(hào)一致，連續(xù)繪制”。

(說(shuō)明：如果圖線從右向左繪制時(shí)，圖線走向與剪力圖面積符號(hào)相反。)

例題M圖說(shuō)明：如圖4（c）。

如圖所示，彎矩圖圖線共有五段圖線一筆連接而成：

①-② 段：正水平剪力圖線段，面積70×1=70——圖線從基線起，斜向下畫(huà)直線，縱標(biāo)由0至70－0=70。起、終點(diǎn)差值70；

②-③ 段：負(fù)水平剪力圖線段，面積50×1=50——圖線斜向上畫(huà)直線，縱標(biāo)由70至70－50=20，起、終點(diǎn)差值20－70=－50；

③-④ 段：集中力偶（使下梁段產(chǎn)生負(fù)彎矩）40kN·.m ——圖線豎直向上20－40=－20，縱標(biāo)由20至20－40=－20，起、終點(diǎn)差值－20－20=－40；

④-⑤ 段：斜向上剪力圖線段面積 △M=〔70-（-50）〕×4／2=40——圖線為二次曲線，終點(diǎn)在起點(diǎn)下側(cè)40，起終點(diǎn)差值20－(－20)=40；

⑤-⑥ 段：斜向下剪力圖線段面積 △M=（－30+10）×2／2=－20——圖線為二次曲線，終點(diǎn)在起點(diǎn)上側(cè)20的，縱標(biāo)由20至20－20=0，起終點(diǎn)差值0－20=20，回到基線。

上述繪制剪力圖、彎矩圖的方法，可以認(rèn)為是面積法計(jì)算截面內(nèi)力與簡(jiǎn)捷法繪內(nèi)力圖的一種有機(jī)結(jié)合，是將計(jì)算過(guò)程融合到圖形的繪制當(dāng)中。特別是這種方法有一顯著的特點(diǎn)，即：由基線起，到基線止，這樣，在繪圖完畢后即可檢驗(yàn)出圖形繪制是否正確，這有助于我們準(zhǔn)確地繪制出內(nèi)力圖。通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，學(xué)生們普遍感到這種方法易學(xué)易會(huì)，簡(jiǎn)便快捷，是一種較實(shí)用的解題方法。