李 鈺，石學(xué)芹，呂會影

(1.安徽機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共基礎(chǔ)教學(xué)部，安徽 蕪湖 241000；2.安徽工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

引言

Johnson和Stulz[1]首次在期權(quán)定價問題中考慮交易對手違約的信用風(fēng)險，并將該期權(quán)命名為脆弱期權(quán).近年來國內(nèi)外學(xué)者對于該問題展開了一系列的討論.Johnson和Stulz[1]與Hull和White’s[2]分別從結(jié)構(gòu)化模型和約化模型兩個不同的角度來探討脆弱期權(quán)定價問題.而Klein[3]在研究過程中將信用風(fēng)險與標的資產(chǎn)價值聯(lián)系到一起，將前述的研究結(jié)果進行了進一步的推廣，建立起更符合實際情形的定價模型.國內(nèi)學(xué)者魏正元和高紅霞[4]、劉桂芳[5]、王之淵和陳萍[6]以及張二姚[7]均在文獻[3]的基礎(chǔ)上從不同的角度探討了跳擴散過程下的脆弱期權(quán)定價問題，由實際交易可知，紅利支付對于期權(quán)定價有著直接的影響.為了導(dǎo)出更具有實際市場價值的脆弱期權(quán)定價公式，文中將利用等價鞅測度方法推導(dǎo)出考慮紅利支付的歐式看漲脆弱期權(quán)定價模型.

1 模型描述

本文討論的內(nèi)容為歐式脆弱期權(quán)定價問題，涉及的資產(chǎn)定價模型為期權(quán)標的資產(chǎn)價格方程和期權(quán)賣方資產(chǎn)價格方程，具體如下所示：

dSt=μStdt+σ1StdW1t, dVt=bVtdt+σ2VtdW2t

式中μ和σ1為股票價格的常值期望收益率和波動率，b和σ2為期權(quán)賣方資產(chǎn)價格的常值期望收益率和波動率，Wit(i=1,2)均為標準布朗運動，且Cov(dW1t，dW2t)=ρdt.

利用伊藤公式，可以得到上述方程的解為：

(1)

(2)

在風(fēng)險中性市場中，(lnST,lnVT)滿足二維正態(tài)分布：

2 脆弱歐式期權(quán)定價

定理1在上述假設(shè)之下，歐式脆弱看漲期權(quán)價格為：

C(t,T)=StN2(a1,a2,ρ)-Ke-(r-q)(T-t)N2(b1,b2,ρ)+

其中

證明為了簡化整個計算過程，將C(t,T)拆分成4個部分.即

C(t,T)=e-(r-q)(T-t)[A1-A2+A3-A4].

其中:

1)A1的計算過程

將上式代入A1中可得：

所以，A1=Ste(r-q)(T-t)N2(a1,a2,ρ)，其中

2)A2的計算過程

由于K是常數(shù)，不用做等價測度變換，從而直接可得A2=KN2(b1,b2,ρ)，其中

3)A3的計算過程

從而

將上式代入A3中可得：

式中

4)A4的計算過程

3 數(shù)值分析

為了更加直觀地體現(xiàn)出紅利對于歐式脆弱看漲期權(quán)定價的影響，本文將基于以下參數(shù)值，并借助于MATLAB軟件計算出相應(yīng)的期權(quán)價格.

具體參數(shù)值為：St=40，Vt=40，D=8，D*=8，K=35，r=0.05，ρ=0.5

σ1=σ2=0.3，T-t=1.

從表1數(shù)據(jù)中可以看出：在其他參數(shù)不變的前提下，當γ越大時期權(quán)價格會越低；同時在其他參數(shù)不變的前提下，當q越大時期權(quán)價格也會相應(yīng)降低，這些結(jié)論都與實際情況相吻合.當γ越大即交易對手發(fā)生違約的可能性會提高，那么脆弱期權(quán)價格自然會降低.當q越大即紅利支付率越高時，會使股票價格降低，從而導(dǎo)致歐式看漲脆弱期權(quán)的價格也隨之降低.

表1 不同紅利支付率和交易對手違約損失率下的脆弱期權(quán)價格