徐凱

[摘 要]如果對于知識的教學只是浮于表面，過于注重結論、方法以及習題，學生就無法深入探究數(shù)學知識的本質(zhì)內(nèi)涵。文章立足于“數(shù)學證明”，深層剖析“證明”在小學數(shù)學教學中的內(nèi)涵和價值，并針對如何利用小學生力所能及的“證明”展開探討，給出“剖析教材，發(fā)掘素材”“以錯引措，以誤換悟”“探本溯源，突破界限”和“多樣證明，活化認知”等策略，力求將“數(shù)學證明”融入課堂，使之成為學生探尋數(shù)學本質(zhì)的最佳路徑，讓課堂充滿濃濃的“數(shù)學味”。

[關鍵詞]數(shù)學證明;數(shù)學本質(zhì);小學數(shù)學

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）32-0001-04

如果說問題是數(shù)學的心臟，那么“證明”就是數(shù)學的靈魂。數(shù)學家匈菲爾德對于“證明”的解讀是“證明是尋找數(shù)學意義的活動”?？梢?，“證明”就是讓學生理解概念、公式、法則、定律等的發(fā)生和發(fā)展過程和原因，即探索數(shù)學知識本質(zhì)的過程，而非把數(shù)學證明看作推理過程的“固化痕跡”。

作為教師，要注重培養(yǎng)學生對于數(shù)學本質(zhì)的感悟，讓學生學習“帶得走”的數(shù)學，而非遨游于“數(shù)學題海”。正如數(shù)學教育家米山國藏所言“唯有深深銘刻在心中的數(shù)學精神、數(shù)學思想方法、研究方法、推理方法和看待問題的著眼點等，隨時隨地地發(fā)生作用，使他們終身受益” ，“數(shù)學證明”的深刻性就具有這樣的“威力”。

一、審視：當下課堂教學中“數(shù)學證明”的現(xiàn)狀剖析

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》明確提出“四基”，即“基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”。關于數(shù)學基本活動經(jīng)驗，史寧中教授指出“數(shù)學基本活動經(jīng)驗是親身經(jīng)歷和感悟了歸納推理和演繹推理的過程，尤其是歸納推理過程后的一種結果”，這與“數(shù)學證明”不謀而合。反觀當下的數(shù)學課堂，難有“證明”的身影，即使有，也大都如走馬觀花一般，重知識、技能，輕活動經(jīng)驗的現(xiàn)象比比皆是。

1.對小學“數(shù)學證明”概念理解狹隘

有些教師覺得“數(shù)學證明”伴隨著嚴謹?shù)乃伎肌⒏呱畹亩ɡ硪约皹O其規(guī)范的格式，對小學生來說遙不可及，非小學生所能掌控。其實不然，在小學階段，“數(shù)學證明”通常只涉及一些非形式的推理和論證，這個階段的“數(shù)學證明”不是嚴格的、形式化的，其主要目標是讓學生從事力所能及的邏輯論證。

2.對課堂中“數(shù)學證明”過程的剝削

不少教師潛意識里認為“證明”不屬于小學教學內(nèi)容，尤其是對于中低年級的學生，讓其掌握“證明”無異于揠苗助長，學生只需掌握一些基本的知識或技能會解題足矣，于是把得出結論的證明過程一帶而過，將寶貴的課堂時間大多用于習題訓練和鞏固所學知識，此種做法無異于竭澤而漁。

以蘇教版教材三年級上冊“比較同分子異分母的分數(shù)大小”為例，很多學生都能掌握比較分數(shù)大小的方法“分子相同時，分母越小分數(shù)越大”，尤其在課堂中花大量時間鞏固和練習，一節(jié)課下來學生均“熟能生巧”。殊不知，結論雖然易懂，但其真正價值蘊含于得出結論的過程和方法中：通過畫出二分之一和四分之一的示意圖（如圖1）來佐證兩個分數(shù)的大小，其間蘊藏著“數(shù)形結合，以形證數(shù)”的原生態(tài)的“證明”雛形。

試想一下，若課堂中只注重結論和方法，罔顧證明的過程，長此以往數(shù)學課不免枯燥和冰冷。要想學生的思維有深度，那在中低年級這個起步階段，就得在學生心中埋下“知其然還要知其所以然”的種子。

3.對教材中“數(shù)學證明”素材的輕視

目前各版本教材或多或少都安排了“證明”的素材，除了顯而易見的公式、定理的推導與證明，在“思考題”“動手做” “你知道嗎”等部分皆有“證明”的身影。但一些教師對于這些素材的處理往往淺嘗輒止，僅僅停留在學生“了解、知道”層面，沒有充分挖掘和激活其內(nèi)在價值。

以蘇教版教材五年級上冊中的 “你知道嗎”為例（如圖2）：

該內(nèi)容介紹的是《九章算術》中記載的關于古代三角形面積的計算方法，即“半廣以乘正從”。不少教師只是在課末簡單介紹這部分內(nèi)容，僅將其作為可有可無的補充，如此有“證明”價值的素材就被一帶而過，可謂是暴殄天物。這個三角形面積的計算方法看似簡單，實則是三角形面積公式的另一種推導和證明的過程，不同方法相互驗證，彰顯數(shù)學的嚴密與嚴謹，可以引導學生在原有的基礎上感受證明方法的多樣化，感嘆證明的精妙之處;深挖下去，亦是“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學思想的體現(xiàn)，學生能夠在“證明”中感受數(shù)學思想的妙處，構建未知與已知的橋梁，思維得到長足的發(fā)展與提升。

在具體的教學過程中教師只有有效激活相關素材，將其融入課堂教學，而不是使其像“孤島”般游離在學習體系之外，學生才能從內(nèi)心深處感受到“證明”的價值所在，才能將證明意識根植于心。

4.對小學“數(shù)學證明”的評價片面

隨著課改的深入，“數(shù)學證明”與數(shù)學學習的聯(lián)系日益緊密，尤其是中高年級的數(shù)學學習，但 “數(shù)學證明”考不考？怎么考？考到何種程度？這都是教師面臨的實際問題。

例如，五年級某練習檢測題：你認為[nm]和[n+1m+1]哪個大（m>n>0）？請用你喜歡的方法證明。

有些學生根據(jù)直覺胡亂猜測，然后證明過程亦是胡寫一氣;有些學生只寫結論毫無證明過程;更有甚者，完全不會……

筆者對一些學生進行了訪談，他們表示：看到“證明”兩個字不知所措，沒遇到此類題型;只記得老師講過類似的結論，記不清具體為什么;沒有比較過帶有字母的分數(shù)的大小，所以看不明白，通分的方法也不會用在這里……其實解答本題只要言之有理，將自己想法解釋清楚即可。

由此可見，考什么就教什么，不考就不教，就給“證明”套上了“應試”的枷鎖，不但慢慢抹殺了“數(shù)學證明”本身的價值，而且這種極具功利性和工具性的評價取向，也成為制約“數(shù)學證明”進入課堂的一個重要因素。

二、沉思：“數(shù)學證明”的意蘊內(nèi)涵和實踐價值

1.“數(shù)學證明”的意蘊內(nèi)涵

數(shù)學是人類智慧的結晶，“證明”就是其靈魂所在。將“數(shù)學證明”適時地融入課堂，能讓學生感受數(shù)學精巧的方法、奇妙的思想和嚴謹?shù)倪壿嫛?/p>

數(shù)學家波利亞曾說：“教師講了什么并非不重要，但更重要千萬倍的是學生想了些什么，學生的思路應該在學生自己的頭腦中產(chǎn)生，教師的作用在于系統(tǒng)地給學生發(fā)現(xiàn)事物的機會?！?因此，在課堂中融入“數(shù)學證明”的目的在于改變數(shù)學教育只停留在知識技能層面的現(xiàn)狀，使學生對數(shù)學的理解深入到思維、能力乃至精神層面，感悟數(shù)學的本質(zhì)，在大膽猜想、勇于探究和嚴謹求證中不斷獲得推理能力、數(shù)學思維、創(chuàng)新精神以及理性精神，從而提升數(shù)學素養(yǎng)。

2.“數(shù)學證明”的實踐價值

（1）有利于激發(fā)學生探秘數(shù)學的內(nèi)在動力

現(xiàn)代認知學習理論認為，充分利用知識本身的一切能引起機體產(chǎn)生動機性行為的外部刺激就是啟動學生認知學習的內(nèi)在動力，而“數(shù)學證明”就蘊含著數(shù)學知識本身的“誘因”價值。

以“三角形的內(nèi)角和”教學為例，課始，教師發(fā)現(xiàn)絕大部分學生都知道了三角形的內(nèi)角和為180°，于是要求學生證明為何三角形的內(nèi)角和為180°。學生通過量角度、先撕再拼和折成長方形來說明三角形的內(nèi)角和是180°，與教材所給出的方法如出一轍。本以為證明過程就此結束，突然有位學生提出疑問：“我也是撕和拼的，為何有的縫隙對不上，得出的角不像是180°的平角。”教師并沒有以“存在誤差”為理由搪塞過去，而是以此為契機，提出：“既然有誤差，那有沒有更有說服力的證明方法呢？”學生冥思苦想后，得出以下方法：

①一個長方形的四個角都是直角，所以長方形的內(nèi)角和是360°;畫一條對角線，把長方形分成兩個完 全一樣的三角形，那么一個三角形的內(nèi)角和就是180°。

②先畫一個三角形 ，然后把三角形慢慢“壓扁”，兩個底角就越來越小，慢慢接近0°，頂角越來越大，逐漸接近平角180°，所以三角形的內(nèi)角和是180°。

至此，學生大開眼界，感悟到不同的證明方法，甚至極限思想，從而打開了思維的閘門?？梢?，“數(shù)學證明”可以直接驅(qū)動學生學習，使學生變得積極、主動，對學生數(shù)學學習的興趣、動機、品質(zhì)都會有積極影響。

（2）有利于學生自主建構知識體系

課程標準要求數(shù)學教學過程中要注重學生學習的過程，而知識的學習其實是一個學生自主建構知識體系的過程，“證明”亦是學習探索過程的一種，它能幫助學生探索知識本質(zhì)，是一種由表及里、由外而內(nèi)的學習過程。

以“兩位數(shù)加兩位數(shù)（進位）”教學為例，大部分學生課前都已知曉或接觸過該計算方法，那整節(jié)課都用來訓練鞏固計算方法？當然不是，既然是進位加法，那進位“1”的重要性便不言而喻。教師給學生若干小棒、計數(shù)器等學具，讓學生自主證明進位“1”的來歷，最終形成板書（如圖3）。學生在教師的引領下通過“擺小棒（10根小棒為一捆）”“撥計數(shù)器”“加法算式”三種方式去證明“滿十進一”這個核心知識點。想必通過學生的自主操作、自主探索和自主證明，“滿十進一”便不再是一句簡單的口訣，學生也深刻理解了進位“1”的來龍去脈。

雖然上述證明過程較為簡單，但足以在低年級學生的心中埋下“證明”的種子，學生能通過操作、觀察去證明 “約定俗成”的口訣或計算方法，建構知識體系，將浮于表面、需要記憶的數(shù)學知識內(nèi)化于心、融會貫通，此乃“證明”之妙處所在。

（3）有利于培養(yǎng)學生的理性精神

數(shù)學教育給學生留下的是什么？是概念、公式，還是某次考試？其實，重要的是用數(shù)學化的頭腦與眼光看待事物，以及思考問題和觀察世界的能力。融入“證明”的教學就是讓學生在尋找理由和依據(jù)的過程中不斷進行深入的思考，潛移默化中培養(yǎng)學生的理性精神。

“籃球隊中小王身高約2米，小張身高約2.0米，2=2.0，所以他們兩人一樣高。你認同么？”這是教學“小數(shù)的近似數(shù)”時教師拋出的一句話。某學生的表述令人眼前一亮：“雖然2和2.0的大小一樣，但都是近似數(shù)，所以取值范圍和精確度不同。”該學生還利用數(shù)軸來佐證自己的想法（如圖4）。

數(shù)軸激活了學生已有的生活經(jīng)驗和四舍五入取值經(jīng)驗，學生結合圖示證明自己的想法，直觀感受近似數(shù)2和2.0的取值差異。

看似平平無奇的一句話，看似兩個毫無差別的數(shù)據(jù)，從數(shù)學的角度看卻大有不同。通過“數(shù)學證明”，學生能夠認真思考和判斷，能夠理性地看待問題，發(fā)現(xiàn)隱藏的數(shù)學秘密， 學生的理性精神得到充分的孕育。

三、實踐：“數(shù)學證明”助課堂的策略探究

1.深層剖析教材，發(fā)掘證明素材

數(shù)學自身的多元性使其具有豐富的證明素材。每一個數(shù)學知識背后都有可挖掘的證明價值，如基本的公式、定理、定律皆不是從天而降的，都是無數(shù)數(shù)學家經(jīng)過嚴謹?shù)淖C明與思考凝練而成的智慧結晶。

例如，教學三角形的面積公式后，教師提出問題：“還記得正方形面積計算的另一個公式‘對角線×對角線÷2嗎？能聯(lián)系今天所學，證明這個公式嗎？”學生思考后給出證明過程：將正方形分成兩個相等的三角形，其中一個三角形的底是一條對角線，高是另一條對角線的一半，所以一個三角形的面積就是“對角線×（對角線÷2）÷2”，正方形由兩個這樣的三角形組成，再把一個三角形的面積乘2就得到正方形的面積，“÷2”和“×2”抵消，最終得到這個正方形的面積公式“對角線×對角線÷2”。學生通過證明，加強了公式與公式之間的關聯(lián)，感受到每一個數(shù)學知識都不是孤立存在的，每一個知識點都有跡可循的。

這些素材雖然沒有完全呈現(xiàn)在教材當中，但只要教師做個有心人，加強自身對于教材和知識的理解，打開自己的數(shù)學視野，一定能二度開發(fā)出教材中的價值。俗話說：“巧婦難為無米之炊?！敝挥型诰虺霾煌愋偷淖C明素材，才能在課堂教學中將它們有效激活，才能更有效地引領學生感悟數(shù)學的本質(zhì)。

2.以錯引措，以誤換悟

面對學生五花八門的錯誤以及質(zhì)疑，教師該如何應對？是呵斥？是置之不理？還是給予充分的回應？其實，錯誤和質(zhì)疑都是學生最原生態(tài)的思考痕跡，對其探索，定能體現(xiàn)出其中的價值。

對于計算題“1200÷（30+20）”，不少學生受乘法分配律的干擾，將計算過程寫成“1200÷30+1200÷20=100”，他們會提出：“難道沒有除法分配律嗎？”教師隨即將問題拋給學生：“有沒有除法分配律？能證明你的想法嗎？”不少學生采用列舉法證明，得到的結果卻是只有部分成立，他們自己也說不清原因。有一位學生的證明方法特別新穎（如圖5）：第一幅圖里的寬相當于是“公除數(shù)” ，第二幅圖雖然面積都是 20 平方厘米，但由于長和寬各不相同，無法拼成一個大長方形， 此處相當于用“公被除數(shù)”除以兩個寬的和，“公除數(shù)”可以像乘法分配律中的公因數(shù)一樣被提取出來，但“公被除數(shù)”是不能被提取出來的，所以第二種情況不成立。學生看了這個方法后恍然大悟、茅塞頓開。

由此可見，教師不能避開學生的想法，就知識教知識，要以學生的視角去對待他們的錯誤與質(zhì)疑，從中挖掘有探索價值的想法。過程比結果更重要，學生在自主思考、自主證明的過程中能獲得對數(shù)學知識的感悟，能加強對數(shù)學的理解。

3.探本溯源，突破界限

課堂教學首先要做的就是回歸知識的“源”點，讓學生通過“證明”找尋、感悟知識的本源 ，突破對原有知識淺層次的理解，從而加深對數(shù)學本質(zhì)的認知。

以“3的倍數(shù)特征”為例，學生通過列舉法很容易發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)有哪些特征，但當教師提出“為什么3的倍數(shù)具有這樣的特征？”時，學生均陷入沉思，直到一位學生帶著自己的作品上臺講解：我把一個三位數(shù)abc改寫成100a+10b+c，再改寫成（99a+9b）+（a+b+c），這時候可以知道99和9都是3的倍數(shù)，那只要看a、b、c這幾個數(shù)的和是不是3的倍數(shù)就可以了，而這幾個數(shù)的和就是a+b+c，所以只要看幾個數(shù)位上的數(shù)的和是不是3的倍數(shù)就可以判斷這個數(shù)是不是3的倍數(shù)了。

如此，利用數(shù)學推理與證明，學生在重塑知識的過程中不斷探索，不但推開原有的認知“墻”，突破知識的界限，還在還原本質(zhì)中發(fā)現(xiàn)更大的世界。

4.多樣證明，活化認知

獲得數(shù)學結論的道路不止一條，正所謂“條條大路通羅馬”，“數(shù)學證明”亦是如此，教師要引導學生了解多種證明策略，領略“證明”之路的不同風景。

對于“圓的面積”，教材中只編排了將圓轉(zhuǎn)化成近似長方形的方法。筆者利用多媒體課件展示圓除了可以轉(zhuǎn)化成長方形，還可以轉(zhuǎn)化成梯形和三角形（如圖6），以及可以將圓轉(zhuǎn)化成三角形（如圖7）。隨后通過演示讓學生理解圓的面積公式推導過程并不是單一的。

在課堂教學中，引領學生體會多樣的證明策略，學生在見識多種證明策略的過程中，擴展和延伸自己的知識面，感悟數(shù)學知識的本質(zhì)內(nèi)涵。這是一種從“一”到“多”的思維沖擊。

（責編 金 鈴）