戴嘉寧，陳文勝，蔣茂林，李穎豪

（長(zhǎng)沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410114）

0 引言

極限平衡條分法自誕生以來就成為了邊坡穩(wěn)定性分析的一大利器，其基本思路是：假定滑動(dòng)面已知，同時(shí)假定滑動(dòng)體為剛體，在此基礎(chǔ)上對(duì)邊坡進(jìn)行靜力平衡計(jì)算，從而求出邊坡穩(wěn)定性系數(shù)。

根據(jù)極限平衡條分法的不同假定條件，目前已經(jīng)發(fā)展出十幾種計(jì)算方法[1-4]，其中不平衡推力法就是由我國工程技術(shù)人員，以計(jì)算滑坡推力為目的，通過長(zhǎng)期的工程實(shí)踐，在深入分析和總結(jié)之后，創(chuàng)造出來的一種邊坡穩(wěn)定性分析方法[5]。一方面，由于該方法計(jì)算簡(jiǎn)單，并且可以為實(shí)際工程提供很好的設(shè)計(jì)推力，在我國應(yīng)用廣泛；另一方面，該法屬于極限平衡分析方法，但又與國際上流行的以條分為特征的極限平衡分析方法有著顯著的區(qū)別。因此，對(duì)不平衡推力法進(jìn)行深入研究很有必要。

不平衡推力法假定條間力方向與當(dāng)前條塊的底面平行，且主要應(yīng)用于滑動(dòng)面為折線段或者可以簡(jiǎn)化為折線形滑坡的分析，在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)滑動(dòng)面為圓弧時(shí)，該法的計(jì)算結(jié)果和嚴(yán)格法相當(dāng)，而對(duì)于非圓弧滑動(dòng)面的計(jì)算誤差會(huì)很大[6-8]。原因在于條間力的方向被確定后，條間力的豎向分量與水平分量的比值也就確定了，當(dāng)條塊之間的底面傾角差距過大時(shí)，有可能出現(xiàn)計(jì)算剪力比抗剪強(qiáng)度更大的不合理現(xiàn)象[9]。這是不平衡推力法假定條件為減少未知量簡(jiǎn)化求解而無法避免的系統(tǒng)誤差。

為了讓計(jì)算過程更加合理，令不平衡推力法的推力物理意義更加明確，本文提出一種以滿足條間力合理性條件[10]為前提的改進(jìn)方法，使條間剪力按抗剪強(qiáng)度取極大值，并根據(jù)整體性安全系數(shù)的定義，對(duì)條間抗剪強(qiáng)度按照與底面抗滑力進(jìn)行相同程度的強(qiáng)度折減。

1 不平衡推力法基本理論

1.1 基本假設(shè)

（1）視滑坡為剛體，條塊之間只能受壓不能受拉。

（2）橫向取單位寬度為1m的滑體作為計(jì)算代表斷面，不計(jì)兩側(cè)摩阻力的作用。

（3）當(dāng)任意條塊的剩余推力計(jì)算值為負(fù)值時(shí)，表示無剩余推力，按0取值。

（4）條間力方向與上一相鄰條塊底面平行。

1.2 力學(xué)模型

不平衡推力法的力學(xué)模型如圖1所示，a）為多個(gè)直線段組成的非圓弧滑面邊坡，b）為陰影部分條塊i的受力分析示例圖：①條塊重力Wi；②滑動(dòng)面上的法向力Ni；③滑動(dòng)面上的抗滑力Ri；④條塊兩側(cè)的法向力Ei、Ei-1和豎向剪切力Xi、Xi-1；⑤條 間 力Gi、Gi-1。

圖1 不平衡推力法力學(xué)模型

根據(jù)圖1b）所示的力學(xué)模型，可以推導(dǎo)出不平衡推力法的推力計(jì)算公式：

以上各式中：ψi-1為傳遞系數(shù)，ci為粘聚力，li為條塊底面長(zhǎng)度，αi為條塊底面與水平面的夾角。通過上述的推力計(jì)算公式，可以推導(dǎo)出兩種安全系數(shù)的解法，即隱式解法和顯示解法。

隱式解法為迭代法，其安全系數(shù)的物理意義是采用國際通用的強(qiáng)度折減系數(shù)的定義，將上式中的ci和tanφi分別用ci/Fs與tanφi/Fs代替。求解過程是從坡頂?shù)牡谝粭l塊開始，由于替換后的推力中本身含有Fs，無法通過式（1）直接計(jì)算出Fs，因此，需要定一個(gè)安全系數(shù)Fs對(duì)條塊的抗滑力進(jìn)行折減，再通過式（1）逐條計(jì)算條塊的剩余推力，直到處于剪出口的最后一個(gè)條塊n，要求Gn=0。如果Gn=0不成立，則調(diào)整Fs的值，直到Gn=0成立為止，此時(shí)的Fs即為所求的安全系數(shù)。

顯式解法即可以通過一個(gè)安全系數(shù)的顯式表達(dá)式直接計(jì)算出結(jié)果[7]。

顯式解法安全系數(shù)的物理意義定義為條塊下滑力的放大系數(shù)。由于計(jì)算簡(jiǎn)單，不需要迭代計(jì)算，被納入國家規(guī)范，但實(shí)際計(jì)算原理與式（1）并不等價(jià)，且如果Fs越大，其誤差也越大。所以在計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力十分強(qiáng)大的今天，并不推薦使用該解法。

2 改進(jìn)方法基本理論

2.1 不平衡推力法誤差分析

根據(jù)式（1）可知，不平衡推力法所計(jì)算出來的條間力是條塊下滑力與抗滑力的差值，即剩余下滑力。將剩余下滑力直接作為條間力實(shí)際上是不平衡推力法為了求解而作的簡(jiǎn)化，通過條間力與上一條塊底面平行這一基本假定，使得條間力在上一相鄰條塊底面的法向分量為零，在計(jì)算條塊下滑力與抗滑力時(shí)就無需考慮這一部分分量所帶來的影響，從而達(dá)到減少未知量的目的。由于條間力的方向已經(jīng)根據(jù)條塊底面傾角提前確定，在計(jì)算條間力的豎向分量與水平分量的比值時(shí)也就是確定的，即Xi=Eitanα，這說明不平衡推力法的推力大小與條塊的底面傾角有關(guān)。如果考慮條間極限抗剪條件，條間剪力應(yīng)取其極值，即抗剪強(qiáng)度，根據(jù)摩爾庫倫準(zhǔn)則，可得Xmi=Eitanφi+cihi。當(dāng)傾角變化很大時(shí)，在計(jì)算過程中就很可能出現(xiàn)Xi大于Xmi的不合理情況，這會(huì)導(dǎo)致計(jì)算所得邊坡抗滑能力比實(shí)際邊坡抗滑能力要強(qiáng)的不符合實(shí)際情況的結(jié)果。這屬于不平衡推力法的基本假定所帶來的系統(tǒng)誤差，Xi與Xmi的大小關(guān)系，就是不平衡推力法可能產(chǎn)生誤差的關(guān)鍵所在，盡管可以通過限制其適用范圍降低誤差，但這一不合理現(xiàn)象需要在使用時(shí)得到重視。該誤差會(huì)在計(jì)算中不斷累積，最終導(dǎo)致安全系數(shù)偏大。

改進(jìn)方法針對(duì)條間剪力采用和邊坡滑動(dòng)面抗滑力相同的折減系數(shù)。其安全系數(shù)與不平衡推力法隱式解法的安全系數(shù)的定義相同，都為反映了邊坡抗力儲(chǔ)備的折減系數(shù)。在計(jì)算安全系數(shù)時(shí)，除了要對(duì)底面抗滑力進(jìn)行折減，同時(shí)還需要對(duì)條間剪力進(jìn)行折減。但規(guī)定條間剪力最大不超過抗剪強(qiáng)度發(fā)揮的1/Fs。

對(duì)于安全系數(shù)的定義，文獻(xiàn)[11]指出，盡管安全系數(shù)在概念上是局部的，但在建立極限平衡法時(shí)，通常將安全系數(shù)視為一個(gè)常數(shù)，這實(shí)際上是極限平衡法引入的又一假定。一般來說，只要所引入的假定在力學(xué)上合理，在數(shù)量上剛好能夠求解出這個(gè)力系，就不會(huì)出現(xiàn)原則上的錯(cuò)誤，例如文獻(xiàn)[12-14]中安全系數(shù)的定義就是對(duì)整個(gè)邊坡而言，任意點(diǎn)的任意方向都是按同一個(gè)安全系數(shù)進(jìn)行折減。

2.2 求解方法

首先，需要明確條間剪力的方向，顯然該方向與條塊底面之間的傾角變化有關(guān)，下面對(duì)條塊側(cè)邊受力情況進(jìn)行分析。

如圖2所示，假定某一滑坡從右上到左下滑動(dòng)，每一個(gè)條塊都沿著各自底面方向有一個(gè)單位的位移趨勢(shì)，當(dāng)條塊i-1的底面傾角大于條塊i的底面傾角時(shí)，條塊i-1相對(duì)于條塊i有向下滑動(dòng)的趨勢(shì)，條塊i右側(cè)受到豎直向下的剪力，如圖2a）所示。當(dāng)條塊i-1的底面傾角小于條塊i的底面傾角時(shí)，條塊i-1相對(duì)于條塊i有向上滑動(dòng)的趨勢(shì)，條塊i側(cè)邊受到豎直向上的剪力，如圖2b）所示。

圖2 條間受力分析

在確定了滑坡的滑動(dòng)面以后，就可以根據(jù)相鄰條塊底面傾角的大小關(guān)系，確定條間剪力的方向。

如果不考慮力矩平衡條件，舍棄力的作用點(diǎn)未知量，一般認(rèn)為，單個(gè)條塊待定的未知量有安全系數(shù)Fs、條塊底面法向力Ni，條塊底面抗滑力Ri，條間法向力Ei，條間有效剪切力Xi，其它圖中所示力為已知或由上一條塊求出，共5個(gè)未知量。對(duì)于每一個(gè)條塊，可以建立水平和垂直兩個(gè)力系的平衡方程。另外，根據(jù)極限平衡狀態(tài)，引入摩爾庫倫準(zhǔn)則，用于建立滑動(dòng)面與條間的剪切力與法向力的關(guān)系，所以可以提供4個(gè)方程，由于Fs通過不斷試算得出，至此，建立方程組即可求解所有未知量。

2.2.1 計(jì)算公式推導(dǎo)

（1）對(duì)條塊建立x和y方向的靜力平衡方程：

式中：αi為條塊i的底面與水平面的夾角。

（2）根據(jù)摩爾庫倫強(qiáng)度準(zhǔn)則，建立滑動(dòng)面和條間側(cè)面的法向力和切向力方程：

式中：φi為土體內(nèi)摩擦角，ci為土體粘聚力，Ri為條塊i抗滑力，li為條塊i的底面長(zhǎng)度，F(xiàn)s為滑動(dòng)面抗滑力折減系數(shù)。

式中：hi條塊i左側(cè)邊長(zhǎng)度，F(xiàn)v為條間剪力折減系數(shù)。

令條間剪力折減系數(shù)等于條塊抗滑力折減系數(shù)，即，聯(lián)立方程式（6）至（9），可以先求解出Ri與已知量的關(guān)系式：

將式（10）依次代入到式（8）、式（6）、式（9）中便可以分別求出Ni、Ei、Xi。由于推導(dǎo)過程十分復(fù)雜，可以通過matlab的slove函數(shù)幫助求解。

顯然，條間剪力的調(diào)整會(huì)使得整個(gè)條塊的受力重新分布，保證Xi取得極值Xm，滿足合理性條件?？梢灶A(yù)見，這種取條間剪力極值的做法，最終的推力值會(huì)比常規(guī)不平衡推力值更大，其安全系數(shù)必然小于或等于不平衡推力法的計(jì)算結(jié)果。

2.2.2 安全系數(shù)計(jì)算

首先，假定一個(gè)折減系數(shù)，通過上述計(jì)算公式，依次求得所有條塊的條間力，然后判斷處于邊坡剪出口的最右一個(gè)條塊n的條間力是否為零。如果為零，則此時(shí)的折減系數(shù)就是當(dāng)前邊坡的安全系數(shù)，如果不為零，則調(diào)整折減系數(shù)，重新計(jì)算出Gn的值，直到Gn=0為止。

3 算力分析

3.1 人工算例

為了更加直觀地體現(xiàn)改進(jìn)方法的計(jì)算過程及特點(diǎn)，對(duì)人工算例進(jìn)行分析。某均質(zhì)粘性土坡的幾何參數(shù)和條塊編號(hào)如圖3所示，AB點(diǎn)之間上凸折線段為邊坡坡面線，下凹折線段為邊坡滑動(dòng)面，土層參數(shù)如表1所示。表2為不平衡推力法、Morgenstern-Price法（簡(jiǎn)稱M-P法）和本文提出的改進(jìn)方法的安全系數(shù)計(jì)算結(jié)果，表3為Gn=0時(shí)和指定Fs=1.5時(shí)的兩種情況下改進(jìn)方法的計(jì)算過程。

表3 改進(jìn)方法計(jì)算過程

圖3 人工算例邊坡模型

表1 土層參數(shù)

表2 安全系數(shù)

從表2可以看出，常規(guī)不平衡推力法計(jì)算出的安全系數(shù)要高于M-P法與改進(jìn)方法的計(jì)算結(jié)果。表3的計(jì)算過程表明，在指定折減系數(shù)為1.5時(shí)，通過改進(jìn)方法計(jì)算的最后一個(gè)條塊的推力為51.70kN·m-1，使用不平衡推力法的計(jì)算結(jié)果為47.34kN·m-1，改進(jìn)方法以條間力的極大值傳遞，計(jì)算結(jié)果更大。

3.2 滑動(dòng)面適應(yīng)情況

根據(jù)計(jì)算原理編制了相應(yīng)的滑坡穩(wěn)定性分析程序，本文提出的改進(jìn)方法適用于任意形狀滑動(dòng)面，為了檢驗(yàn)該法是否可以解決不平衡推力法需要限制滑面傾角變化在10°以內(nèi)的問題?，F(xiàn)假定一均質(zhì)土坡，將圓弧滑動(dòng)面的2、4、8等分點(diǎn)作為折線形滑動(dòng)面的控制點(diǎn)，連接這些控制點(diǎn)就形成3條不同的折線滑動(dòng)面，幾何參數(shù)如圖4所示，3條不同滑動(dòng)面傾角的平均變化量依次為37.0°、18.5°、9.2°，土層參數(shù)如表4所示。

表4 土層參數(shù)

圖4 程序算例邊坡模型

分別采用不同的分析方法計(jì)算安全系數(shù)，結(jié)果見表5。表6為指定安全系數(shù)為1.5時(shí)，使用不平衡推力法和改進(jìn)方法求解最后條塊條間力的結(jié)果（單位：kN·m-1）。

表5 安全系數(shù)

表6 Fs=1.5時(shí)最后條塊剩余推力

根據(jù)表5三種不同傾角變化滑動(dòng)面的安全系數(shù)結(jié)果可知：一般情況下，不平衡推力法的安全系數(shù)要大于M-P法，結(jié)果偏于不安全，并且Fs越大，誤差也就越大。以M-P法為標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)滑動(dòng)面的傾角變化值從大到小排列時(shí)，不平衡推力法的安全系數(shù)最大相差18.7%，改進(jìn)方法最大相差12.8%。在指定安全系數(shù)后對(duì)剩余推力進(jìn)行計(jì)算，從表2和表6的結(jié)果可以看出，改進(jìn)方法最終求得的邊坡推力要比常規(guī)不平衡推力法的計(jì)算結(jié)果更大，這意味著改進(jìn)方法在以條間力極值傳遞的同時(shí)，可以保持良好的計(jì)算精度。

4 結(jié)論

（1）本文提出了一種滿足條間力合理性條件的不平衡推力法的改進(jìn)方法。改進(jìn)方法屬于極限平衡條分法，使條塊間按條間力極值傳遞，相較于不平衡推力法物理意義明確，對(duì)于邊坡穩(wěn)定性和加固設(shè)計(jì)有較好的參考意義。

（2）通過對(duì)條間剪力按照與滑動(dòng)面抗滑力相同的折減系數(shù)進(jìn)行折減，使條間剪力滿足邊坡合理性條件。

（3）在確定滑坡滑動(dòng)面與滑動(dòng)方向后即可確定條間剪力方向，相鄰條塊間，底面傾角大的條塊受到豎直向上的條間剪力，反之受到豎直向下的條間剪力。

（4）通過算例可以證明，改進(jìn)方法的安全系數(shù)更小，在計(jì)算滑動(dòng)面傾角變化大的滑坡時(shí)，誤差相對(duì)不平衡推力法更低。