崔 瀟，姚建偉，孫麗霞

(1.中國(guó)鐵道科學(xué)研究院 研究生部，北京 100081；2.中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 鐵道科學(xué)技術(shù)研究發(fā)展中心，北京 100081)

列車在高速運(yùn)行過(guò)程中，輪軌接觸非穩(wěn)態(tài)特性逐漸明顯，鋼軌波浪形磨耗、車輪多邊形磨損、輪軌接觸噪聲等都與其密切相關(guān)。輪軌非穩(wěn)態(tài)接觸是指當(dāng)車輪與鋼軌發(fā)生滾動(dòng)接觸時(shí)，接觸表面上的任意質(zhì)點(diǎn)從進(jìn)入接觸斑前沿到離開接觸斑后沿的過(guò)程中，輪軌接觸表面幾何外形、輪軌間法向力、蠕滑率等接觸相關(guān)參數(shù)發(fā)生較快變化的現(xiàn)象。Kalker最先研究了輪軌二維非穩(wěn)態(tài)問(wèn)題[1-2]，利用復(fù)變函數(shù)方法將非穩(wěn)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為實(shí)軸上的Riemann-Hilbert問(wèn)題，并通過(guò)數(shù)值積分進(jìn)行求解。Gonzales等[3]采用邊界元方法計(jì)算了二維非穩(wěn)態(tài)問(wèn)題，獲得了與Kalker一致的結(jié)果。此后，學(xué)者們將研究范圍拓展到三維情況。Kalker基于邊界元方法和最小余能原理開發(fā)了CONTACT程序，并由Vollebregt[4]及其他學(xué)者逐步擴(kuò)展。CONTACT程序目前已經(jīng)成為輪軌非穩(wěn)態(tài)接觸計(jì)算中公認(rèn)的參考標(biāo)準(zhǔn)。CONTACT程序雖然計(jì)算結(jié)果精確，但計(jì)算量較大，無(wú)法在動(dòng)力學(xué)軟件中直接集成使用。因此，很多學(xué)者進(jìn)行了非穩(wěn)態(tài)接觸簡(jiǎn)化模型的研究。

1 計(jì)算理論

1.1 輪軌非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸計(jì)算理論

利用Kalker三維滾動(dòng)接觸精確解方法，計(jì)算輪軌非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸狀態(tài)?；谧钚∮嗄茉淼腃ONTACT程序的計(jì)算理論可以表示為

(1)

最小值的求解可以視為一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題。當(dāng)2個(gè)接觸體選用的材料參數(shù)不同，無(wú)法視為準(zhǔn)同一問(wèn)題時(shí)，該問(wèn)題的求解可以分為法向求解和切向求解分別迭代計(jì)算。當(dāng)可以視為準(zhǔn)同一的情況下，則可以使用KOMBI算法直接迭代求解。

1.2 輪軌非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸蠕滑率/蠕滑力傳遞函數(shù)

輪軌非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，它與法向力、蠕滑率、接觸幾何、摩擦因數(shù)等諸多因素相關(guān)?；贑ONTACT程序，將非穩(wěn)態(tài)參數(shù)(如蠕滑率)設(shè)為簡(jiǎn)諧波動(dòng)形式，計(jì)算蠕滑力相位與幅值增益。然后對(duì)非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸系統(tǒng)進(jìn)行傳遞函數(shù)估計(jì)，從而評(píng)估非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸模型單個(gè)影響因素的性質(zhì)。

設(shè)系統(tǒng)的傳遞頻率響應(yīng)函數(shù)G(jω)為

(2)

式中：a0,a1,…,an為傳遞函數(shù)的系數(shù)；ω為蠕滑率簡(jiǎn)諧波動(dòng)的頻率。

利用倒幅相特性并將其分別展開為實(shí)部與虛部：

(3)

(4)

(5)

將計(jì)算獲得的頻率、幅值增益與相位代入到式(4)、式(5)，再通過(guò)最小二乘法，獲得式(4)、式(5)的系數(shù)，最終確定傳遞函數(shù)。

2 計(jì)算工況及結(jié)果分析

選取我國(guó)高速鐵路LMA型踏面車輪和CHN60型鋼軌。車輪半徑為430 mm，接觸點(diǎn)處車輪主輪廓線半徑為450 mm，接觸點(diǎn)處鋼軌頭主輪廓線半徑為300 mm。計(jì)算可知，接觸斑長(zhǎng)軸半徑a≈6.61 mm，短軸半徑b≈3.71 mm，則靜態(tài)接觸斑的長(zhǎng)短軸比a/b≈1.78。動(dòng)靜摩擦因數(shù)均取0.4,靜態(tài)法向力為70 kN。

在僅考慮單一方向簡(jiǎn)諧波動(dòng)蠕滑率輸入的工況下，輸入的蠕滑率ξ采用如下形式

(6)

式中：x為前進(jìn)方向距離；ξ0為參考蠕滑率；Δξ為蠕滑率波動(dòng)分量；Lξ為蠕滑率波長(zhǎng)；φ0為初始相位角。

根據(jù)Kalker線性理論，Δξ和蠕滑力波動(dòng)分量ΔFξ之間的幅值增益gξ為

(7)

式中：G為剪切模量；C為Kalker線性理論常數(shù)。

Δξ和ΔFξ之間的相位差為

Δφ=φF-φ0

(8)

式中：φF為蠕滑力的相位角。

非穩(wěn)態(tài)蠕滑力相對(duì)蠕滑率的滯后效應(yīng)見圖1。

圖1 蠕滑力滯后效應(yīng)

在考慮其他方向蠕滑率共同影響的情況下，使用簡(jiǎn)諧波動(dòng)蠕滑率輸入時(shí)，其他方向蠕滑率采用恒定參考蠕滑率。對(duì)同一蠕滑率工況，通過(guò)計(jì)算多個(gè)不同波長(zhǎng)比Lξ/a，可以獲得一系列的幅值增益和相位。根據(jù)公式(9)—式(11)，可將一系列幅值增益和相位的觀測(cè)值點(diǎn)對(duì)(gξ，Δφ)在復(fù)平面上采用Nyquist圖表示出來(lái)。

G(jω)=Re[G(jω)]+j Im[G(jω)]

(9)

A(ω)=|G(jω)|

(10)

(11)

式中：A(ω),φ(ω)分別為傳遞函數(shù)的幅值增益和相位。

采用最小二乘法在復(fù)平面上對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行擬合，則可以獲得蠕滑率/蠕滑力的傳遞函數(shù)。

2.1 單一方向蠕滑率對(duì)傳遞函數(shù)的影響

輸入簡(jiǎn)諧波動(dòng)的縱向蠕滑率，利用CONTACT程序計(jì)算輸出縱向蠕滑力。分別選取參考蠕滑率為0.1‰,1.0‰,2.0‰和3.0‰的工況，通過(guò)輸入多組不同波長(zhǎng)的縱向蠕滑率，計(jì)算并擬合出縱向蠕滑率與縱向蠕滑力的傳遞函數(shù)。橫向蠕滑率/橫向蠕滑力、自旋蠕滑率/橫向蠕滑力擬合傳遞函數(shù)的方法與其一致。圖2為蠕滑力隨波長(zhǎng)比Lξ/a變化的Nyquist圖。

參考蠕滑率/‰ 0.1 1.0 2.0 3.0圖2 蠕滑力隨波長(zhǎng)比Lξ/a變化的Nyquist圖

Nyquist圖上的橫坐標(biāo)為A(ω)sin[φ(ω)]，即幅值增益在虛軸上的分量;縱坐標(biāo)為A(ω)cos[φ(ω)]，即幅值增益在實(shí)軸上的分量，其中ω取4πa/Lξ。對(duì)于圖2中同一參考蠕滑率下的每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，輸入波長(zhǎng)都采用了不同的波長(zhǎng)比Lξ/a。圖2(a)表示以縱向蠕滑率為輸入，縱向蠕滑力作為輸出計(jì)算幅值增益和相位。

縱向蠕滑率/縱向蠕滑力、橫向蠕滑率/橫向蠕滑力傳遞函數(shù)可采用一階傳遞函數(shù)1/[a0+a1(jω)]進(jìn)行擬合；自旋蠕滑率/橫向蠕滑力可采用三階傳遞函數(shù)1/[a0+a1(jω)+a2(jω)2+a3(jω)3]進(jìn)行擬合。傳遞函數(shù)系數(shù)如表1—表3所示。

表1 縱向蠕滑率/縱向蠕滑力傳遞函數(shù)系數(shù)

表2 橫向蠕滑率/橫向蠕滑力傳遞函數(shù)系數(shù)

表3 自旋蠕滑率/橫向蠕滑力傳遞函數(shù)系數(shù)

從計(jì)算結(jié)果中可以看出隨著參考縱向、橫向或自旋蠕滑率不斷增大，對(duì)于同一波長(zhǎng)蠕滑率的蠕滑力幅值增益不斷減小，相位延遲略有增加。傳遞函數(shù)系數(shù)隨蠕滑率的增加逐漸增加。自旋蠕滑率/橫向蠕滑力傳遞函數(shù)常數(shù)項(xiàng)和一階系數(shù)隨自旋蠕滑率的增加逐漸增加，二階系數(shù)基本不變，三階系數(shù)隨自旋蠕滑率的增加逐漸降低。為了對(duì)該傳遞函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，選取了Lξ=5a的蠕滑率簡(jiǎn)諧波動(dòng)工況，蠕滑力對(duì)比結(jié)果如圖3所示。可見使用非穩(wěn)態(tài)傳遞函數(shù)方法和使用Kalker理論計(jì)算所得蠕滑力幅值和相位均具有較好的一致性。

圖3 Kalker理論與非穩(wěn)態(tài)傳遞函數(shù)方法蠕滑力對(duì)比

2.2 其他方向蠕滑率對(duì)傳遞函數(shù)的影響

在2.1節(jié)中對(duì)傳遞函數(shù)進(jìn)行計(jì)算時(shí)默認(rèn)其他方向的蠕滑率為0。線性蠕滑理論公式假設(shè)橫向蠕滑率對(duì)縱向蠕滑力以及縱向蠕滑率對(duì)橫向蠕滑力均沒有影響，但事實(shí)上其他方向的蠕滑率對(duì)傳遞函數(shù)的性質(zhì)也會(huì)造成一定影響。為研究其他方向蠕滑率對(duì)傳遞函數(shù)的影響，設(shè)計(jì)2個(gè)計(jì)算工況。

工況1：在縱向參考蠕滑率不變的情況下，施加不同的橫向參考蠕滑率(橫向波動(dòng)蠕滑率分量為0)，分別為0.1‰,1.0‰,2.0‰,3.0‰，從而研究橫向蠕滑率對(duì)縱向蠕滑率/縱向蠕滑力傳遞函數(shù)的影響。

工況2：在橫向參考蠕滑率不變的情況下，施加不同的縱向參考蠕滑率(縱向波動(dòng)蠕滑率分量為0)，從而研究縱向蠕滑率對(duì)橫向蠕滑率/橫向蠕滑力傳遞函數(shù)的影響。

工況1中，縱向蠕滑率簡(jiǎn)諧波動(dòng)時(shí)縱向蠕滑力隨波長(zhǎng)比Lξ/a及橫向參考蠕滑率變化如圖4(a)所示。工況2中，橫向蠕滑率簡(jiǎn)諧波動(dòng)時(shí)橫向蠕滑力隨波長(zhǎng)比Lξ/a及縱向參考蠕滑率變化如圖4(b)所示。

其他方向的參考蠕滑率/‰ 0.1 1.0 2.0 3.0圖4 蠕滑力隨波長(zhǎng)比及其他方向參考蠕滑率 變化的Nyquist圖

可采用一階傳遞函數(shù)1/[a0+a1(jw)]對(duì)圖4進(jìn)行擬合。工況1采用縱向參考蠕滑率計(jì)算出的傳遞函數(shù)系數(shù)見表4。工況2采用橫向參考蠕滑率計(jì)算出的傳遞函數(shù)系數(shù)見表5。

表4 工況1傳遞函數(shù)系數(shù)

表5 工況2傳遞函數(shù)系數(shù)

工況1中，采用多種縱向參考蠕滑率計(jì)算的傳遞函數(shù)系數(shù)見圖5；工況2中，采用多種橫向參考蠕滑率計(jì)算的傳遞函數(shù)系數(shù)見圖6。

圖5 工況1傳遞函數(shù)系數(shù)

圖6 工況2傳遞函數(shù)系數(shù)

結(jié)果表明隨著橫向參考蠕滑率的增加，同一波長(zhǎng)縱向蠕滑率的蠕滑力幅值增益不斷減小，相位延遲略有增加。且橫向蠕滑率對(duì)幅值增益的影響隨縱向蠕滑率的增加逐漸減小。當(dāng)縱向蠕滑率達(dá)到3.0‰時(shí)，橫向蠕滑率在0.1‰,1.0‰,2.0‰,3.0‰時(shí)的幅值增益均十分接近。傳遞函數(shù)系數(shù)a0和a1均隨縱向蠕滑率以及橫向蠕滑率的增加而增加。不同縱向參考蠕滑率時(shí)橫向蠕滑率/橫向蠕滑力傳遞函數(shù)規(guī)律與其一致。

3 結(jié)論

1)相對(duì)于傳統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸模型，非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸模型能夠體現(xiàn)接觸參數(shù)高頻變化對(duì)接觸力的影響，更適用于研究高速鐵路在高頻激勵(lì)作用下的輪軌瞬態(tài)響應(yīng)問(wèn)題。使用非穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)接觸模型計(jì)算蠕滑率簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)蠕滑力幅值增益減小，相位滯后。且隨著蠕滑率簡(jiǎn)諧波動(dòng)波長(zhǎng)比Lξ/a的減小，蠕滑力幅值增益減小程度越大，相位滯后越多。

2)使用非穩(wěn)態(tài)傳遞函數(shù)方法和Kalker三維滾動(dòng)接觸精確解方法計(jì)算時(shí)，蠕滑力幅值和相位均具有較好的一致性。隨著參考蠕滑率不斷增大，對(duì)于同一波長(zhǎng)蠕滑率的蠕滑力幅值增益不斷減小，相位延遲略有增加。

3)在縱向蠕滑率簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)，橫向參考蠕滑率的增大會(huì)減小縱向蠕滑力的幅值增益，但對(duì)縱向蠕滑力的相位滯后影響不大。這種幅值增益的減小效果隨著橫向參考蠕滑率的增大而逐漸減小。在橫向蠕滑率簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)，縱向參考蠕滑率對(duì)橫向蠕滑力的影響與之相似。