魏德永，阮永芬，孟 濤，劉高林，王雨潔

(1.昆明理工大學(xué)建筑工程學(xué)院，云南 昆明 650500；2.中鐵三局集團(tuán)廣州公司，廣東 廣州 510000)

由于在巖土工程中存在大量的不確定和不確定性因素,應(yīng)用可靠性理論解決巖土工程中的問題一直比較困難,但有很好的應(yīng)用前景[1].

土工試驗(yàn)后采用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)方法給出巖土參數(shù)值.在巖土工程分析中一般認(rèn)為：若樣本量n≤38，即可認(rèn)為是小樣本[2].Keaton JR[3]王桂林[4]、朱煥珍[5]、蘇永華[6]、Luis-Fer nando Contreras[7-8]、阮永芬[9]等采用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)方法和Bayes法去推斷巖土參數(shù)，并取得很好的成果.

1 Bayes大樣本方法確定的巖土參數(shù)

對(duì)滇池湖湘沉積的特殊軟土如泥炭質(zhì)土、粉土及黏土等力學(xué)指標(biāo)c、φ進(jìn)行收集，因?yàn)閹r土參數(shù)會(huì)隨取樣場地不同而存在較大的變異性[1]，故把數(shù)據(jù)收集范圍局限在昆明滇池會(huì)展中心，分地層對(duì)參數(shù)進(jìn)行收集及相關(guān)計(jì)算.

對(duì)收集的樣本，采用宮鳳強(qiáng)[10]等提出的同時(shí)考慮峰度和偏度的方法對(duì)參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整后的樣本量作為先驗(yàn)信息作出樣本頻率直方圖如圖1所示.根據(jù)張繼周[11]等提出的方法，把巖土參數(shù)視為隨機(jī)變量，確定了樣本分布的最佳概率分布類型，檢驗(yàn)結(jié)果如表1.從圖1和表1可看出，三種土c、φ的先驗(yàn)分布都符合N(μ,σ2)正態(tài)分布，μ、σ分別為均值及方差.

圖1 先驗(yàn)信息分布圖Fig.1 prior information distribution

表1 巖土參數(shù)概率分布的K-S檢驗(yàn)Tab.1 K-S test of probability distribution of geotechnical parameters

1.1 Bayes-Bootstrap法擴(kuò)大樣本及超參數(shù)計(jì)算

由圖1可知三種土的力學(xué)參數(shù)樣本量最大的為粉土，n=90；泥炭質(zhì)土的最小n=66.與文獻(xiàn)[9]相比樣本量還較少，因此需對(duì)巖土參數(shù)進(jìn)行擴(kuò)充，使樣本量n≥200.駱飛[12]、孫慧玲[13-14]、何成銘[15]等對(duì)Bayes- Bootstrap法下的數(shù)據(jù)的重構(gòu)提出了不同的方法.綜合對(duì)比各種方法下的數(shù)據(jù)重構(gòu)，最后發(fā)現(xiàn)基于插值法改進(jìn)的Bayes-Bootstrap法比一般的Bayes法或者Boot- strap法的數(shù)據(jù)重構(gòu)不僅存在效率較高，而且也能逐步擴(kuò)展到取樣之外的樣本信息的優(yōu)勢(shì).故本文把勘察得到的小樣本作為先驗(yàn)信息，基于插值法改進(jìn)的Bayes- Bootstrap法對(duì)樣本進(jìn)行擴(kuò)充.方法如下：

設(shè)x1,x2,x3，…，xn是從某層土的總體樣本中隨機(jī)抽取的有限樣本，并將這些樣本按照某一步距h隨機(jī)分為k組(h，k都為整數(shù))，其中h=n/k.每組樣本里有h個(gè)數(shù)據(jù)，B1=(x1,x2,…,xh),…,Bk=(xk,xk+1,…,xn).其中k=n-h+1.則樣本量矩陣為

(1)

此時(shí)僅對(duì)原樣本分組，樣本容量沒有得到改變.改變樣本量的方法是對(duì)每組數(shù)據(jù)進(jìn)行從小到大排序：

B(1)=(x(1),x(2),…,x(h)),…,B(k)=(x(k),x(k+1),…,x(n))，就得到巖土參數(shù)樣本數(shù)據(jù)的順序的統(tǒng)計(jì)量為

(2)

對(duì)x(i)的觀測(cè)值的做鄰域可得

(3)

經(jīng)筆者試算取不同的m值時(shí)采用式(3)擴(kuò)展形成的樣本與原始數(shù)據(jù)的相似度很高，不足以表征地層的總體信息，因此把式(3)加以改正，采用另外一種方式去對(duì)樣本量進(jìn)行擴(kuò)展，如式(4).

(4)

此時(shí)x(0)便可從式(5)中確定(取區(qū)間的左端點(diǎn)值)：

(5)

x(h+1)從式(6)中確定(取區(qū)間的右端點(diǎn)值)：

(6)

每次計(jì)算結(jié)束后樣本增加2個(gè)，之后對(duì)第2組到第k組的樣本量進(jìn)行重復(fù)操作，完成之后樣本總量擴(kuò)充為n1+2k個(gè)，依次重復(fù)上述步驟，直至樣本達(dá)到各個(gè)參數(shù)的樣本量n≥200.之后做出各個(gè)參數(shù)樣本頻率直方圖如圖2.同理可做出K-S檢驗(yàn)表，也能驗(yàn)證圖2也是符合正態(tài)分布的.但限于篇幅問題，不再一一列舉.

圖2 插值改進(jìn)Bayes-Bootstrap擴(kuò)充后的樣本分布圖Fig.2 The sample distribution after extended Bayes-Bootstrap

表2 超參數(shù)計(jì)算表Tab.2 Calculation table of super parameters

表2中n0、μ0、σ0和n、μ、σ分別為先驗(yàn)分布圖1中及改進(jìn)Bayes -Bootstrap擴(kuò)展后的分布圖2中樣本的樣本量、均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差.得到超參數(shù)后，通過MATLAB做出三種土六種參數(shù)的先驗(yàn)、樣本、后驗(yàn)分布圖，如圖3.

從圖3可以看出，三種土六個(gè)參數(shù)的先驗(yàn)分布與樣本分布的形式基本一致.因?yàn)樵跀?shù)據(jù)重構(gòu)過程中某個(gè)值的頻率如果很大，該值在數(shù)據(jù)重構(gòu)時(shí)所占比重會(huì)很大，故先驗(yàn)分布與樣本分布均值很接近，一定程度上對(duì)原始先驗(yàn)樣本的依賴性較高，故兩者的相似性較高.另外隨著樣本增加參數(shù)均值也是逐漸收斂的，也說明巖土參數(shù)不需要達(dá)到200以上，僅需要一個(gè)合適的樣本量，此時(shí)既能得到準(zhǔn)確的參數(shù)取值，也可節(jié)約成本.另外比較三種土c的后驗(yàn)分布都較先驗(yàn)分布、樣本分布集中，取值更加方便；而三種土φ的后驗(yàn)分布則表現(xiàn)出與樣本和先驗(yàn)分布之間區(qū)別不是很大，從表1可知三種土φ的先驗(yàn)與樣本分布中標(biāo)準(zhǔn)偏差σ2都較小(最大為1.77)，故數(shù)據(jù)間的離散性不是很強(qiáng)，導(dǎo)致Bayes大樣本法的后驗(yàn)分布與樣本和先驗(yàn)分布相比的效果不是很明顯，尤其4-0-0層粉土φ的(σ2=0.34)后驗(yàn)分布的擬合效果遠(yuǎn)不及樣本和先驗(yàn)分布，但是由于樣本的增加，最大后驗(yàn)分布密度可信區(qū)間是在減小的，這與分布的形式無關(guān).圖3也在一定程度上說明了樣本的增加，確實(shí)可更準(zhǔn)確、更方便地確定巖土參數(shù)的取值.隨著樣本的增加，各地層參數(shù)取值是逐漸收斂的，但是樣本應(yīng)該取為多少？也就是說沒必要把樣本量勘察很大，需要一個(gè)合理的樣本量，它既能節(jié)約成本，又能帶來準(zhǔn)確的地層信息.

圖3 力學(xué)參數(shù)樣本、先驗(yàn)、后驗(yàn)概率分布圖Fig.3 Sample, prior and posterior probability distribution of mechanical parameters

1.2 巖土參數(shù)Bayes法最大后驗(yàn)密度可信區(qū)間

通常情況下一個(gè)區(qū)間的選擇是否合理，區(qū)間的精度即區(qū)間長度是可以通過可信度1-α來反應(yīng)的.理論上區(qū)間可信度1-α越大，區(qū)間越短效果越好.通常尋找最優(yōu)可信區(qū)間的方法是給定一個(gè)α，控制可信度(本文中α=0.05，即可信度為95%)，尋找長度最短的區(qū)間.通?？色@得的可信度為1-α的區(qū)間不止一個(gè)，但必定會(huì)有一個(gè)是最短的[2].等尾可信區(qū)間[16]在實(shí)際中應(yīng)用較為廣泛，且計(jì)算方便，但是不是最好的，即區(qū)間長度還不是最短.若后驗(yàn)分布是單峰對(duì)稱，則等尾可信區(qū)間是最好的.要使可信區(qū)間最短，并且把后驗(yàn)密度的點(diǎn)都包含進(jìn)去，而在區(qū)間外的點(diǎn)的后驗(yàn)密度值都不會(huì)超過區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)的后驗(yàn)密度值，這樣的區(qū)間就稱為最大后驗(yàn)密度可信區(qū)間，如圖4所示.

圖4 最大后驗(yàn)密度可信區(qū)間示意圖Fig.4 Schematic diagram of confidence interval of maximum posteriori density

其中，kn=n+k.

此時(shí)參數(shù)μ的最大后驗(yàn)密度可信區(qū)間為

(8)

μk=γsμ

(9)

式中：μk為土體參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)值；γs為統(tǒng)計(jì)修正系數(shù)，即

(10)

考慮到不利組合，對(duì)于抗剪強(qiáng)度指標(biāo)γs取負(fù)號(hào)[1]，式中n、μ、σ分別為Bayes -Bootstrap擴(kuò)展后的樣本分布圖3中樣本量、均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差.據(jù)此就可得到三種土c、φ的最大后驗(yàn)密度可信區(qū)間、標(biāo)準(zhǔn)值、經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)區(qū)間等，如表3.

表3 力學(xué)參數(shù)的后驗(yàn)密度可信區(qū)間Tab.3 Posterior density confidence interval of mechanical parameters

2 Bayes法巖土參數(shù)最小樣本量的確定

隨著樣本數(shù)的增加，樣本的特征參數(shù)值是逐漸收斂的.但要獲得大量數(shù)據(jù)，需要花費(fèi)巨大成本，統(tǒng)計(jì)分析的目的就是在花費(fèi)成本與可靠值之間尋找一個(gè)平衡點(diǎn)，力求最小費(fèi)用情況下獲得最準(zhǔn)確參數(shù).

2.1 巖土參數(shù)的變異性與達(dá)到收斂值時(shí)最小樣本量確定

傳統(tǒng)的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)方法指出，確定巖土參數(shù)的取值時(shí)，樣本一般取件不超過20件，但是這樣巖土參數(shù)概率分布的特征參數(shù)是否收斂，這值得考驗(yàn)，因此本文從大樣本角度論述了巖土參數(shù)取值達(dá)到收斂時(shí)所需的最小樣本量并給出建議值.

土體的變異系δ由下式確定：

(11)

式中，μ、σ分別為樣本分布均值及標(biāo)準(zhǔn)方差.

計(jì)算出各土層參數(shù)的變異系數(shù)、各參數(shù)在樣本趨于無窮時(shí)參數(shù)的最后收斂值及該值在95%可信區(qū)間內(nèi)的變動(dòng)范圍作為土體強(qiáng)度參數(shù)的包絡(luò)線，為尋找樣本數(shù)量時(shí)提供參照標(biāo)準(zhǔn).

(12)

在樣本量為200時(shí)，巖土參數(shù)是收斂的，故式(12)中的μ0、k、λ等參數(shù)可以保守地取表2中的值.此時(shí) 對(duì)(12)式取極限為

(13)

據(jù)式(13)便可繪出樣本量與收斂值間的關(guān)系.以泥炭質(zhì)土φ為例，為了與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)方法比較，也在同一個(gè)圖中標(biāo)注了經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)方法的95%及Bayes法的最大后驗(yàn)密度的可信區(qū)間為其包絡(luò)區(qū)間，為尋找合適的樣本量提供依據(jù)，如圖5所示.

由圖5清晰可見，采用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)方法確定的95%最大后驗(yàn)密度可信區(qū)間比Bayes法確定的寬，這是過于保守的.在參數(shù)取值上來說，一定程度上Bayes法比經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)方法更具優(yōu)勢(shì)，但從取樣樣本角度來看，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)方法又比Bayes方法更具優(yōu)勢(shì)，從圖5可知，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)方法達(dá)到樣本量為95%的可信區(qū)間時(shí)，所需要的樣本量僅僅只需要10個(gè)左右，而Bayes方法達(dá)到最大后驗(yàn)密度可信區(qū)間的范圍則需要40個(gè)左右.泥炭質(zhì)土φ的樣本選取上本文提取到了66個(gè)(圖1b圖)，但是采用Baye s-Bootstrap擴(kuò)充后樣本為500個(gè)(圖2b圖)故擴(kuò)充后的樣本是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于Bayes法的最大后驗(yàn)密度可信區(qū)間個(gè)數(shù)的，本文確定的參數(shù)取值是能代表本地層實(shí)際情況的，也是可以為小樣本

圖5 后驗(yàn)均值與樣本量之間的關(guān)系圖Fig.5 Relationship between posterior mean and sample size

方法提供檢驗(yàn)的.同理可做出其余土體指標(biāo)的收斂值和樣本量的關(guān)系圖，從而確定個(gè)土體指標(biāo)達(dá)到收斂值時(shí)的最小樣本量.同時(shí)將經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)方法以及Bayes法下的標(biāo)準(zhǔn)值收斂值等整理歸入表4中.

表4 巖土參數(shù)取值和最小樣本量確定Tab.4 Determination of soil parameters and minimum sample size

3 滇池衛(wèi)城深基坑開挖有限元分析

3.1 基坑模型的建立及參數(shù)取值

Bayes法所確定的收斂值和標(biāo)準(zhǔn)值與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)方法所確定的方法是不同的，為了檢驗(yàn)何種方法確定的參數(shù)取值的準(zhǔn)確性更高，以昆明某地鐵基坑開挖過程為案例，結(jié)合開挖過程中的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，通過maids-GTS NX有限元軟件對(duì)基坑開挖過程進(jìn)行模擬，代入不同方法下確定的土力學(xué)參數(shù)模擬計(jì)算開挖過程中基坑深層水平位移的變化，并和實(shí)際監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比分析，以驗(yàn)證方法的可行性.

滇池衛(wèi)城站位于環(huán)湖東路與紅塔東路交叉口的西南象限.地表以下依次分布著廣泛的素填土、泥炭質(zhì)土、粉土、黏土等.具體開挖順序如圖6：

通過對(duì)勘察報(bào)告的數(shù)據(jù)整理，結(jié)合本文的算法得出滇池衛(wèi)城基坑各個(gè)地層的Bayes法收斂值以及經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)方法c、φ的標(biāo)準(zhǔn)值，采用參數(shù)見表5和表6.

圖6 基坑開挖流程圖Fig.6 Flow chart of foundation pit excavation

表5 基坑開挖模擬分析時(shí)不同地層巖土參數(shù)指標(biāo)取值Tab.5 Values of geotechnical parameters of different strata in foundation pit excavation simulation analysis

表6 模擬計(jì)算時(shí)巖土參數(shù)c、φ取值Tab.6 Values of geotechnical parameters c and φ during simulation calculation

擬建車站為地下二層島式車站，車站主體總外包長度為205.9 m，端頭井段外包寬度25.5 m，基坑深度標(biāo)準(zhǔn)段深度18.49～18.86 m，端頭井段19.19～21.58 m.

擬建工程圍護(hù)結(jié)構(gòu)采用地下連續(xù)墻與內(nèi)支撐相搭配的圍護(hù)體系，其中地下連續(xù)墻采用800 mm厚的墻體為圍護(hù)結(jié)構(gòu).基坑第一道支撐采用800×800現(xiàn)澆鋼筋混凝土支撐，支撐在冠梁上.其他三道支撐為Φ800，t=16 mm的鋼支撐，支撐在連續(xù)墻上.地下連續(xù)墻、冠梁、混凝土支撐、混凝土角撐、導(dǎo)墻采用C30混凝土.鋼筋采用Q235.施工工序如圖6所示，圍護(hù)結(jié)構(gòu)布置及斷面選擇如圖7.

圖7 基坑深層水平位移監(jiān)測(cè)點(diǎn)布置和斷面選擇圖Fig.7 Layout of monitoring points and section selection for deep horizontal displacement of foundation pit

力學(xué)參數(shù)的本構(gòu)模型的選擇對(duì)計(jì)算結(jié)果也影響較大.修正摩爾庫倫準(zhǔn)則能模擬包括軟土和硬土在內(nèi)的不同類型的土體行為的雙硬化(壓縮硬化和剪切硬化)彈塑性模型，它考慮了土體的剪脹特性，引入了屈服帽蓋，土體剛度隨應(yīng)力變化而變化，與實(shí)際情況更加符合，故本文參數(shù)的本構(gòu)模型為修正摩爾庫倫模型.

根據(jù)實(shí)際情況選取監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)比較全面的6個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)斷面進(jìn)行有限元建模分析，監(jiān)測(cè)點(diǎn)布置及斷選擇如圖7所示.本基坑開挖深度H=16 m，因基坑左右兩側(cè)3倍深度范圍內(nèi)影響較大，故基坑左右各取50 m，深度方向取圍護(hù)地下連續(xù)墻深度的2倍，取60 m，按照土層信息對(duì)地層進(jìn)行劃分共計(jì)50 468個(gè)節(jié)點(diǎn)，基坑網(wǎng)格模型如圖8所示：

圖8 滇池衛(wèi)城站有限元二維基坑模型Fig.8 Finite element model of foundation

3.2 監(jiān)測(cè)結(jié)果與模擬結(jié)果對(duì)比分析

如果規(guī)定圖9中紅色部分表示開挖過程中基坑深層水平位移方向向右為正，則左側(cè)藍(lán)色部分為負(fù)，兩者數(shù)值接近，變形方向不同則顏色也不同.通過提取得到不同開挖階段基坑個(gè)某點(diǎn)的深層水平位移、地表沉降等數(shù)據(jù)與實(shí)際監(jiān)測(cè)結(jié)果對(duì)比，如圖10所示.

圖9 截面19開挖完成后水平方向位移云圖Fig.9 Horizontal displacement nephogram of section 19 after excavation

從圖10可以看出，基坑水平位移的有限元計(jì)算結(jié)果與實(shí)際監(jiān)測(cè)結(jié)果相比有如下特點(diǎn)：有限元計(jì)算曲線與實(shí)測(cè)曲線發(fā)展規(guī)律基本一致，均表現(xiàn)為中間部分最大，兩頭較小，在深度26 m范圍內(nèi)，三種曲線的最大值基本出現(xiàn)在相同的位置處；模擬結(jié)果均比實(shí)測(cè)結(jié)果小，用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)方法確定的結(jié)果計(jì)算所得的水平位移最小，Bayes方法次之.但Bayes法計(jì)算值模擬所得的結(jié)果與實(shí)際監(jiān)測(cè)情況更加接近.

圖10 基坑水平位移對(duì)比曲線Fig.10 Comparison curve of horizontal displacement of foundation pit

4 結(jié)論

本文從Bayes大樣本統(tǒng)計(jì)法角度出發(fā)，采用Bayes -Bootstrap法對(duì)勘察所得小樣本進(jìn)行模擬抽樣并且對(duì)樣本進(jìn)行擴(kuò)充，分析巖土參數(shù)的收斂取值，并反過來給出達(dá)到參數(shù)收斂時(shí)的最小樣本量，以一個(gè)實(shí)際基坑工程為例，對(duì)所得參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，可得出主要如下結(jié)論：

(1)巖土參數(shù)在小樣本時(shí)，把勘察樣本加以修正可作為先驗(yàn)信息.樣本不足時(shí)可通過基于插值法改進(jìn)的Bayes-Bootstrap法對(duì)樣本進(jìn)行擴(kuò)充，結(jié)合先驗(yàn)分布，樣本分布推導(dǎo)的后驗(yàn)分布，得出的最大后驗(yàn)密度可信區(qū)間比經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)所得區(qū)間更窄，c、φ的標(biāo)準(zhǔn)值就落在最大后驗(yàn)密度可信區(qū)間內(nèi).且最大后驗(yàn)密度可信區(qū)間與分布的形式無關(guān)，樣本量越大，對(duì)樣本總體的認(rèn)識(shí)越充足，最大后驗(yàn)密度可信區(qū)間越窄，取值越方便；

(3)Bayes法所確定巖土參數(shù)取值區(qū)間較小，但是所需樣本量較大.而經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)法給定巖土參數(shù)區(qū)間較大，精度不高，所需樣本量較少.用Bayes法所確定的參數(shù)取值在基坑開挖時(shí)基坑深層水平位移明顯比用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)方法確定取值效果好，Bayes法的計(jì)算結(jié)果與實(shí)際結(jié)果更加吻合.