劉永澤，井海明

(1.石家莊鐵道大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河北 石家莊 050043；2.河北省電磁環(huán)境效應(yīng)與信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 石家莊 050043)

頻控陣（FDA）雷達(dá)概念是2006年由Antonik等[1]首次提出的，和傳統(tǒng)的相控陣?yán)走_(dá)相比，其陣列因子的數(shù)學(xué)模型中包含了距離、角度和時(shí)間3個(gè)變量，從而能夠形成具有距離依賴特性的時(shí)變發(fā)射波束。王文欽等[2]是國(guó)內(nèi)最早進(jìn)行相關(guān)研究的學(xué)者之一。

發(fā)射波束合成是頻控陣?yán)走_(dá)的主要研究熱點(diǎn)之一。當(dāng)FDA雷達(dá)發(fā)射信號(hào)采用線性頻率增量時(shí)，其輻射“S”狀時(shí)變波束，該波束可以完成空間區(qū)域掃描，但是，由于其在距離角度維的纏繞和時(shí)變特性導(dǎo)致其波束指向難以控制。因此，部分學(xué)者對(duì)點(diǎn)狀波束形成和獨(dú)立于時(shí)間的靜態(tài)波束形成問(wèn)題進(jìn)行了深入研究。Wang[3]提出了一種FDA離散橢球序列波束方向圖設(shè)計(jì)策略，通過(guò)設(shè)計(jì)發(fā)射波束空間權(quán)重向量，使得期望2維空間的輻射能量與陣列雷達(dá)總的輻射能量的比值最大化。Shao等[4]提出了一種凸優(yōu)化多載頻對(duì)數(shù)頻率增量方法合成了單、多點(diǎn)狀發(fā)射波束。Xu等[5]采用二階錐規(guī)劃實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)狀波束的合成。Xiong等[6]采用遺傳算法優(yōu)化頻率增量完成了點(diǎn)狀波束合成。Chen等[7]提出了一種拉格朗日規(guī)劃神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法用于發(fā)射波束的聚焦。Wang[8]、王博[9]等進(jìn)一步研究了基于對(duì)數(shù)頻率增量線性重疊子陣與多載頻重疊面陣的點(diǎn)狀波束合成，分析了基于SD-LCMV算法的log-FDA、cubic-FDA、sin-FDA和倒數(shù)FDA結(jié)構(gòu)的波束距離-角度解耦性能。雖然文獻(xiàn)[3-9]中可以成功合成點(diǎn)狀波束，但其在仿真分析中都是采用固定時(shí)間項(xiàng)，即忽略波束的時(shí)變特性，沒(méi)有考慮波的傳播特性。

為了解決上述問(wèn)題，Xu等[10]提出了一種脈沖FDA發(fā)射波束合成方法，通過(guò)合理設(shè)置脈沖持續(xù)時(shí)間和頻率增量實(shí)現(xiàn)了準(zhǔn)靜態(tài)波束合成。Khan等[11]提出了時(shí)間調(diào)制頻率增量技術(shù)，其在指定位置處合成的發(fā)射波束僅在脈沖持續(xù)時(shí)間內(nèi)是不變的，在其他位置處的波束仍然是時(shí)變的。Yao等[12]采用基于時(shí)間調(diào)制的非線性頻率增量實(shí)現(xiàn)了空間時(shí)不變聚焦波束。Wang等[13]提出了一種時(shí)不變距離角度維解耦的FDA發(fā)射波束合成方法；在該方法中，每個(gè)陣元輻射的信號(hào)為多個(gè)時(shí)間調(diào)制非線性頻率增量信號(hào)的加權(quán)和。Liao等[14]研究了對(duì)稱對(duì)數(shù)間隔分布陣列的多載頻點(diǎn)狀波束合成，其頻率采用時(shí)間調(diào)制，但沒(méi)有考慮電磁波的傳播，即沒(méi)有考慮波的時(shí)變性。在數(shù)學(xué)上，文獻(xiàn)[11-14]中的方法很好地解決了點(diǎn)狀波束的時(shí)變問(wèn)題，即可使FDA合成的波束在空間保持靜態(tài)，從而使得波束在目標(biāo)處的駐留時(shí)間變長(zhǎng)，目標(biāo)反射能量可得到很好的積累，提高探測(cè)概率。但是，文獻(xiàn)[11-14]中沒(méi)有清晰闡述頻率增量項(xiàng)時(shí)間變量和波形傳播項(xiàng)時(shí)間變量的關(guān)系，而是將其看成同一個(gè)變量。Shi等[15]從時(shí)間和距離關(guān)系的角度分析并得出FDA不可能合成時(shí)不變波束方向圖的研究結(jié)果，但并未研究點(diǎn)狀波束合成問(wèn)題。

此外，利用FDA波束形成優(yōu)勢(shì)與MIMO體制相結(jié)合的研究也得到了快速發(fā)展，例如，采用FDA-MIMO收發(fā)波束精確消零技術(shù)對(duì)SAR成像中的干擾進(jìn)行抑制[16-17]，采用FDA-MIMO雷達(dá)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)、目標(biāo)探測(cè)、成像等[18-21]。但是，F(xiàn)DA波束設(shè)計(jì)靈活性并未在這些應(yīng)用中得到充分發(fā)揮。本文重點(diǎn)研究了FDA雷達(dá)發(fā)射波束時(shí)變特性和點(diǎn)狀波束合成，構(gòu)建了時(shí)間調(diào)制對(duì)數(shù)頻率增量和多載頻頻率增量FDA雷達(dá)信號(hào)模型，分析并理清了時(shí)間調(diào)制FDA信號(hào)模型中頻率增量項(xiàng)時(shí)間變量與傳播項(xiàng)時(shí)間變量的關(guān)系，進(jìn)一步分析了時(shí)間調(diào)制對(duì)數(shù)頻率增量和多載頻頻率增量模式合成的點(diǎn)狀發(fā)射波束的特性。

1 信號(hào)模型

1.1 線性頻率增量FDA信號(hào)模型

在FDA雷達(dá)中，陣列頻率增量比載頻小，所以，式（3）中第2行的求和號(hào)的指數(shù)第3項(xiàng)可以忽略[6]，且該求和號(hào)內(nèi)表達(dá)式與陣元輻射特性無(wú)關(guān)，與陣列結(jié)構(gòu)和頻率增量有關(guān)。頻控陣的陣列因子（array factor,AF）用符號(hào)FAF表 示，求解過(guò)程中令wn=1，可得：

陣列方向圖為陣列因子的絕對(duì)值，由式（4）可知，線性頻率增量FDA輻射方向圖是時(shí)間t、 距離r和角度θ這3個(gè)變量的函數(shù)，且是周期性函數(shù)。其中，時(shí)間域的周期為T=1/Δf，距離向的周期為R=c/Δf，方位向周期為 Θ=arcsin(c/(d f0))，且其在3個(gè)維度互相纏繞。關(guān)于線性頻增FDA波束方向圖的性質(zhì)在文獻(xiàn)[22-25]中有所闡述，此處不再贅述。

1.2 時(shí)間調(diào)制FDA信號(hào)模型

時(shí)間調(diào)制頻率增量記為 Δfn(t)， 第n個(gè)陣元輻射的脈沖信號(hào)可記為：

采用多載頻時(shí)間調(diào)制頻率增量，每個(gè)陣元輻射信號(hào)為多個(gè)時(shí)間調(diào)制非線性頻率增量信號(hào)的加權(quán)和[4,13]，頻率增量和陣列因子可分別寫為式（9）和（10）：

2 頻率增量項(xiàng)與傳播項(xiàng)中時(shí)間變量關(guān)系分析

頻率增量項(xiàng)可進(jìn)一步表示為式（11）中F(n)/(t?rd/c)及 式（12）中F(m)/(t?rd/c)，其中，分母為時(shí)間調(diào)制，定義傳播項(xiàng)為式（11）、（12）中的(t?r/c)。

從式（11）和（12）可以看出，當(dāng)t取某一固定時(shí)刻，在r=rd、 θ =θd處，輻射波束取最大值，分別為N和M×N。而依據(jù)信號(hào)產(chǎn)生和電磁波傳播原理，這兩項(xiàng)中的時(shí)間項(xiàng)具有不同的意義。當(dāng)電磁脈沖信號(hào)產(chǎn)生并在空間傳播后，其頻率將不發(fā)生變化。以線性調(diào)頻波為例進(jìn)行說(shuō)明，其在不同波形產(chǎn)生時(shí)刻具有不同的頻率，在空間傳播過(guò)程中其頻率特性不再變化。頻率增量項(xiàng)F(n)/(t?rd/c)中 的變量t是在信號(hào)產(chǎn)生時(shí)刻確定的值，該值一旦確定，在傳播過(guò)程中的頻率就是固定值；而傳播項(xiàng) (t?r/c) 中的變量t與電磁波的傳播有關(guān)，是變化的量。因此，兩者不能用同一個(gè)變量表示，現(xiàn)將頻率增量項(xiàng)中的時(shí)間變量改用t′，則式（11）和（12）的信號(hào)模型重寫為：

針對(duì)脈沖信號(hào)，波束最大值出現(xiàn)在脈沖寬度覆蓋空間區(qū)域內(nèi)的約束條件為：

式中，T為脈沖寬度。

3 仿真及結(jié)果分析

3.1 線性頻率增量波束圖仿真

根據(jù)FDA陣列因子的特點(diǎn)，分別選擇固定時(shí)間繪制方向圖的空間分布和固定空間位置繪制其在時(shí)間上的變化規(guī)律。雷達(dá)參數(shù)設(shè)置為N=10，f0=10 GHz，Δf=4 kHz。圖1為一個(gè)時(shí)間周期內(nèi)3個(gè)確定時(shí)刻的波束方向圖空間分布，圖2為空間位置確定時(shí)，波束方向圖隨時(shí)間的變化規(guī)律，其中，r分別取100、200 km，θ分別取-40°、40°。從圖1、2可以看出，F(xiàn)DA雷達(dá)采用線性頻率增量時(shí)，波束方向圖為纏繞的“S”狀時(shí)變波形，可實(shí)現(xiàn)空間區(qū)域自動(dòng)掃描，但是存在距離-角度的纏繞。

圖1 FDA連續(xù)波時(shí)變“S”狀波束圖Fig. 1 Time-varying continuous wave “S”-shaped beampattern

圖2 空間確定位置波束隨時(shí)間的變化Fig. 2 Variation of beam with time for a specific spatially position

3.2 時(shí)間調(diào)制頻率增量波束圖仿真

首先，對(duì)式（11）和（12）在不同時(shí)刻的連續(xù)波波束圖仿真，雷達(dá)參數(shù)為N=10，f0=10 GHz，M=10，Δf=4kHz，d=λ/2=0.015 m，T=0.25ms，rd=250km，θd=30°，κ=3。圖3為時(shí)間調(diào)制對(duì)數(shù)頻率增量波束方向圖仿真結(jié)果，圖4為時(shí)間調(diào)制多載頻頻增波束方向圖仿真結(jié)果。

圖3 FDA時(shí)間調(diào)制對(duì)數(shù)頻率增量連續(xù)波波束圖Fig. 3 FDA continuous wave beampattern with time-modulated logarithmic frequency offsets

圖4 FDA時(shí)間調(diào)制多載頻連續(xù)波波束圖Fig. 4 FDA continuous wave beampattern with time-modulated multi-carrier frequency increments

從圖3和4可以看出，在時(shí)間從0到0.225 ms變化過(guò)程中，發(fā)射波束始終聚焦于空間位置rd=250 km，θd=30°，可以實(shí)現(xiàn)波束在指定位置的長(zhǎng)時(shí)間駐留，從而使得該項(xiàng)技術(shù)有可能在目標(biāo)探測(cè)領(lǐng)域發(fā)揮極其重要的作用。

然而，上述仿真所依據(jù)的模型式（11）和（12）中錯(cuò)誤地將頻率增量項(xiàng)中的時(shí)間變量與傳播項(xiàng)中的時(shí)間變量等同且相互抵消，消除了波束的時(shí)變性。這具有很大的誤導(dǎo)性，應(yīng)當(dāng)明確指出上述兩個(gè)時(shí)間變量具有不同的物理意義。因此，時(shí)間頻率調(diào)制的FDA 波束合成技術(shù)無(wú)法實(shí)現(xiàn)時(shí)不變空間點(diǎn)狀波束。

進(jìn)一步依據(jù)式（13）和（14），波形產(chǎn)生時(shí)刻變量t′取固定值tfix，則信號(hào)在空間傳播過(guò)程中的頻率增量項(xiàng)為固定值F(m)/(tfix?rd/c) 。因此，只有當(dāng)傳播項(xiàng)(t?r/c) 與固定值(tfix?rd/c)相等時(shí)，波束才會(huì)取最大值，這說(shuō)明波束最大值隨著時(shí)間的推移動(dòng)態(tài)前向傳播，符合電磁波傳播原理。圖5為對(duì)數(shù)頻率增量脈沖動(dòng)態(tài)點(diǎn)狀波束仿真結(jié)果，圖6為多載頻非線性頻率增量脈沖動(dòng)態(tài)點(diǎn)狀波束仿真結(jié)果。仿真參數(shù)為N=10，f0=10GHz，M=10，d=λ/2=0.015m，T=0.25 ms，rd=250km，θd=30°，κ=3，取tfix=1ms，傳播項(xiàng)t從小到大變化，分別取值0.125、0.250、0.500、0.750、1.000和1.125 ms。

圖5 FDA對(duì)數(shù)頻率增量脈沖動(dòng)態(tài)點(diǎn)狀波束圖Fig. 5 FDA pulse dynamic point-shaped beampattern with logarithmic frequency offsets

圖6 FDA多載頻非線性頻率增量脈沖動(dòng)態(tài)點(diǎn)狀波束圖Fig. 6 FDA pulse dynamic point-shaped beampattern with multi-carrier frequency increments

從圖5和6的仿真結(jié)果可以看出：FDA陣列雷達(dá)通過(guò)合理的頻偏設(shè)計(jì)可以合成點(diǎn)狀波束。對(duì)數(shù)頻率增量合成的點(diǎn)狀波束旁瓣較高，且具有拖尾現(xiàn)象；多載頻FDA合成的波束聚焦性能好，旁瓣低。無(wú)論哪種情況，點(diǎn)狀波束在空間都是動(dòng)態(tài)前向傳播的，而不是靜態(tài)時(shí)不變的。波束最大值會(huì)固定在方位 θd處，而不會(huì)固定在距離rd處，這是本文得出的重要結(jié)果，且不同于文獻(xiàn)[11-13]中的結(jié)果。

4 結(jié) 論

本文系統(tǒng)研究了采用時(shí)間調(diào)制頻率增量技術(shù)合成空間時(shí)不變點(diǎn)狀波束中存在的問(wèn)題，分析并指出現(xiàn)有時(shí)間調(diào)制頻率增量數(shù)學(xué)模型中頻率增量項(xiàng)時(shí)間變量與傳播項(xiàng)時(shí)間變量具有不同的物理意義。因此，不能簡(jiǎn)單地采用將這兩項(xiàng)對(duì)消來(lái)消除發(fā)射波束的時(shí)變性。仿真結(jié)果驗(yàn)證了FDA雷達(dá)輻射脈沖信號(hào)且滿足所給的約束條件時(shí)，可在脈沖覆蓋空間區(qū)域內(nèi)合成點(diǎn)狀波束，該點(diǎn)狀波束隨時(shí)間動(dòng)態(tài)前向傳播，并非靜態(tài)不動(dòng)。在本文對(duì)FDA雷達(dá)波束合成研究的基礎(chǔ)上，如何在干擾抑制、目標(biāo)檢測(cè)、雷達(dá)成像等方面發(fā)揮波束優(yōu)勢(shì)是下一步研究工作的重點(diǎn)。