高正暉

（廣東科技學(xué)院（松山湖校區(qū)）通識教育學(xué)院，廣東 東莞 523330）

0 引言

研究環(huán)境污染對生物種群的影響是屬于生態(tài)毒理學(xué)（Ecotoxicology）[1]的范疇，Ecotoxicology這一詞匯是由Truhaut在1969年創(chuàng)造的，它是由毒理學(xué)（Toxicology）與生態(tài)學(xué)（Ecology）結(jié)合而成，是毒理學(xué)向生態(tài)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展.毒理學(xué)通常是研究毒素對生物個體的影響，而生態(tài)毒理學(xué)則是研究釋放在環(huán)境中的毒素對生物種群、群落、乃至生態(tài)系統(tǒng)的影響.研究污染環(huán)境中種群的生存狀況及其變化規(guī)律也隨之成為數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)領(lǐng)域中的熱點問題，在20世紀(jì)80年代，T.G.Hallam及其同事[2-4]假設(shè)種群的增長率線性地依賴種群對毒素的吸收率，建立了環(huán)境中的毒素對單種群影響的基本生態(tài)毒理學(xué)模型：

其中x（t）表示t時刻種群的密度，Ce（t）表示t時刻環(huán)境中的毒素濃度，r表示無污染時種群的內(nèi)票增長率，K表示環(huán)境容納量，r1Ce表示種群由于吸收了環(huán)境中污染物的濃度以后而導(dǎo)致種群減少的劑量反應(yīng)函數(shù)，hCe表示由于生物轉(zhuǎn)移、揮發(fā)、細(xì)菌的退化和死亡以及其他等因素所引起的污染物濃度的減少，u*為外界向環(huán)境的毒素輸入率.

分?jǐn)?shù)階微積分（Fractional calculus）[9-17]是數(shù)學(xué)分析的一個領(lǐng)域，它主要研究任意階積分和導(dǎo)數(shù)的理論及其應(yīng)用，是傳統(tǒng)的整數(shù)階微積分的推廣，分?jǐn)?shù)階微分方程是含有非整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的方程.近年來，分?jǐn)?shù)階微積分及分?jǐn)?shù)階微分方程理論在物理、化學(xué)、生物、環(huán)境科學(xué)、控制、工程以及金融等許多領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用已引起了相當(dāng)大的影響，吸引了越來越多的學(xué)者關(guān)注.因為分?jǐn)?shù)階微分方程比整數(shù)階方程更精確的描述了客觀世界，因此對于分?jǐn)?shù)階微分方程的研究，不但具有重要的理論價值，而且還有十分廣泛的應(yīng)用價值，這些應(yīng)用極大的促進(jìn)了分?jǐn)?shù)階微分方程理論的發(fā)展.

如今，分?jǐn)?shù)階生態(tài)毒理學(xué)模型是一個前沿研究課題，若將系統(tǒng)（M″）中的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)替代，就得到了分?jǐn)?shù)階生態(tài)毒理學(xué)模型：

在這篇文章中，我們的目的是借助數(shù)學(xué)手段，建立環(huán)境中的毒素對單種群影響的分?jǐn)?shù)階生態(tài)毒理學(xué)的數(shù)學(xué)模型（M），應(yīng)用分?jǐn)?shù)階微積分及分?jǐn)?shù)階微分方程理論，并結(jié)合微分方程的定性與穩(wěn)定性分析方法，給出分?jǐn)?shù)階生態(tài)毒理學(xué)模型（M）在平衡點的穩(wěn)定性的判定條件.

1 預(yù)備知識與引理

本節(jié)中我們給出了本文要用到的分?jǐn)?shù)階微積分算子的定義和引理，令C[0，T]，T＞0是定義在[0，T]上的所有連續(xù)函數(shù)的集合.

2 分?jǐn)?shù)階生態(tài)毒理學(xué)模型（M）的平衡點與穩(wěn)定性分析

3 結(jié)論