王雙，李軍利，王慧，孟芳霞，喬從豐

(1 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)材料科學(xué)與光電技術(shù)學(xué)院， 北京 100049； 2 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院， 北京 100049)

海森堡在用光探測(cè)電子位置的假想實(shí)驗(yàn)中引入不確定原理的概念，論述了典型的正則量x和p僅能在一個(gè)特定的不確定度下才能被同時(shí)測(cè)定[1]。人們最熟悉的不確定關(guān)系式[2]是如下形式

(1)

其中:方差ΔX2=〈X2〉-〈X〉2表征可觀測(cè)量的不確定度，[X,Y]=XY-YX是對(duì)易子。此后，熵不確定關(guān)系也得到了迅速發(fā)展[3]。熵作為一種不確定性的度量，具有在算符本征值重新標(biāo)記下保持不變的特性。熵不確定關(guān)系的典型形式[4]為

(2)

pX⊕pYs,

(3)

式中向量s僅依賴于可觀測(cè)量X和Y?？刂撇坏仁絧q的含義是時(shí)等號(hào)成立。上標(biāo)↓表示將向量的分量按降序排列。

對(duì)于不同類型的不確定關(guān)系，如方差、熵或控制不等式，新的更優(yōu)形式仍然是量子信息理論中的熱點(diǎn)問題[10]。盡管已有很多研究，但是新形式的不確定關(guān)系多數(shù)未針對(duì)混合態(tài)進(jìn)行優(yōu)化。對(duì)于量子比特系統(tǒng)(兩維量子系統(tǒng))，有如下適用于任何混態(tài)系統(tǒng)且完整描述不確定性大小的方差型不確定關(guān)系[11]

(p2-1+ΔX2)(p2-1+ΔY2)

(4)

這里p2=2Tr[ρ2]-1∈[0,1]表征密度矩陣ρ的純度，g=Tr[XY]/2。在熵不確定關(guān)系中，量子記憶輔助的不確定關(guān)系使方程(2)具有如下適用于混態(tài)的改進(jìn)形式[12]

(5)

其中S(ρ)≡-Tr[ρlogρ]是密度矩陣ρ的馮諾依曼熵。對(duì)于多個(gè)可觀測(cè)量或高維系統(tǒng)，式(5)可被進(jìn)一步改進(jìn)[13-14]。但是這些改進(jìn)在量子比特系統(tǒng)時(shí)退化至方程(5)[10]。不同于方差和熵不確定關(guān)系，直和形式的控制不等式型不確定關(guān)系最優(yōu)邊界在理論上被證明是存在的[9]。在量子比特系統(tǒng)中，最優(yōu)邊界有如下形式[9]

pX⊕pYs(ρ)=λ2s↓+λ1s↑.

(6)

這里λ1≤λ2是密度矩陣ρ的2個(gè)本征值，上標(biāo)↑表示對(duì)向量分量進(jìn)行升序排列。

實(shí)驗(yàn)方面，文獻(xiàn)[15]在自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換(spontaneous parametric down conversion, SPDC)的單光子源系統(tǒng)中，驗(yàn)證了下限依賴于被測(cè)量子態(tài)及其正交態(tài)的一種較為緊致的方差型不確定關(guān)系?；谙嗤瑔喂庾蛹夹g(shù)，人們?cè)诹孔颖忍叵到y(tǒng)[16-17]或者高維系統(tǒng)[18]中檢驗(yàn)了多個(gè)可觀測(cè)量下的改進(jìn)型不確定關(guān)系，以及同時(shí)包含上下限的不確定關(guān)系[19]。利用熵函數(shù)[20]和洛倫茲曲線[21]等，控制不等式型不確定關(guān)系也在SPDC光源下進(jìn)行了驗(yàn)證。金剛石色心是另一種單光子源，可以被用作量子比特或量子三態(tài)(qutrit)系統(tǒng)。在該系統(tǒng)中，人們對(duì)基于量子比特系統(tǒng)的三可觀測(cè)量的方差型不確定關(guān)系[22]和適用于多個(gè)可觀測(cè)量的熵不確定關(guān)系[23]進(jìn)行了驗(yàn)證。不同于單量子系統(tǒng)，我們利用相干光源對(duì)方差不確定關(guān)系和控制不等式型不確定關(guān)系同時(shí)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[24]。

盡管在純態(tài)的實(shí)驗(yàn)研究上已有眾多實(shí)驗(yàn)，但文獻(xiàn)中未見專門針對(duì)混態(tài)的不確定關(guān)系的實(shí)驗(yàn)研究。只在最近，文獻(xiàn)[25]利用中子自旋混態(tài)對(duì)類似于式(4)的方差型不確定關(guān)系和相關(guān)的熵不確定關(guān)系進(jìn)行了驗(yàn)證。本文展示一個(gè)利用相干光檢驗(yàn)混態(tài)下控制不等式型不確定關(guān)系的實(shí)驗(yàn)研究。我們使用分束器對(duì)兩束波長(zhǎng)不同的相干光合束，從而獲得指定混度下的偏振混態(tài)密度矩陣。通過對(duì)該混態(tài)系統(tǒng)的斯托克斯(Stokes)參量的測(cè)量，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了直和控制不等式型不確定關(guān)系在混態(tài)下是最優(yōu)的。

1 理論預(yù)測(cè)

(7)

(8)

在偏振態(tài)ρ下泡利算符的期望值為

(9)

考慮如下2個(gè)可觀測(cè)量X和Z：

(10)

(11)

(12)

類似地，可以得到其他可觀察量的測(cè)量概率分布。對(duì)于式(10)、式(11)的可觀測(cè)值Z和X(θ)，控制不等式型不確定關(guān)系為

pZ⊕pX(θ)s(ρ)=λ2s↓+λ1s↑.

(13)

(14)

其中S(θ)=cosθS1+sinθS2。這是我們將要實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的不確定關(guān)系(6)的等價(jià)表示。

2 實(shí)驗(yàn)過程

實(shí)驗(yàn)裝置如圖 1 所示，808 nm的相干光功率為0.36 mW，780 nm的相干光功率根據(jù)目標(biāo)態(tài)在0.36～1.44 mW之間調(diào)節(jié)。兩束光從兩路經(jīng)過波片組(半波片H1/H2、偏振片P1/P2和1/4波片Q1/Q2)以進(jìn)行偏振態(tài)的制備。其中半波片和1/4波片的波長(zhǎng)范圍是(800±25) nm，極化片的波長(zhǎng)范圍是600～1 100 nm。功率計(jì)對(duì)780和808 nm的光響應(yīng)效率分別為5.46和5.9 mA/W，對(duì)兩種波長(zhǎng)的相干光的實(shí)際使用功率均小于2 mW，光響應(yīng)效率造成的影響可忽略不計(jì)。

圖1 實(shí)驗(yàn)光路圖Fig.1 Experimental setup

808 nm相干光制備為|ψ〉=cosα|H〉+sinα|V〉，780 nm相干光制備為|ψ⊥〉(〈ψ⊥|ψ〉=0)。兩束相干光在50/50分束器中合束。在輸出端口，探測(cè)器光強(qiáng)之間有以下關(guān)系

ID=Iω1+Iω2,

(15)

ID(X)=Iω1|〈x|ψ〉|2+Iω2|〈x|ψ⊥〉|2.

(16)

其中：Iωi是光束i在探測(cè)器處的光強(qiáng)，而|x〉是探測(cè)器之前的偏振片的透光方向，參見圖1。利用Iω1+Iω2=Tr[Iω1|ψ〉〈ψ|+Iω2|ψ⊥〉〈ψ⊥|]，式(16)可以自然地導(dǎo)出

(17)

其中ρ≡(Iω1|ψ〉〈ψ|+Iω2|ψ⊥〉〈ψ⊥|)/ID是一個(gè)歸一化偏振態(tài)，而px即為相應(yīng)偏振測(cè)量概率。于是獲得如下偏振混態(tài)：

ρ(λ1,α)=ρ=λ1|ψ〉〈ψ|+λ2|ψ⊥〉〈ψ⊥|.

(18)

此處λ1=Iω1/ID，λ1+λ2=1。注意，這里并不能通過對(duì)2個(gè)獨(dú)立光源的偏振態(tài)|ψ〉 和|ψ⊥〉分別測(cè)量，然后將測(cè)量所得概率分布以權(quán)重λ1和λ2相加的形式來獲得混態(tài)下不確定關(guān)系的測(cè)定。這是因?yàn)?，分開的獨(dú)立測(cè)量將是對(duì)2個(gè)不同希爾伯特空間中的物理量進(jìn)行的，它們之間沒有相應(yīng)的對(duì)易關(guān)系。

圖2 混態(tài)測(cè)試結(jié)果Fig.2 Test results of mixed states

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

(19)

圖3 可觀測(cè)量Z和在偏振混態(tài)下的控制不等式型不確定關(guān)系的實(shí)驗(yàn)測(cè)量Fig.3 Experimental measurement of the majorization uncertainty relation of observables Z and in polarization mixed states

4 總結(jié)

本文利用相干光制備的量子比特系統(tǒng)對(duì)混態(tài)情況下的控制不等式型不確定關(guān)系進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。通過將兩束不同頻率的相干態(tài)光進(jìn)行合束，提出制備指定偏振混態(tài)的簡(jiǎn)易方法，并對(duì)其進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。通過所得偏振混態(tài)對(duì)不相容物理量進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量，通過測(cè)量概率分布矢量洛倫茲曲線的方式實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證控制不等式型不確定關(guān)系。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在各種混度的偏振態(tài)下，由格理論所得的控制不等式型量子不確定關(guān)系的邊界都是最優(yōu)的，即混態(tài)控制不等式型關(guān)系的最優(yōu)性首次在量子比特系統(tǒng)得到了實(shí)驗(yàn)證實(shí)。由于準(zhǔn)經(jīng)典光學(xué)中混態(tài)易于制備，我們的實(shí)驗(yàn)還為在更一般的(非純態(tài))量子系統(tǒng)中進(jìn)一步檢驗(yàn)廣義測(cè)量(positive operator-valued measure，POVM)的不相容性、量子互文性等量子特性提供了基礎(chǔ)。隨著激光技術(shù)的飛速發(fā)展，用相干光對(duì)非經(jīng)典效應(yīng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試必將進(jìn)一步加深對(duì)量子不確定關(guān)系的理解及其在高精度測(cè)量中的應(yīng)用。