由曌婷,羅玉輝,2,楊鳳藻

(1.昆明理工大學(xué) 理學(xué)院，云南 昆明 650500;2.昭通學(xué)院 物理與信息工程學(xué)院，云南 昭通 657000)

近年來，遠(yuǎn)離平衡態(tài)的異常輸運現(xiàn)象[1-2]激起了很多學(xué)者的興趣，得到了廣泛的關(guān)注.該現(xiàn)象中的棘輪效應(yīng)[3-4]和負(fù)遷移現(xiàn)象[5-7]被廣泛研究.棘輪效應(yīng)，其特征是在沒有外部擾動的情況下，平均的有向運動已經(jīng)是非零的，并且在整個正、負(fù)的靜力范圍內(nèi)不改變其方向.在過去的幾十年里，這一輸運現(xiàn)象已經(jīng)被研究在各種系統(tǒng)中[8-10].此外，負(fù)遷移現(xiàn)象是一種看似矛盾的運動，其粒子的運動方向與一個小的外力方向相反，這與熱力學(xué)第二定律相違背，熱力學(xué)第二定律[7,11]指出：當(dāng)系統(tǒng)處在熱力學(xué)平衡時，負(fù)遷移發(fā)生是不可能發(fā)生的.然而，當(dāng)一個時間周期力驅(qū)動一個系統(tǒng)，使得系統(tǒng)遠(yuǎn)離平衡，負(fù)遷移現(xiàn)象的發(fā)生成為可能.這一現(xiàn)象已經(jīng)在實驗驗證[12]和理論預(yù)測[13-14]被研究.

近二十年來，棘輪效應(yīng)和負(fù)遷移等異?，F(xiàn)象被廣泛研究[7,15-17].可以注意到，在以往的大多研究中把摩擦系數(shù)假設(shè)為是一個常數(shù).然而，眾所周知，在真實系統(tǒng)中，摩擦研究起來是非常復(fù)雜的，理論[18-20]和實驗[21]的研究都證明了摩擦系數(shù)不是一個常數(shù)，而是隨某些參數(shù)而變化的，例如它會隨著位置、速度[22]、溫度[23]、時間[24]而發(fā)生變化.近來，大量的研究[25-26]證明了含時的摩擦在布朗粒子的運動中起著極其重要的作用.那么，含時摩擦系數(shù)是如何影響慣性布朗粒子的輸運呢?推測,它將顯著地影響粒子的輸運行為(比如，棘輪效應(yīng),負(fù)遷移現(xiàn)象和異常擴散).此外，擴散系數(shù)在一定程度上受到初始擴散系數(shù)的影響，從而對系統(tǒng)產(chǎn)生影響.因此，在上述討論的推動下，慣性布朗粒子在含時摩擦系數(shù)和初始擴散系數(shù)的對稱周期勢中的粒子輸運問題仍然是一個懸而未決的問題，也是本研究的主題.

1 模型

考慮一個慣性布朗粒子受到時間周期力和外部偏置力的驅(qū)動在空間周期對稱系統(tǒng)中的運動.其中振幅為a，角頻率為ω的時間周期力使得系統(tǒng)處于非平衡狀態(tài).因此，粒子的欠阻尼動力學(xué)是由阻尼系數(shù)γ(t)和熱漲落導(dǎo)致的含時的擴散系數(shù)d(t)引起的含時擴散的朗之萬方程建模的，即

(1)

其中撇表示x的導(dǎo)數(shù).η(t)是零均值的一個高斯白噪聲<η(t)>=0，不同時刻之間存在δ關(guān)聯(lián)，即<η(t)η(t′)>=δ(t-t′).V(x)周期為L的對稱周期勢V(x)=V(x+L),勢壘高度ΔV，顯正弦形式為:

(2)

γ(t)代表含時的阻尼系數(shù)[26]，即

(3)

其中γ0是初始時刻的阻尼系數(shù)γ0=γ(0)，此外，它包含了含時的溫度T(t)，表示形式為

(4)

這里的擴散的冪律指數(shù)α≥0，T0是初始溫度T0=T(0)，τ0表示為溫度衰減的時間特征.τ0的值越大，溫度下降得越慢.因此，在這里我們考慮由熱漲落導(dǎo)致的含時的擴散系數(shù)[26]，即

(5)

其中d0是初始擴散系數(shù)d0=d(0).因此，在引入含時的阻尼系數(shù)和擴散系數(shù)，方程式(1)可重寫為：

(6)

在本文中，固定參數(shù)振幅a=4.2，角頻率ω=4.9，周期L=1，初始摩擦系數(shù)γ0=1，勢壘高度ΔV=1.

一般地，朗之萬方程(6)對應(yīng)的?？?普朗克方程是無解的.因此，為了研究相關(guān)的異常輸運的現(xiàn)象，必須使用數(shù)值模擬方法.文中采用步長為Δt=10-2的精確的歐拉算法.速度和位移的初始條件是滿足在區(qū)間[-1,1]上的均勻分布的，所有的平均值是通過500條不同的軌道得到的，每條隨機軌道演化迭代次數(shù)為107次.此外，通過平均速度、平均軌道、均方位移以及含時的擴散系數(shù)來研究異常輸運的特性.

2 數(shù)值模擬結(jié)果

在圖1中，描述了對于不同的初始擴散系數(shù)D0，v作為偏置力f的函數(shù)，當(dāng)f=0時，隨著初始擴散系數(shù)D0的增大，平均速度?v?也在增大，也就是說，隨著初始擴散系數(shù)D0的增大，棘輪效應(yīng)在增強.此外，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)f≠0時，隨著初始擴散系數(shù)D0的增大，平均速度v的值也是在增大的.對于圖2，當(dāng)無偏置力(f=0)，初始擴散系數(shù)D0在增大時，平均軌道隨著時間t的增大而增大，換句話說，平均速度隨著初始擴散系數(shù)D0的增大而增大.這與圖1結(jié)果相一致.總之，初始擴散系數(shù)D0增強了棘輪效應(yīng).

圖3中，描述了對于不同的溫度衰減的時間特征τ0，v作為偏置力f的函數(shù)，當(dāng)f=0時，隨著溫度衰減的時間特征τ0的增大，平均速度v在減小，也就是說，隨著溫度衰減的時間特征τ0的增大，棘輪效應(yīng)在減弱.此外，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)f≠0時，隨著溫度衰減的時間特征τ0的增大，平均速度v的值反而是在減小的.對于圖4，當(dāng)無偏置力(f=0)，溫度衰減的時間特征τ0在增大時，平均軌道隨著時間t的增大而減小，換句話說，平均速度隨著溫度衰減的時間特征τ0的增大而減小.這與圖3結(jié)果相一致.簡言之，溫度衰減的時間特征τ0減弱了棘輪效應(yīng).

圖5中，描述了對于不同的擴散的冪律指數(shù)α，v作為f的函數(shù)，當(dāng)f=0時，擴散的冪律指數(shù)α較小(取α=0.5)時，平均速度為-0.02，顯然棘輪效應(yīng)出現(xiàn)，但是當(dāng)擴散的冪律指數(shù)較大(取α=1.0)時，隨著偏置力f的變化，擴散的冪律指數(shù)在0附近波動，即平均速度幾乎為零，換句話說，棘輪效應(yīng)消失，然而當(dāng)擴散的冪律指數(shù)更大(取α=1.5)時，從圖5中的小圖很顯然發(fā)現(xiàn)有負(fù)遷移現(xiàn)象發(fā)生.圖6刻畫了當(dāng)無偏置力(f=0)時，平均軌道隨時間的變化的曲線，擴散的冪律指數(shù)α較小(取α=0.5)時，隨著時間t的增大，平均軌道是負(fù)的，即平均速度是負(fù)值，但是隨著擴散的冪律指數(shù)α的增大，平均軌道趨近于零，即平均速度為零.這與圖5相吻合.

τ0=10，γ0=1，α=1.5 τ0=10，γ0=1，f=0，α=1.5 圖1 平均速度隨偏置力f變化的曲線 圖2 平均軌道隨時間t變化的曲線

D0=10，γ0=1，α=1.5 D0=10，γ0=1，f=0，α=1.5圖3 平均速度隨偏置力f變化的曲線 圖4 平均軌道隨時間t變化的曲線

τ0=10，γ0=1，D0=10 τ0=10，γ0=1，D0=10，f=0圖5 平均速度隨偏置力f變化的曲線 圖6 平均軌道隨時間t變化的曲線

圖7中，描述了均方位移和依賴時間的擴散系數(shù)隨時間變化的曲線圖.圖7(a)～ (c),通過均方位移 ?x2(t)?∝tβ來研究粒子的擴散，對所得到的結(jié)果進(jìn)行線性擬合， 0<β<1是亞擴散，β=1是正常擴散， 1<β<2是超擴散，β=2是彈道擴散，β>2是巨擴散.為了更好地理解粒子的擴散性質(zhì)，我們也呈現(xiàn)了依賴時間的擴散系數(shù)如圖7(d)～(f).從圖7(d)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)D0=0.1時，D(t)在短時間內(nèi)隨著時間的變化先減小，然后恒定不變，最后增大，即粒子先經(jīng)歷亞擴散，然后正常擴散，最終超擴散；當(dāng)初始擴散系數(shù)較大時(如D0=1，10)時，D(t)在短時間內(nèi)隨著時間的變化一直增大，即粒子經(jīng)歷超擴散.此外，隨著初始擴散系數(shù)D0增大，擴散系數(shù)也在增大.圖7(e)，當(dāng)τ0=10時，D(t)在短時間內(nèi)隨著時間的變化一直增大，即粒子經(jīng)歷超擴散；當(dāng)溫度衰減的時間特征τ0較大(如τ0=100，1 000)時，D(t)在短時間內(nèi)隨著時間的變化先增大，然后恒定不變，最后增大，即粒子先經(jīng)歷超擴散，然后正常擴散，最終超擴散.此外，隨著溫度衰減的時間特征τ0增大，擴散系數(shù)在減小.從圖7(f)，我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α=0.5時，D(t)在短時間內(nèi)隨著時間的變化先增大，后減小，最后增大，即粒子先經(jīng)歷超擴散，然后亞擴散，最終巨擴散；當(dāng)α=1.0時，D(t)在短時間內(nèi)隨著時間的變化先增大，然后恒定不變，即粒子先經(jīng)歷超擴散，然后正常擴散；當(dāng)α=1.5時，D(t)在短時間內(nèi)隨著時間的變化一直在增大，即粒子經(jīng)歷超擴散.

圖7 均方位移(上)和依賴時間的擴散系數(shù)(下)隨時間t變化的曲線.

3 結(jié)語

借助于數(shù)值模擬研究了在空間周期對稱系統(tǒng)中慣性布朗粒子在外部偏置力和時間周期力的驅(qū)動下的輸運問題，進(jìn)而討論了含時的摩擦和擴散系數(shù)對粒子異常輸運的影響.研究結(jié)果表明：隨著初始擴散系數(shù)D0的增大，擴散系數(shù)在增大，棘輪效應(yīng)在增強.然而隨著溫度衰減的時間特征τ0的增大，擴散系數(shù)在減小，棘輪效應(yīng)在減弱.當(dāng)擴散的冪律指數(shù)α較小時，有棘輪效應(yīng)現(xiàn)象出現(xiàn)，但是當(dāng)擴散的冪律指數(shù)較大時，棘輪效應(yīng)消失，然而當(dāng)擴散的冪律指數(shù)更大時，負(fù)遷移現(xiàn)象出現(xiàn).此外，不同的初始擴散系數(shù)、溫度衰減的時間特征、擴散的冪律指數(shù)對應(yīng)于不同的擴散.我們的發(fā)現(xiàn)可能應(yīng)用于粒子的分類[14，27]、癌細(xì)胞的分離[28-29]、分子馬達(dá)的控制[30]以及其它微觀現(xiàn)象.