王世明，李夢真

(天津科技大學(xué)電子信息與自動化學(xué)院，天津 300222)

0 引言

加速度計在慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中處于核心地位，用于精確給出運載體相應(yīng)的位置信息。因此，提高加速度計的標定精度是提高慣導(dǎo)系統(tǒng)導(dǎo)航精度的必要條件[1]。目前，針對慣導(dǎo)系統(tǒng)中加速度計的標定方法主要為分立法且大部分在重力場下進行，通過在拆卸安裝儀表的過程中引入安裝誤差角來影響標定精度；重力場下可提供加速度計的最大輸入比力為1g，不足以有效激勵加速度計的高階項誤差參數(shù)，不滿足高加速度飛行的導(dǎo)航條件[2-4]。因此，大激勵且整體標定加速度計是慣性儀表標定研究的主流。

整體法標定旨在標定加速度計組合全部誤差模型系數(shù)的同時，降低測試設(shè)備誤差對系數(shù)標定精度的影響。荷蘭學(xué)者J.C.L?tters等[5]提出了一種利用模觀測標定方法很好地解決過度依賴轉(zhuǎn)臺的問題，大大降低了轉(zhuǎn)臺誤差對誤差模型系數(shù)標定結(jié)果的影響；董春梅等[6]在此基礎(chǔ)上利用模觀測法在重力場下標定了單一陀螺儀和加速度計的零偏、一階標度因數(shù)，重點分離了安裝誤差在標定過程中的影響；戴邵武等[7]將導(dǎo)航姿態(tài)解算引入微慣性測量單元(Micro Inertial Measurement Unit，MIMU)的標定中，提出了在MIMU轉(zhuǎn)動過程中采用四元數(shù)進行姿態(tài)解算，靜止時列寫MIMU標定模觀測非線性方程的方法，實現(xiàn)了待標定參數(shù)的完全激勵，并將基于Logistic函數(shù)的改進粒子群優(yōu)化(Particle Sw-arm Optimization，PSO)算法應(yīng)用于MIMU的標定；王世明等[8]引入了一種無轉(zhuǎn)臺標定中高精度慣導(dǎo)系統(tǒng)的方法，依據(jù)正交軸上加速度計輸出的矢量和等于重力的原理，標定出加速度計輸出模型中的相關(guān)參數(shù)；張紅良等[9]推導(dǎo)了基于高精度轉(zhuǎn)臺的慣性測量單元(Inertial Measurement Unit，IMU)標定方法的誤差解析式，提出了一種抑制轉(zhuǎn)臺誤差的標定編排改進方案，建立了IMU標定參數(shù)模型，并研究了靜態(tài)多位置IMU模觀測標定方法。上述模觀測法仍在重力靜力場或轉(zhuǎn)臺低轉(zhuǎn)速模式下進行研究，誤差模型中不包含高次項系數(shù)，無法適應(yīng)慣導(dǎo)系統(tǒng)高加速度飛行的應(yīng)用環(huán)境。

精密離心機能夠持續(xù)提供大于1g的高精確度的加速度，通常用于辨識加速度計的高階系數(shù)模型[10-11]，為得到帶有高階項的加速度計系數(shù)模型奠定了良好的基礎(chǔ)。但是，標定方法的差異對標定精度產(chǎn)生了一定的影響，實際標定過程中常需要設(shè)計相應(yīng)的測試方法[12-14]對其產(chǎn)生的誤差進行補償、規(guī)避、抑制甚至消除。

基于模觀測法的標定思想，以高速旋轉(zhuǎn)的精密離心機作為標定設(shè)備，研究加速度計組合的整體標定方法，重點研究模觀測法對加速度計二次項系數(shù)的標定原理，借助Tylor級數(shù)展開和最小二乘法[15-16]等數(shù)學(xué)方法，給出誤差模型系數(shù)標定結(jié)果的數(shù)學(xué)表達，同時考慮安裝誤差角和桿臂誤差對標定結(jié)果精度的影響，為提高慣性組合標定精度打下基礎(chǔ)。

1 標定設(shè)備

為準確標定各項系數(shù)，選用帶有反轉(zhuǎn)平臺的高精度離心機作為標定設(shè)備，建立此系統(tǒng)的坐標系及結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。此系統(tǒng)的地理(主軸)坐標系為OnXnYnZn，主軸軸套坐標系為O0X0Y0Z0，水平軸坐標系為O2X2Y2Z2，水平軸軸套坐標系為O2tX2tY2tZ2t。

圖1 加速度計組合結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of inertial assembly structure for centrifuge calibration

加速度計組合內(nèi)部加速度計各軸的取向如圖2所示。

圖2 加速度計組合內(nèi)部示意圖 Fig.2 Internal schematic diagram of accelerometer combination

2 標定設(shè)備離心機模觀測法標定原理

IMU在重力場靜態(tài)條件下的輸入比力滿足[7]

(1)

應(yīng)用模觀測法，對式(1)兩邊分別取模，得

(2)

類似地,在離心機上進行加速度計標定時輸入比力滿足

(3)

應(yīng)用模觀測法，對式(3)兩邊分別取模，得

(4)

由式(4)可知，在離心機標定加速度計組合時，3個方向加速度計輸入比力的合成等于向心加速度和重力加速度的合成，可用式(5)進一步表示

(5)

其中，A=ω2R，ω為離心機旋轉(zhuǎn)角速度，R為半徑標稱值。

由于加速度計的輸出值與輸入比力正相關(guān)。因此，只要獲得加速度計輸出值，就可以通過取模的方式構(gòu)建辨識加速度計誤差模型系數(shù)的條件。

3 加速度計的模型

考慮一階及二階誤差模型系數(shù)，則加速度計的誤差模型如式(6)所示

Na=Ka[fb+Da(fb)2]+ba+na

(6)

其中，Ka=SaΦa，代入即可建立加速度計的誤差模型分解形式

SaΦa[fb+Da(fb)2]=(Na-ba-na)

(7)

Naz]T為加速度計輸出值；ba=[baxbaybaz]T為零偏；na=[naxnaynaz]T為測量誤差。

4 模觀測法標定加速度計組合方法

對式(7)進行化簡，并忽略高階無窮小項，可得

(8)

式中

(9)

式(8)為3個加速度計輸入比力的二元一次方程，利用求根公式并根據(jù)輸入比力的值為正，舍去數(shù)值為負的一項，計算輸入比力的表達式為

(10)

從式(10)可知，3個加速度計的輸入比力與(1-4DaΔ)0.5相關(guān)，該項表達式在參數(shù)辨識過程中不易于參數(shù)分離，因此考慮將式(10)用Tylor級數(shù)展開式展開。通過數(shù)值仿真可知，Tylor級數(shù)展開至第二項后，輸入比力的誤差與真值偏差小于10-4量級，滿足加速度計輸出精度要求，故以展開至二次項系數(shù)為輸入比力關(guān)系表達式，可得

(11)

若以g為計量單位，將式(11)代入式(5)中，忽略高階無窮小項，同時忽略安裝誤差角的影響，可得

(12)

(13)

式中

(14)

根據(jù)式(13)可知，若標定過程中給予加速度計組合不同的測試位置，則可以獲得若干個加速度計的輸出，通常測試位置數(shù)N≥4n+2，n為擬辨識系數(shù)個數(shù)。式(13)中,C為待辨識參數(shù)，共13項，故測試位置數(shù)N至少為54個。則可得出N個方程，可表示為

(15)

式中

進而利用最小二乘法，可得13項待辨識參數(shù)的計算公式為

(16)

通過觀察式(15)系數(shù)之間的關(guān)系,可知

(17)

(18)

則可解得

(19)

進而可求得3個加速度計的標度因數(shù)為

(20)

3個加速度計的二次項系數(shù)為

(21)

3個加速度計的零偏為

(22)

至此，誤差模型(5)中的待標定系數(shù)的表達式如式(20)～式(22)所示。實際標定過程中，通過設(shè)定多位置，采集3個加速度計在不同位置的輸出，按照式(16)～式(22)的計算過程即可完成對加速度計組合的整體標定，特別實現(xiàn)了模觀測法對加速度計二次項系數(shù)的標定。

5 實驗仿真與誤差分析

設(shè)置仿真條件：假設(shè)如圖1所示離心機標稱半徑為1m，g為9.8 m/s2，實驗當(dāng)?shù)鼐暥葹楸本?9°。

擬選用的加速度計標度因數(shù)分別為

Sax=1.29，Say=1.21 ，Saz=1.26

加速度計零偏分別為

bax=0.213g，bay=0.256g，baz=0.516g

加速度計二次項系數(shù)分別為

Dax=0.57 ×10-4g/g2，Day=0.31×10-4g/g2，Daz=0.45×10-4g/g2

加速度計測量噪聲為10-5V 。采集測試位置數(shù)N為60個，此時N>54，故滿足要求。加速度計的三軸轉(zhuǎn)向具體示意圖如圖3所示，仿真過程中各加速度計具體輸出如表1所示。

根據(jù)式(8)～式(22)，在不考慮安裝誤差角和桿臂誤差的情況下，可得出3個加速度計零偏、標度因數(shù)以及二次項系數(shù)的具體數(shù)值。仿真標定結(jié)果如表2所示。

圖3 20位置下3個加速度計的輸入軸指向示意圖Fig.3 Schematic diagram of the input axis of the three accelerometers at 20 positions

表1 20位置下3個加速度計不同離心機轉(zhuǎn)速下的實際輸出

續(xù)表

表2 仿真標定結(jié)果(不考慮安裝誤差與桿臂誤差)

1)考慮安裝誤差角

將式(9)代入式(10)～式(12)中，可得帶誤差項且校正過的輸入比力表達式，如式(23)所示

(23)

其中

由此可知，安裝誤差角主要影響式(14)中的C11、C12和C13項，而應(yīng)用式(17)～式(22)計算各誤差模型系數(shù)時對各系數(shù)標定結(jié)果均有影響。設(shè)3個加速度計安裝誤差角的變化范圍從2×10-4rad～10×10-4rad，計算安裝誤差角對標度因數(shù)、二次項系數(shù)以及零偏的影響，如圖4所示。

由圖4中可知，隨著安裝誤差角的增大，其對所有誤差模型系數(shù)標定精度的影響也隨之增大。其中，誤差角的存在對3個加速度計的標度因數(shù)影響最大，對零偏的影響次之，對二次項系數(shù)的影響最小。從影響大小的角度分析，安裝誤差角的影響遠小于誤差模型系數(shù)的精度要求。因此，實際標定過程中，可以忽略安裝誤差角對誤差模型系數(shù)標定精度的影響。

2)考慮桿臂誤差

圖4 安裝誤差角對于二次項系數(shù)、標度因數(shù)和零偏的影響Fig.4 The influence of installation misalignment on quadratic term coefficient, scale factor and bias

表3 桿臂誤差對誤差模型系數(shù)的影響

由表3可知，在標定誤差系數(shù)時，桿臂誤差對3個加速度計的零偏系數(shù)、標度因數(shù)和二次項系數(shù)都會產(chǎn)生一定的影響。其中，對加速度計A的誤差模型系數(shù)影響相對較大。從影響大小的角度分析，桿臂誤差的影響遠小于誤差模型系數(shù)的精度要求。

綜上，安裝誤差角與桿臂誤差對加速度計誤差模型系數(shù)標定的影響很小，實際標定過程中可以忽略。

6 結(jié)論

采用模觀測法的標定思想，以精密離心機作為標定設(shè)備，實現(xiàn)了對加速度計組合的整體標定，重點實現(xiàn)了對加速度計二次項系數(shù)的標定，通過仿真驗證了該方法的有效性。其創(chuàng)新性在于：

1)應(yīng)用Tylor級數(shù)對加速度模型的解進行多項式展開，并利用最小二乘法實現(xiàn)了模觀測對非線性系數(shù)的標定，給出了加速度計的二次項系數(shù)、標度因數(shù)以及零偏的計算公式。

2)設(shè)計了20位置法標定加速度計組合誤差模型系數(shù)，通過仿真驗證了該方法的有效性。

3)分析了安裝誤差角和桿臂誤差對誤差模型系數(shù)的影響，仿真驗證了安裝誤差角和桿臂誤差對誤差模型系數(shù)標定的影響很小，實際標定過程中可以忽略。