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初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)解析式的解題方法和技巧

2021-11-19 13:24周賽君
天府?dāng)?shù)學(xué) 2021年3期
關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué)

周賽君

摘 要:數(shù)學(xué)是人類社會(huì)得以長(zhǎng)久發(fā)展的基礎(chǔ),對(duì)于各行各業(yè)而言都有著較為重要的作用,同時(shí)也是我國教育行業(yè)中極為重要的存在。以初中教育階段為例,二次函數(shù)可以說是初中數(shù)學(xué)的重要組成內(nèi)容,也是學(xué)生所需要學(xué)習(xí)并掌握的主要知識(shí)點(diǎn),通過對(duì)這一方面的學(xué)習(xí)不但能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,對(duì)于學(xué)生的問題處理水平也會(huì)起到有效提升。正因如此,本文就初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)解析式的解題方法與技巧進(jìn)行相應(yīng)的分析與論述。

關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué);二次函數(shù)解析式;解題方法和技巧

與小學(xué)數(shù)學(xué)不同,初中數(shù)學(xué)本身在體量方面更大,所涉及的知識(shí)范圍也較為廣泛,其中有很多知識(shí)點(diǎn)都是以抽象概念為主,這對(duì)于初中生而言提出了更為嚴(yán)格的要求。而二次函數(shù)本身抽象程度更高,需要學(xué)生完全明確其概念,并將圖像與函數(shù)內(nèi)容相結(jié)合,加強(qiáng)相應(yīng)的數(shù)形結(jié)合分析,實(shí)現(xiàn)思維的常態(tài)化,從而來對(duì)相關(guān)問題進(jìn)行合理的處理。但是,這一過程所涉及的內(nèi)容是十分復(fù)雜且枯燥的,特別是在對(duì)解析式進(jìn)行處理時(shí)學(xué)生往往會(huì)面臨相應(yīng)的問題,也是當(dāng)前我國初中教師所要解決的一大問題。

一、二次函數(shù)的相關(guān)概念

在相關(guān)定義中,代數(shù)式是構(gòu)成函數(shù)不可缺少的主要內(nèi)容,從幾何含義角度進(jìn)行分析,能夠發(fā)現(xiàn)函數(shù)本身是xy軸上具有圖形意義的數(shù)學(xué)概念。y=ax2+bx+c,可以被稱為函數(shù)方程,這一函數(shù)在xy軸上往往是以拋物線的形式而存在,倘若y=0時(shí),整個(gè)公式便會(huì)變?yōu)?=ax2+bx+c,而這也就是初中生學(xué)習(xí)時(shí)所涉及的一元二次方程[1]。在進(jìn)行方程求解的過程中,只需要找到拋物線與圖像中與X軸有關(guān)的交點(diǎn)即可,這也是初中生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)所要遵循的規(guī)定要求。從這公式之中,可以發(fā)現(xiàn)方程是以數(shù)為中心,所表達(dá)的正是數(shù)與數(shù)之間所存在的關(guān)系,而函數(shù)則與之不同,其本身所表達(dá)的是自變量變化會(huì)對(duì)因變量產(chǎn)生具體影響,在圖像表達(dá)時(shí)也是將代數(shù)問題進(jìn)行幾何化處理,以此來將數(shù)字進(jìn)行空間立體化展現(xiàn),從而來滿足相應(yīng)的軌跡化坐標(biāo)計(jì)算需要,通過對(duì)這一方面的學(xué)習(xí)與認(rèn)知,人們能夠明確數(shù)之間所具備的邏輯關(guān)系。而對(duì)于初中學(xué)生來講,在對(duì)函數(shù)圖像以及函數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)的過程中,要將實(shí)際問題進(jìn)行圖像化處理,在對(duì)函數(shù)圖像的研究階段,則是要將圖像進(jìn)行代數(shù)化處理,也就是常提的數(shù)形結(jié)合。通過這一措施,不但能夠?qū)W(xué)生的邏輯思維能力進(jìn)行培養(yǎng),同時(shí)還能開拓學(xué)生自身的問題處理思路,提高應(yīng)變水平,這對(duì)學(xué)生后續(xù)發(fā)展也會(huì)起到極為有效的促進(jìn)作用[1]。

二、二次函數(shù)解析式解題技巧的教學(xué)思想

在開展初中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中,教師需要先幫助學(xué)生明確二次函數(shù)的定義,學(xué)生需要對(duì)二次函數(shù)有一個(gè)較為明確的認(rèn)知,并理解其本身所涉及的能力要求。在進(jìn)行教學(xué)的過程中,教師應(yīng)當(dāng)嚴(yán)格遵守相應(yīng)的教學(xué)要求,明確教學(xué)目標(biāo),結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況制定相應(yīng)的教學(xué)方案[2]。由于二次函數(shù)本身所涉及的內(nèi)容相對(duì)復(fù)雜,不是每個(gè)學(xué)生都能夠理解相關(guān)內(nèi)容,因而教師需要采用多樣化的教學(xué)手段,對(duì)于基礎(chǔ)較差的學(xué)生進(jìn)行理論上的加固工作,而對(duì)于能力較強(qiáng)的學(xué)生則是培養(yǎng)其實(shí)際應(yīng)用能力,提高學(xué)生的理解與應(yīng)用水平,逐漸養(yǎng)成良好的解題技巧,這對(duì)學(xué)生的未來發(fā)展能夠起到較為有效的促進(jìn)作用。

初中的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱對(duì)學(xué)生的二次函數(shù)運(yùn)用能力有明確定位與要求。教師在深刻體會(huì)教綱精神的前提下,應(yīng)制定初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)學(xué)習(xí)每個(gè)階段的教學(xué)任務(wù)與教學(xué)目標(biāo),將教綱要求分散到每學(xué)期的教學(xué)任務(wù)中。在教學(xué)目標(biāo)明確的前提下,教師要制定清晰的教學(xué)方案,在教學(xué)方案中輔以多媒體手段,輔助學(xué)生創(chuàng)行能力的培養(yǎng)。這其中,方案要遵循“由易到難、由簡(jiǎn)到繁”的原則,才能達(dá)到學(xué)生聽得懂,愛數(shù)學(xué),能運(yùn)用的要求,這樣才能進(jìn)一步加深學(xué)生學(xué)習(xí)化學(xué)的興趣,進(jìn)而推動(dòng)自身的創(chuàng)新能力。通過“教學(xué)—思考—消化、吸收—形成自己觀點(diǎn)—應(yīng)用”的學(xué)習(xí)思維流程,讓學(xué)生對(duì)自己所學(xué)知識(shí)牢牢掌握,同時(shí)通過自身的理解與應(yīng)用,將知識(shí)通過應(yīng)用加以活化,從而逐漸培養(yǎng)自己的創(chuàng)新能力。同時(shí)這樣的教學(xué)模式,既貼合學(xué)生的學(xué)習(xí)需求,也幫助學(xué)生學(xué)以致用,從而這進(jìn)一步調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性與積極性[3]。

初中數(shù)學(xué)較小學(xué)而言知識(shí)面廣,學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)重。二次函數(shù)是學(xué)生接觸的第一個(gè)知識(shí)難點(diǎn),而且方程還有許多變式,這也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。函數(shù)圖像結(jié)合二次函數(shù),讓抽象化的概念以圖形的方式呈現(xiàn)在學(xué)生眼前,無疑會(huì)調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣。二者互相使用,強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)思想,這對(duì)學(xué)生以后的學(xué)習(xí)和解題,是有巨大的幫助的。教師在授課中也可運(yùn)用新媒體,讓方程和函數(shù)圖像的結(jié)合更為生動(dòng)有趣,這樣可以讓學(xué)生在愉悅中消化知識(shí)、鞏固知識(shí)。畢竟初中的二次函數(shù)和函數(shù)圖像是為高中數(shù)學(xué)中函數(shù)方程打基礎(chǔ)的,二次函數(shù)和函數(shù)圖像的實(shí)際運(yùn)用也是廣泛的,讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維,主動(dòng)領(lǐng)悟、主動(dòng)融合二者,是教師在教學(xué)中的重中之重[4]。

三、二次函數(shù)解析式的解題方法和技巧

(一)一般式的解法

二次函數(shù)是我國初中教學(xué)體系中常見的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn),其本質(zhì)除了培養(yǎng)學(xué)生圖形結(jié)合思維外,也是為日后問題處理能力的培養(yǎng)奠定良好的基礎(chǔ)。在二次函數(shù)中,最為常用的表達(dá)形式便是解析式,通過采用解析式能夠?qū)Χ魏瘮?shù)進(jìn)行合理表達(dá)與計(jì)算,以此來避免因表達(dá)失誤而產(chǎn)生的運(yùn)算問題[5]。而一般式解答本身更偏向于圖像本身的引入,將相應(yīng)的方程代入其中,便能夠?qū)⒊橄蠡拍钸M(jìn)行具體化處理。比如說,雞兔同籠這一問題,數(shù)量一共有38只,76只腿,那么雞和羊的數(shù)量分別為多少?學(xué)生在進(jìn)行答題的過程中,則需要將兩種生物的數(shù)量用字母來代替,比如說雞的數(shù)量為x只,而兔的數(shù)量為y只,那么通過題目可以得到以下公式:

之后將所列出的等式進(jìn)行函數(shù)端的轉(zhuǎn)化,便可以得到:

對(duì)于學(xué)生而言,在列出這兩個(gè)函數(shù)之后,便能夠在xy軸上進(jìn)行函數(shù)圖像的標(biāo)識(shí),并找到圖像上x軸與函數(shù)線之間的交點(diǎn),從而得出最終的結(jié)論??梢哉f,通過對(duì)一般式的運(yùn)算與圖像標(biāo)識(shí),不僅能夠幫助學(xué)生更為直觀的發(fā)現(xiàn)問題所在,同時(shí)還能夠提高學(xué)生的運(yùn)算問題處理能力。這樣對(duì)于學(xué)生在掌握一般式的解法具有重要的指導(dǎo)意義。

(二)頂點(diǎn)式的解法

頂點(diǎn)式是二次函數(shù)的解析式之一,其本身往往可以從一般式中進(jìn)行演化而得到,在初中課程教學(xué)內(nèi)容中,頂點(diǎn)式自身的表達(dá)式可以設(shè)為,y=a·(x-h)2+k,且a≠0,這是初中學(xué)生常見也是解題過程中常用的計(jì)算公式。從含義角度來分析,頂點(diǎn)式所想要表達(dá)的實(shí)際含義無非就是,當(dāng)學(xué)生在明確函數(shù)圖像的背景下,通過頂點(diǎn)位置來進(jìn)行取值過程,或者是對(duì)x進(jìn)行取值,倘若位置相同,那么y所代表的便是整個(gè)函數(shù)的最值,表達(dá)了函數(shù)的最大值與最小值其中一個(gè)。比如說,當(dāng)題目中給出了二次函數(shù)圖像,并且告知學(xué)生,函數(shù)圖像的最高點(diǎn)坐標(biāo)(3,6),同時(shí)還經(jīng)過直點(diǎn)(4,5),那么學(xué)生在進(jìn)行計(jì)算的過程中,便能夠?qū)⒁阎獥l件代入整個(gè)頂點(diǎn)式的套用公式之中,現(xiàn)實(shí)得到解析式y(tǒng)=a·(x-3)2+6,而后再把直點(diǎn)坐標(biāo)代入到轉(zhuǎn)化公式之中,也就是說,當(dāng)x=4,y=5時(shí),便可以計(jì)算出a的數(shù)值為5/7。雖然頂點(diǎn)式是以一般式為基礎(chǔ)而衍生出的解析式,但是其本身的解題方式相對(duì)簡(jiǎn)潔,并且在計(jì)算總量方面相對(duì)較小,初中生在進(jìn)行計(jì)算的過程中并不需要進(jìn)行過多的計(jì)算,只需要將坐標(biāo)值代入公式之中便能夠得到相應(yīng)的結(jié)果,從而來實(shí)現(xiàn)對(duì)相關(guān)函數(shù)公式的計(jì)算。

(三)交點(diǎn)式的解法

作為解析式中最為復(fù)雜的公式之一,交點(diǎn)式是初中生較為頭疼的重要內(nèi)容,其本身在表達(dá)式方面以y=a·(x-x1)(x-x2),且a≠0為主,與上述所提到的一般是和頂點(diǎn)式都不一樣,整個(gè)交點(diǎn)式所涉及的內(nèi)容是函數(shù)與x軸所涉及的交點(diǎn)坐標(biāo)值,這就需要學(xué)生先明確函數(shù)中某一點(diǎn)的坐標(biāo)值,等到所有基礎(chǔ)條件都得到滿足之后,才能夠進(jìn)行后續(xù)的計(jì)算,而最難的也正是這一階段,如何確保所有基礎(chǔ)條件滿足公式計(jì)算需要,是初中學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中所需要去進(jìn)行思考的重要內(nèi)容。因而在進(jìn)行計(jì)算的過程中,學(xué)生需要先對(duì)相應(yīng)的交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行明確,將其提取出來代入公式之中轉(zhuǎn)化為一般形式,以此來確保后續(xù)的解題工作能夠順利開展。同時(shí)學(xué)生在思考如何獲得交點(diǎn)坐標(biāo)的時(shí)候,教師要將不同交點(diǎn)式的情況及函數(shù)圖像予以學(xué)生解析清楚,讓學(xué)生做到心中有圖、有數(shù)。

結(jié)論

綜上所述,二次函數(shù)解析式的運(yùn)用與解題,是初中學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn),教師要幫助學(xué)生充分了解相應(yīng)解析式的特征,理清解題思路,才能幫助學(xué)生建立二次函數(shù)解析式的解題能力與解題技巧,促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上更上一層樓。

參考文獻(xiàn):

[1]石媛.初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)解析式的解題方法和技巧[J].試題與研究:教學(xué)論壇,2020(2):0115-0115.

[2]張榮富.二次函數(shù)解析式求解方法初探[J].課程教育研究,2020(13).

[3]彭世柳.關(guān)于初中二次函數(shù)的一些解題策略[J].科學(xué)咨詢(教育科研),2019(4).

[4]周文博. 淺析初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的解題方法與技巧[J]. 青年時(shí)代,2014(20):175-175.

[5]鞏杰. 淺析求二次函數(shù)解析式的思路和技巧[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版),2000(1):39-40.

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