張鐵成，劉云芬

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 黃石 435002)

0 引言

近年來，多智能體網(wǎng)絡(luò)的分布式協(xié)調(diào)控制應(yīng)用十分廣泛，而一致性是協(xié)調(diào)控制中的基本問題,具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價值。所謂一致性，就是多智能體系統(tǒng)在通過協(xié)調(diào)控制后，最終各個多智能體的狀態(tài)取得一致或相同。

關(guān)于多智能體系統(tǒng)的一致性問題已有一些研究成果。Olfati-Saber[1]提出了分散協(xié)調(diào)控制規(guī)則，以使多智能體無向網(wǎng)絡(luò)取得平均一致性，同時考慮了網(wǎng)絡(luò)存在通信時間延遲的情形。Lin等[2]采用LMI的方法，討論了時變時滯網(wǎng)絡(luò)的平均一致性問題。楊繼永等[3]利用馬爾可夫收斂準(zhǔn)則探討了多智能體系統(tǒng)平均一致性問題。宋莉等[4]利用模型變換方法研究了具有不確定拓?fù)浼奥?lián)合連通圖的多智能體網(wǎng)絡(luò)的平均一致性?？涤矜玫萚5]開展了具有隨機(jī)切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)平均一致性的研究。孫一杰等[6]利用輔助變量方法解決了多智能體網(wǎng)絡(luò)在任意強(qiáng)連通下平均一致性問題。Meng等[7]基于無向圖研究了一階多智能體系統(tǒng)在固定和切換拓?fù)湎碌闹芷谑录|發(fā)平均一致性問題。Wang等[8]采用事件觸發(fā)控制的方法討論了存在常通信時滯的多智能體系統(tǒng)的平均一致性問題。李富強(qiáng)[9]研究了事件觸發(fā)機(jī)制下具有固定和切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的多智能體網(wǎng)絡(luò)的平均一致性問題。韓世濤等[10]采用周期采樣和事件控制的方法對多智能體系統(tǒng)的事件觸發(fā)平均一致性問題進(jìn)行了時滯魯棒性分析。還有一些其他類似的研究成果[11～15]。

目前，大多數(shù)多智能體網(wǎng)絡(luò)一致性的成果僅限于系統(tǒng)收斂值為初始值的平均值(平均一致性)的情形，本文提出一種新的控制協(xié)議，能夠使智能體的狀態(tài)最終能達(dá)到任意的加權(quán)平均值(加權(quán)平均一致性)，并且系統(tǒng)是在切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)并伴隨著時變時滯的情形下實(shí)現(xiàn)的。同時，考慮到在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中代數(shù)方法的復(fù)雜性，本文引入正交變換，將奇異系統(tǒng)矩陣轉(zhuǎn)化為非奇異系統(tǒng)矩陣，使系統(tǒng)收斂條件化簡為LMI的可解性問題。

1 預(yù)備知識

1.1 代數(shù)圖論

設(shè)G(V,E,A)表示頂點(diǎn)集為V，邊集為E，權(quán)重鄰接矩陣為A的權(quán)重有向圖。圖的每個結(jié)點(diǎn)表為Vi∈V或i∈I={1,2,…,n}；圖的每條邊表示為e=(νi,νj)；權(quán)重鄰接矩陣A=[aij]，aij>0,且對任意的i∈I設(shè)aij=0.

L=L(G)=D-A.由定義可知Laplacian矩陣每行之和為零,因此Laplacian矩陣總有屬于零特征值的右特征向量ω1=1n=(1,1,…,1)T.

定義1[1](強(qiáng)連通圖) 如果圖G的任意兩個頂點(diǎn)都存在一條路徑，則稱圖G為強(qiáng)連通圖。

定義2[1](平衡圖) 如果圖G的每個頂點(diǎn)的入度等于出度，則稱圖G為平衡圖。

引理1[1]設(shè)G(V,E,A)為強(qiáng)連通圖，則圖G的Laplacian矩陣L滿足下列三條：

1)秩(L)=n-1；

2)矩陣L的一個特征值為0，相應(yīng)的特征向量為1n，即L1n=0；

3)矩陣L除去一個為0的特征值以外的其他n-1特征值均有正實(shí)部。

1.2 一致性問題

設(shè)χi為第i智能體的狀態(tài)，每個多智能體的動態(tài)模型為：

(1)

本文給出如下的控制協(xié)議：

(2)

結(jié)合(1),多智能體系統(tǒng)的動態(tài)模型寫成矩陣的形式為

(3)

設(shè)映射st∶[0,+∞)→IΓ={1,2,…,N}(N∈+，指的是所有可能的有向圖的個數(shù))是切換信號，它決定了網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。則在切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)中(3)變?yōu)椋?/p>

(4)

(5)

引理3[2]設(shè)矩陣

則以下三個命題成立：

ii)存在正交矩陣F，使得下列等式成立

iii)正交矩陣F是矩陣Y的特征向量。對任何平衡矩陣J∈Rn×n，有

2 主要結(jié)論

(6)

設(shè)FTΔ(t)=「δ(t),0?T，于是(6)可以寫為：

(7)

(8)

證明 我們定義如下的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)：

沿著(7)的軌線，我們有：

顯然，

由引理2，可得(10)等價為

聯(lián)立(11)，再利用引理2，即可得(8)。于是證明了當(dāng)(8)成立時，系統(tǒng)(1)能取得全局漸進(jìn)加權(quán)平均一致性。

定理2 考慮(5)條件下具有切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的有向圖G，G的n個結(jié)點(diǎn)的動態(tài)模型為(1)，且G為強(qiáng)連通的平衡圖，則分散控制器(2)能取得全局漸進(jìn)加權(quán)平均一致性，如果K∈IΓ，存在適當(dāng)維數(shù)的對稱正定矩陣P,Q,R∈R(n-1)×(n-1)使得下面條件成立：

(12)

注：定理2的證明類似定理1的證明，這里省去。

3 例子和仿真

圖1 四個強(qiáng)連通平衡圖的例子

圖2 具有時變時滯的切換拓?fù)涫疽鈭D

4 結(jié)論

本文討論了有向時變時滯多智能體網(wǎng)絡(luò)的加權(quán)平均一致性問題。采用狀態(tài)分解方法對系統(tǒng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用LMI給出多智能體網(wǎng)絡(luò)取得加權(quán)平均一致性的充分條件。最后通過例子和仿真驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性。

本文創(chuàng)新點(diǎn)：基于加權(quán)平均一致性，在有向切換拓?fù)浜蜁r變時滯多智能體網(wǎng)絡(luò)中，提出了一種新的控制協(xié)議，提高了控制系統(tǒng)的適應(yīng)性和靈活性；運(yùn)用正交變換把系統(tǒng)變?yōu)榻稻S的等價系統(tǒng)；利用LMI的處理方法給出了系統(tǒng)取得漸進(jìn)加權(quán)平均一致性收斂的充分條件。