范曉東，宋 艷

(1.吉林化工學(xué)院 理學(xué)院，吉林 吉林 132022；2.呂叔湘中學(xué)，江蘇 丹陽 212300)

近年來，多項(xiàng)式回歸在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中處理非線性擬合問題時(shí)應(yīng)用廣泛[1]，但是多項(xiàng)式回歸要達(dá)到比較好的擬合效果需要設(shè)置較高的階數(shù)。多項(xiàng)式階數(shù)越高曲線就會(huì)越光滑，但在定義域的邊界處會(huì)出現(xiàn)奇異的形狀[2]。樣條回歸作為一種非線性擬合的方法，采用分段多項(xiàng)式的方法來擬合數(shù)據(jù)，并且可以通過增加節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)并保持階數(shù)不變的情況下，得到很好的擬合效果[3]。文章介紹樣條回歸的基本理論并且通過分析具體的物理實(shí)驗(yàn)介紹樣條回歸的應(yīng)用方法。

1 樣條回歸分析

假設(shè)在一組實(shí)驗(yàn)中觀測到n個(gè)獨(dú)立的數(shù)據(jù)，設(shè)Xi，Yi分別表示預(yù)測變量和響應(yīng)變量i=1,…,n。假設(shè)Yi和Xi服從下面的回歸模型：

yi=β0+β1b1(xi)+β2b2(xi)+…+βK+3bK+3(xi)+εi,

(1)

其中εi是誤差項(xiàng)，b1(·)，b2(·),…,bK+3(·)是給定的樣條基函數(shù)[4]和β0,β1,…,βK+3是回歸系數(shù)[3]。

特別地，在擬合問題中我們最常采用的是三次樣條回歸，在xi,i=1,2,…,n的整個(gè)取值空間上選取K個(gè)分割點(diǎn)ξ1,ξ2,…,ξK，那么具有K個(gè)節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)的表達(dá)式為

(2)

樣條回歸的一個(gè)關(guān)鍵的問題是如何選擇節(jié)點(diǎn)，包括節(jié)點(diǎn)的位置和節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。一般的，選擇節(jié)點(diǎn)時(shí)我們在數(shù)據(jù)變化較快的地方，設(shè)置較多的節(jié)點(diǎn)。在數(shù)據(jù)變化較穩(wěn)定的地方，設(shè)置較少的節(jié)點(diǎn)，但最常采取的方法是節(jié)點(diǎn)選在均勻分位數(shù)點(diǎn)上，例如選擇三個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)可以選擇25%,50%,75%分位數(shù)作為節(jié)點(diǎn)的位置，選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，可以選擇50%分位數(shù)作為節(jié)點(diǎn)的位置。節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的選擇可以采用交叉驗(yàn)證的方法進(jìn)行，也可以嘗試多個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，選擇“形狀最理想”的曲線。

2 實(shí)例分析

2.1 用沖擊電流計(jì)測螺線管磁場實(shí)驗(yàn)

表1 用沖擊電流計(jì)測螺線管磁場實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

圖1 用沖擊電流計(jì)測螺線管磁場擬合圖

##R語言的實(shí)驗(yàn)代碼為：

Cichang<-read.table("Cichang.txt")## Cichang.txt為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

V1.grid=seq(from=V1lims[1],to=V1lims[2])

library(splines)

fit=lm(V2～bs(V1,knots=c(70)),data=Cichang2)

近年來，全國各地圖書館不斷加大數(shù)字公共文化設(shè)施投入力度，購置3D立體書、VR閱讀設(shè)備、電子圖書借閱機(jī)等數(shù)字閱讀設(shè)備，還舉辦VR閱讀相關(guān)的科普活動(dòng)，為各個(gè)年齡段的讀者提供了全方位的知識服務(wù)平臺，不斷滿足人民群眾的閱讀需求。

pred=predict(fit,newdata=list(V1=V1.grid),se=T)

col="gray",data=Cichang2,xlab="探測線圈位置(mm)",ylab="Bx*0.001實(shí)驗(yàn)值(T)")

2.2 不同溫度下水的黏度實(shí)驗(yàn)

表2 不同溫度下水的黏度數(shù)據(jù)

圖2 不同溫度下水的黏度擬合圖

##R語言的實(shí)驗(yàn)代碼為：

Shuinianxing<-read.table("Shuinianxing.txt")## Shuinianxing.txt為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

V1.grid=seq(from=V1lims[1],to=V1lims[2])

library(splines)

fit=lm(V2～bs(V1,knots=c(50)),data=Shuinianxing)

pred=predict(fit,newdata=list(V1=V1.grid),se=T)

3 結(jié) 論

利用三次樣條回歸方法對兩個(gè)物理實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了分析，第一個(gè)實(shí)驗(yàn)是用沖擊電流計(jì)測螺線管磁場實(shí)驗(yàn)，第二個(gè)實(shí)驗(yàn)室是不同溫度下水的黏度，都得到了非常好的擬合效果。方法可以應(yīng)用到其他物理實(shí)驗(yàn)的非線性擬合問題，為我們分析物理實(shí)驗(yàn)的非線性擬合問題提供了一種比較好的方法。