竇慧晶,肖子恒,楊 帆

(北京工業(yè)大學(xué)信息學(xué)部，北京 100124)

作為陣列信號(hào)處理領(lǐng)域的關(guān)鍵問(wèn)題，波達(dá)方向(direction of arrival,DOA)估計(jì)在雷達(dá)、通信、地震等眾多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1-2].目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出的DOA估計(jì)算法主要有兩大類(lèi)：第一類(lèi)是以Capon算法為代表的波束形成算法[3]，通過(guò)抑制無(wú)用信號(hào)、提升有用信號(hào)來(lái)獲得信號(hào)的空域譜；另一類(lèi)是以多重信號(hào)分類(lèi)(multiple signal classification,MUSIC)算法[4]以及旋轉(zhuǎn)不變子空間(estimation of signal parameters via rotational invariance technique,ESPRIT)算法[5]為代表的子空間類(lèi)算法，它對(duì)接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解得到信號(hào)子空間和噪聲子空間，再根據(jù)子空間的正交性構(gòu)造出空間譜.然而，基于波束形成的算法雖克服了陣列孔徑限制，但估計(jì)分辨率不高且抗噪能力弱；子空間類(lèi)算法需要大量獨(dú)立同分布的采樣數(shù)據(jù)使陣列協(xié)方差矩陣滿(mǎn)足統(tǒng)計(jì)特性，因此計(jì)算量較大，難以滿(mǎn)足現(xiàn)代信號(hào)處理的實(shí)時(shí)性要求.

近年來(lái)Donoho等[6]提出壓縮感知理論受到廣泛關(guān)注，它利用信號(hào)的稀疏性，在遠(yuǎn)小于奈奎斯特頻率的采樣率下，通過(guò)求解l0最小范數(shù)優(yōu)化問(wèn)題得到高精度的重構(gòu)信號(hào).在實(shí)際空域中目標(biāo)信號(hào)相比于整個(gè)空間角度是極少的，本身具有稀疏性，因此非常適合在壓縮感知模型下完成DOA估計(jì)的求解.2003年，文獻(xiàn)[7]首次提出l1-奇異值分解(singular value decomposition，SVD)算法進(jìn)行DOA估計(jì)，該算法利用奇異值分解和l1范數(shù)的凸優(yōu)化，求解優(yōu)化函數(shù)得到稀疏向量.l1-SVD算法可直接用于相干信號(hào)的DOA估計(jì)，且估計(jì)精度高于其他傳統(tǒng)算法.但由于使用子空間類(lèi)算法的SVD，不精確的信源數(shù)會(huì)導(dǎo)致估計(jì)性能的下降或失效.為解決這一問(wèn)題，文獻(xiàn)[8]提出l1-陣列協(xié)方差稀疏表示(sparse representation of array covariance vectors，SRACV)算法，它利用矢量化樣本協(xié)方差矩陣的統(tǒng)計(jì)特性，仿照l(shuí)1-SVD算法構(gòu)造基追蹤問(wèn)題并求解得出DOA估計(jì).該算法在具有無(wú)須已知信源數(shù)以及可以處理相干信號(hào)的優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，還保證低信噪比(signal noise ratio，SNR)下的魯棒性，但是需要大量運(yùn)算來(lái)計(jì)算協(xié)方差矩陣及其特征值分解，計(jì)算復(fù)雜度遠(yuǎn)大于l1-SVD算法以及子空間算法.文獻(xiàn)[9]提出一種基于單快拍數(shù)的動(dòng)態(tài)參數(shù)l1正則化算法，該算法能有效解決真實(shí)方位角與離散的空間網(wǎng)格的不一致問(wèn)題，同時(shí)DOA估計(jì)的準(zhǔn)確度也比較高.

l1范數(shù)凸優(yōu)化類(lèi)算法重構(gòu)精度雖高，但由于涉及到二階錐的求解使得算法運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng)，難以應(yīng)用于大規(guī)模信號(hào)，實(shí)用性較差.因此，基于壓縮感知貪婪算法的DOA估計(jì)近年來(lái)受到研究學(xué)者們的關(guān)注.文獻(xiàn)[10]提出單快拍數(shù)下壓縮感知DOA估計(jì)的算法，并將正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit，OMP)算法[11]應(yīng)用于DOA估計(jì).OMP算法是基于(matching pursuit，MP)算法改進(jìn)的，它在篩選測(cè)量矩陣中的列向量原子時(shí)，不僅保證所選取的列向量與信號(hào)相關(guān)系數(shù)值最大，而且還使得與殘差矢量正交，從而能夠得到最優(yōu)解.文獻(xiàn)[12]在OMP算法的基礎(chǔ)上提出一種結(jié)合局部?jī)?yōu)化處理的正交匹配追蹤DOA估計(jì)方法，只需要少量計(jì)算復(fù)雜度的代價(jià)就能提高DOA的估計(jì)精度.文獻(xiàn)[13]提出一種使用正則化方法篩選原子集的估計(jì)算法，達(dá)到減少迭代次數(shù)和提升重構(gòu)精度的目的.但是以上貪婪匹配追蹤類(lèi)算法都需要以信源數(shù)已知為先驗(yàn)條件，而在現(xiàn)實(shí)情況里往往無(wú)法得知確切的信源數(shù).針對(duì)這一問(wèn)題，Do等[14]首次提出在每次迭代中增加固定步長(zhǎng)以逐步逼近信號(hào)真實(shí)稀疏度值的稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤(sparsity adaptive matching pursuit，SAMP)算法，然而該算法在噪聲環(huán)境下無(wú)法收斂，從而引入大量錯(cuò)誤原子導(dǎo)致估計(jì)算法失效，并且由于使用固定步長(zhǎng)，靈活度不高，選擇小的初始步長(zhǎng)會(huì)大大增加迭代次數(shù)，導(dǎo)致運(yùn)行時(shí)間變長(zhǎng)，選擇大的初始步長(zhǎng)容易造成稀疏度過(guò)估計(jì)，影響估計(jì)精度.

針對(duì)上述問(wèn)題，本文將稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤算法與DOA估計(jì)相結(jié)合，在此基礎(chǔ)上根據(jù)噪聲環(huán)境下迭代殘差的變化規(guī)律設(shè)計(jì)一種合適的迭代終止條件，并通過(guò)迭代狀態(tài)控制步長(zhǎng)自適應(yīng)變化，提出一種改進(jìn)稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤的DOA估計(jì)算法.本文算法能夠在單快拍、不預(yù)設(shè)信源數(shù)的條件下有效估計(jì)相干信號(hào)，相比改進(jìn)前的算法能提升噪聲環(huán)境下的DOA估計(jì)性能，且通過(guò)選擇大初始步長(zhǎng)，既降低運(yùn)行時(shí)間，又保證良好的估計(jì)精度.

1 陣列信號(hào)模型

假設(shè)在t時(shí)刻有K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)s1(t),s2(t),…,sK(t)入射到陣元數(shù)為M、陣元間距為d的均勻線(xiàn)陣中，其來(lái)波方向分別為θ1,θ2,…,θK，以第1個(gè)陣元為參考陣，則信號(hào)入射到天線(xiàn)的示意圖如圖1所示.

圖1 接受天線(xiàn)陣列圖Fig.1 Receiving antenna array

因?yàn)镵個(gè)入射信號(hào)都是遠(yuǎn)場(chǎng)信源，所以各信號(hào)被陣元接收到的角度方向都相等.則各陣元的輸出信號(hào)xm(t)可表示為所有入射信號(hào)延時(shí)相加的形式

(1)

式中：nm(t)為第m個(gè)陣元上的加性高斯白噪聲；τm,k為第m個(gè)陣元接收到信號(hào)sk(t)時(shí)相對(duì)參考陣元的延遲時(shí)間，在均勻線(xiàn)陣的條件下可表示為τm,k=2πd(m-1)sinθk/λ，其中λ為信號(hào)波長(zhǎng).因此，sk(t-τm,k)可以表示為sk(t)e-j2πd(m-1)sin θk/λ.

將sk(t)到達(dá)各陣元的相位差組成向量形式記為

α(θk)=[1,e-j2πdsin θk/λ,…,e-j2πd(M-1)sin θk/λ]T=
[α1(θk),α2(θk),…,αM(θk)]T

(2)

則xm(t)可以寫(xiě)成

(3)

將K個(gè)信號(hào)的導(dǎo)向矢量構(gòu)成矩陣A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θK)]，則接收信號(hào)模型(3)可描述為

x(t)=A(θ)s(t)+n(t)

(4)

式中：x(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T為陣列輸出向量；s(t)=[s1(t),s2(t)，…，sK(t)]T為信源向量；n(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T為加性噪聲向量；A(θ)為M×K階陣列流型矩陣，矩陣第m行k列的元素表示第m個(gè)天線(xiàn)陣元接收到第k個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)的增益和相位延遲信息.

2 算法原理

2.1 壓縮感知理論基礎(chǔ)

壓縮感知理論表明，當(dāng)信號(hào)具有稀疏性或可壓縮性時(shí)，通過(guò)少量投影數(shù)據(jù)就可實(shí)現(xiàn)信號(hào)的精確重構(gòu).設(shè)復(fù)信號(hào)z=[z1,z2,…,zn]T可以用某稀疏基矩陣ψ=[ψ1,ψ2,…,ψP]的線(xiàn)性組合表示，即z=ψs，其中s是一個(gè)p×1維的具有k(k?p)稀疏的向量.存在一個(gè)與稀疏基ψ不相關(guān)的m×n維的測(cè)量矩陣φ，z在投影測(cè)量矩陣φ下的線(xiàn)性測(cè)量可表示為

y=φ·z=φψ·s=Θ·s

(5)

式中Θ=φψ為m×p維矩陣，表示推廣后的測(cè)量矩陣，稱(chēng)為感知矩陣.則y可看成是信號(hào)s在感知矩陣Θ下的線(xiàn)性投影.如果Θ滿(mǎn)足有限等距性[15]等稀疏重構(gòu)條件，就可以求解以下l0范數(shù)問(wèn)題以極高的概率重構(gòu)稀疏信號(hào)s：

min‖s‖0s.t.y=Θ·s

(6)

2.2 基于壓縮感知的DOA估計(jì)模型

(7)

式中：

2.3 基于改進(jìn)稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤的DOA估計(jì)算法

(8)

式中：‖h‖0為h的0范數(shù)，表示h中非零元素的數(shù)量；ε為與噪聲有關(guān)的常量，式(8)在本質(zhì)上是具有非凸稀疏約束的優(yōu)化問(wèn)題，并且已經(jīng)被證明是計(jì)算復(fù)雜度很高的NP-hard問(wèn)題[17].目前常見(jiàn)重構(gòu)算法分為凸優(yōu)化算法和貪婪算法.凸優(yōu)化算法是在一定條件下將l0范數(shù)的非凸優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)為l1范數(shù)的凸優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，最具代表性的方法是基追蹤算法.此類(lèi)算法雖具有較高的重構(gòu)精度，但計(jì)算復(fù)雜度高，難以滿(mǎn)足現(xiàn)代信號(hào)處理的實(shí)時(shí)性要求，實(shí)用性不強(qiáng)[18].

但是前述的所有算法都需要以信號(hào)真實(shí)的稀疏度K為先驗(yàn)條件，在算法中以K來(lái)控制迭代次數(shù)，這與現(xiàn)實(shí)情況相矛盾.所以在稀疏度未知情況下，SAMP算法可以克服前述的貪婪算法缺陷實(shí)現(xiàn)信號(hào)精確重構(gòu).SAMP算法通過(guò)分階段的思想實(shí)現(xiàn)稀疏度自適應(yīng)，其具體過(guò)程如下：首先設(shè)置一個(gè)初始步長(zhǎng)s，首個(gè)階段在稀疏度I=s下進(jìn)行循環(huán)迭代重構(gòu)信號(hào).如果稀疏度是合適的，則保持支撐集大小為該稀疏度進(jìn)行迭代直到滿(mǎn)足迭代終止條件.否則迭代后的殘差會(huì)增大，表明稀疏度不夠，需要增大支撐集，令稀疏度I=I+s繼續(xù)迭代.如此進(jìn)行下去，直到滿(mǎn)足迭代停止條件輸出結(jié)果.然而如何選擇初始步長(zhǎng)是個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，它的取值對(duì)信號(hào)的重建效果有很大影響.一般s≤K，如果s取1，則一定能準(zhǔn)確達(dá)到信號(hào)的真實(shí)稀疏度，但會(huì)增加算法的迭代次數(shù)，從而導(dǎo)致運(yùn)行時(shí)間變長(zhǎng).如果s取較大值，可以減少重構(gòu)時(shí)間，但容易出現(xiàn)估計(jì)的稀疏度超過(guò)真實(shí)稀疏度K的過(guò)估計(jì)現(xiàn)象，從而影響重建效果.因此SAMP算法無(wú)法兼顧重構(gòu)速度和重構(gòu)精度.

鑒于這一情況，本文選擇大步長(zhǎng)作為初始步長(zhǎng)快速逼近，當(dāng)支撐集還未達(dá)到K時(shí)，迭代的殘差是不滿(mǎn)足算法終止條件的，當(dāng)?shù)^(guò)程中第1次達(dá)到迭代終止條件時(shí)，說(shuō)明出現(xiàn)精確估計(jì)或過(guò)估計(jì)這兩者情況中的一種.對(duì)此，可以將迭代狀態(tài)回溯至上一次，再使用小步長(zhǎng)(s=1)迭代來(lái)逼近K，以解決SAMP算法中速度與精度的矛盾.

在SAMP算法中通常以殘差的l2范數(shù)來(lái)判定迭代是否終止，即當(dāng)‖r‖2≤ε時(shí)終止迭代，其中ε取值為較小的固定常數(shù).對(duì)于信噪比較大的信號(hào)，這種方法對(duì)信號(hào)的重構(gòu)精度影響不大.然而，如果原始信號(hào)中夾雜大量噪聲，則噪聲干擾會(huì)導(dǎo)致迭代無(wú)法達(dá)到該終止條件并超過(guò)真實(shí)的稀疏度，在后續(xù)迭代中還會(huì)加入多余的錯(cuò)誤原子，干擾信號(hào)的精確重構(gòu).算法在每次迭代過(guò)程中，都會(huì)優(yōu)先選擇與觀(guān)測(cè)信號(hào)最相關(guān)的原子加入支撐集，從而使得殘差逐漸減小.當(dāng)稀疏信號(hào)中所有非零元素對(duì)應(yīng)的原子都加入后，剩下的都是和觀(guān)測(cè)信號(hào)相關(guān)度低的原子.如果后面繼續(xù)保持迭代過(guò)程，只能選出低相關(guān)度的原子，殘差的能量變化很小.因此可以利用這一特點(diǎn)來(lái)判斷迭代是否達(dá)到準(zhǔn)確的稀疏度，改進(jìn)后的迭代終止條件可表示為

(9)

式中：‖rt‖2為迭代t次的殘差值；It為第t次迭代的稀疏度.式(9)左側(cè)表示的意義是相鄰2次迭代殘差變化的比例，分子分母都除以迭代的稀疏度之差是為了在步長(zhǎng)變化后也能進(jìn)行終止條件的判斷.如果滿(mǎn)足式(9)，則說(shuō)明在第t-1次迭代后殘差下降減緩，出現(xiàn)“拐點(diǎn)”，那么It-1即為真實(shí)的信源稀疏度，直接輸出第t-1次的估計(jì)結(jié)果.在大部分情況下這種判斷方式都是正確有效的，但如果在信噪比極低的情況下，噪聲的能量遠(yuǎn)大于信號(hào)的能量.即使迭代次數(shù)達(dá)到真實(shí)稀疏度，后續(xù)迭代還會(huì)選出與噪聲匹配的原子，使殘差繼續(xù)減小，“拐點(diǎn)”不明顯，從而導(dǎo)致式(9)的判定條件失效.這時(shí)候可以選擇迭代殘差首次小于噪聲的能量作為迭代終止的判定依據(jù)，用公式可表示為

‖rt‖2

(10)

式中εn為噪聲能量，但實(shí)際迭代過(guò)程中會(huì)因?yàn)樵肼暩蓴_使得算法的重構(gòu)誤差變大，因此還要考慮加入誤差平衡因子c，使其能夠迭代到正確的稀疏度再輸出結(jié)果.通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)得，c取0.7最為合適.通過(guò)式(10)使得算法在噪聲干擾大的情況下也能保證一定的估計(jì)效果.

改進(jìn)的稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤算法(improved SAMP,ISAMP)步驟如下：

輸出N×1維稀疏信號(hào)，稀疏度I.

步驟1初始化.殘差r0=X，支撐集Λ0=?，稀疏度I0=0，迭代次數(shù)t=1，稀疏度I1=s.

步驟6判斷是否初次滿(mǎn)足式(9)(10)的迭代終止條件，若滿(mǎn)足則t=t-1，It=It-s，s=1轉(zhuǎn)入步驟8；否則轉(zhuǎn)入步驟7.

步驟7判斷是否滿(mǎn)足式(9)(10)的迭代終止條件，若滿(mǎn)足則停止迭代并轉(zhuǎn)入步驟9；否則轉(zhuǎn)入步驟8.

步驟8t=t+1,It=It-1+s轉(zhuǎn)入步驟2.

如果信號(hào)的稀疏度不是初始步長(zhǎng)的整數(shù)倍，那么SAMP算法無(wú)論迭代多少次也無(wú)法準(zhǔn)確估計(jì)稀疏度，但I(xiàn)SAMP算法通過(guò)步驟6將迭代狀態(tài)回溯至上一次并采用小步長(zhǎng)迭代，避免了因?yàn)榇蟛介L(zhǎng)迭代造成的過(guò)估計(jì).同時(shí)利用式(9)(10)作為迭代終止條件擺脫了對(duì)K的依賴(lài)，保證算法在低信噪比條件下依然能夠有效估計(jì).

3 仿真結(jié)果分析

仿真條件說(shuō)明：本節(jié)實(shí)驗(yàn)采用的陣列都為均勻線(xiàn)陣，陣元間距為半波長(zhǎng)，在網(wǎng)格劃分時(shí)角度空間[-90°,90°]都均分為361個(gè)角度，即角度網(wǎng)格為0.5°.實(shí)驗(yàn)中評(píng)價(jià)估計(jì)性能的指標(biāo)為均方根誤差和估計(jì)成功率，均方根誤差的定義為

(11)

式中：K為信源數(shù)；N設(shè)為100是蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)；kn為第k個(gè)信源第n次試驗(yàn)的角度估計(jì)值；θk為第k個(gè)信源真實(shí)的波達(dá)角.估計(jì)成功率定義為

(12)

式中sk表示在同一組空間信源的N次DOA估計(jì)實(shí)驗(yàn)中第k個(gè)信源估計(jì)成功的次數(shù).信源估計(jì)成功的判定條件是角度偏差不大于1°，實(shí)驗(yàn)中蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù)N為100，即重復(fù)100次相同條件下的DOA估計(jì)，統(tǒng)計(jì)估計(jì)成功的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，并以此計(jì)算估計(jì)成功率.(處理器為Intel(R)Core(TM)i5-8400 CPU@2.80 GHz；軟件平臺(tái)為Matlab 2008b)

實(shí)驗(yàn)一：仿真比較信源相干條件下各算法的DOA估計(jì)性能.

仿真設(shè)置陣元數(shù)M=21，信噪比為20 dB，3個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)的入射角度分別為-10°、10°和25°，在相干信源和非相干信源的條件下，比較單快拍下SAMP算法、ISAMP算法以及快拍數(shù)為100的MUSIC算法的DOA估計(jì)結(jié)果，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖2、3.

圖2 各算法對(duì)非相干信號(hào)源的DOA估計(jì)Fig.2 DOA estimation of incoherent signal sources by various algorithms

圖3 各算法對(duì)相干信號(hào)源的DOA估計(jì)Fig.3 DOA estimation of coherent signal sources by various algorithms

由圖2、3可知，在估計(jì)非相干信號(hào)源時(shí)，3種算法都準(zhǔn)確地估計(jì)出波達(dá)方向角度.對(duì)于相干信源的估計(jì)，MUSIC算法中出現(xiàn)多數(shù)偽峰，且譜峰不夠尖銳，幾乎無(wú)法分辨信源角度.而SAMP算法和ISAMP算法仍然準(zhǔn)確地估計(jì)出3個(gè)信源角度，實(shí)現(xiàn)對(duì)于相干信號(hào)源的DOA估計(jì).這是因?yàn)榛趬嚎s感知的DOA估計(jì)不用對(duì)矩陣進(jìn)行特征分解，因此具有解相干的天然優(yōu)勢(shì)，解決了子空間類(lèi)算法無(wú)法估計(jì)相干信源的問(wèn)題.并且在實(shí)驗(yàn)中貪婪類(lèi)算法只用單快拍就完成DOA的精確估計(jì)，證明壓縮感知DOA估計(jì)算法對(duì)采樣信息量要求低的特點(diǎn)，減少數(shù)據(jù)存儲(chǔ)及運(yùn)算的成本.

實(shí)驗(yàn)二：仿真比較不同信噪比環(huán)境下殘差能量隨迭代次數(shù)變化的趨勢(shì).

仿真設(shè)置陣元數(shù)為21，3個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)的入射角度分別為-10°、10°和25°.實(shí)驗(yàn)對(duì)比信噪比分別為10、0、-10 dB時(shí)單快拍ISAMP算法的殘差大小隨迭代次數(shù)的變化曲線(xiàn)，結(jié)果見(jiàn)圖4.

圖4 不同信噪比下殘差能量隨迭代次數(shù)變化曲線(xiàn)Fig.4 Variation curve of residual energy with iteration times under different SNR

在圖4中可以看到，10、0 dB條件下的ISAMP算法在迭代次數(shù)沒(méi)到真實(shí)稀疏度3時(shí)，每次迭代殘差能量都會(huì)快速減小；當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到3之后，殘差在后續(xù)的迭代過(guò)程中幾乎不變.所以真實(shí)的信源稀疏度就是圖中拐點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)的迭代次數(shù).但在信噪比為-10 dB時(shí)，即使達(dá)到真實(shí)稀疏度后殘差依然保持著一定的速度減小，上述拐點(diǎn)并不明顯.因此需要依靠式(10)作為迭代終止條件.

實(shí)驗(yàn)三：比較SAMP算法、ISAMP算法、MUSIC算法、ESPRIT算法在噪聲環(huán)境下的估計(jì)性能.

1)仿真設(shè)置陣元數(shù)為21，3個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)的入射角度分別為-10°、10°和25°.仿真中加入信噪比為0 dB的高斯白噪聲干擾，比較單快拍下SAMP算法和ISAMP算法在低信噪比下的估計(jì)結(jié)果.

從圖5可以看出，SAMP算法在0 dB的信噪比條件下已經(jīng)無(wú)法正確估計(jì)出DOA，產(chǎn)生大量虛假信號(hào)，這是因?yàn)樾盘?hào)中混雜的噪聲使迭代無(wú)法達(dá)到預(yù)設(shè)的閾值，并在后續(xù)迭代過(guò)程中不斷匹配錯(cuò)誤的原子，直到達(dá)到最大迭代次數(shù)，輸出與真實(shí)信號(hào)無(wú)關(guān)的結(jié)果，算法已經(jīng)失效，因此在后續(xù)的一系列實(shí)驗(yàn)中將不再比較SAMP算法.從圖6可以看出，本文所提出的ISAMP算法準(zhǔn)確估計(jì)出3個(gè)方位角，證明本文算法在噪聲環(huán)境下依然能夠正確估計(jì)波達(dá)方向角度.

圖5 信噪比為0 dB時(shí)SAMP算法的DOA估計(jì)Fig.5 DOA estimation of SAMP algorithm when SNR is 0 dB

圖6 信噪比為0 dB時(shí)ISAMP算法的DOA估計(jì)Fig.6 DOA estimation of ISAMP algorithm when SNR is 0 dB

2)為進(jìn)一步考察ISAMP算法在不同信噪比條件下的估計(jì)精度，本次實(shí)驗(yàn)采用均方根誤差作為衡量DOA估計(jì)算法性能好壞的指標(biāo).仿真中設(shè)置陣元數(shù)為12，快拍數(shù)為15，加入高斯白噪聲干擾，信噪比從-10 dB以2 dB為間隔提升到10 dB，比較ISAMP算法、MUSIC算法、ESPRIT算法的均方根誤差隨信噪比變化的曲線(xiàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示.

圖7 信噪比變化時(shí)不同算法的均方根誤差比較Fig.7 Comparison of RMSE of different algorithms with SNR

由圖7可知，隨著信噪比增大，3種算法的均方根誤差逐漸減小，估計(jì)精度變高.在信噪比處于-10～0 dB區(qū)間時(shí)ISAMP算法的均方根誤差低于另外2種算法，0 dB以上時(shí)3種算法的均方根誤差幾乎相同.從整體來(lái)看，本文算法的均方根誤差都處于較低的位置，估計(jì)精度較高.改進(jìn)后的算法具有良好的抗噪能力，同樣信噪比條件下估計(jì)精度更高，且在低信噪比的情況下具有更明顯的優(yōu)勢(shì).

實(shí)驗(yàn)四：比較ISAMP算法在不同初始步長(zhǎng)下的估計(jì)性能.

由于實(shí)驗(yàn)中ISAMP算法在某些特殊的陣元下進(jìn)行DOA估計(jì)時(shí)可能出現(xiàn)對(duì)信源數(shù)目的誤判，或是個(gè)別錯(cuò)誤估計(jì)的角度與真實(shí)角度有很大偏差的情況，導(dǎo)致算法的均方估計(jì)誤差波動(dòng)較大，無(wú)法真實(shí)體現(xiàn)算法性能，因此，本實(shí)驗(yàn)使用成功估計(jì)概率作為評(píng)價(jià)指標(biāo).仿真設(shè)置陣元數(shù)為12，信噪比為-5 dB，快拍數(shù)為20.圖8是不同初始步長(zhǎng)的ISAMP算法、MUSIC算法、ESPRIT算法的估計(jì)成功率隨陣元數(shù)變化的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，圖9是陣元數(shù)為40時(shí)各算法估計(jì)時(shí)間隨信號(hào)稀疏度變化的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

圖8 不同步長(zhǎng)下估計(jì)成功率比較Fig.8 Comparison of estimated success rate under different step sizes

圖9 不同步長(zhǎng)下運(yùn)行時(shí)間比較Fig.9 Comparison of running time under different step sizes

從圖8可以看出，隨著陣元數(shù)M的增加各算法的估計(jì)成功率逐漸提高,在陣元數(shù)為6～15時(shí)，ISAMP算法的估計(jì)成功率高于另外2種算法.并且ISAMP算法在初始步長(zhǎng)為1、3時(shí)的估計(jì)成功率差別很小，這是因?yàn)楫?dāng)選擇大步長(zhǎng)進(jìn)行迭代時(shí)，ISAMP算法使用了過(guò)估回調(diào)的方法控制步長(zhǎng)變化，本質(zhì)上還是小步長(zhǎng)的迭代，所以同樣能夠準(zhǔn)確估計(jì)DOA.

從圖9可以看出，MUSIC算法和ESPRIT算法在不同稀疏度條件下的運(yùn)行時(shí)間變化不大.而ISAMP算法隨著稀疏度的增加估計(jì)時(shí)間也越長(zhǎng)，且大步長(zhǎng)的運(yùn)行時(shí)間明顯低于小步長(zhǎng)的.這是因?yàn)橄∈瓒仍酱?，ISAMP算法需要迭代的次數(shù)就越多，而大步長(zhǎng)能夠以更少的迭代次數(shù)達(dá)到迭代終止條件，提高估計(jì)速度.從本實(shí)驗(yàn)可以看出，ISAMP算法在選擇大的初始步長(zhǎng)時(shí)具有明顯優(yōu)勢(shì)，可以兼顧估計(jì)精度以及運(yùn)行時(shí)間.

4 結(jié)論

本文研究了基于壓縮感知的DOA估計(jì)模型，提出了一種基于改進(jìn)稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤的DOA估計(jì)算法，該算法的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)在于：

1)利用壓縮感知進(jìn)行DOA估計(jì)，通過(guò)少快拍即可估計(jì)出信源的方向角度，并且不涉及矩陣特征值分解，具有天然解相干的優(yōu)良特性.

2)根據(jù)殘差的變化趨勢(shì)來(lái)判斷是否達(dá)到信源稀疏度，有效解決噪聲環(huán)境下算法失效的問(wèn)題，同時(shí)針對(duì)信噪比極低的情況下該判斷方法失效的問(wèn)題，依靠噪聲能量作為判定依據(jù)，對(duì)上一個(gè)迭代終止條件進(jìn)行補(bǔ)充，進(jìn)一步提升算法的抗噪能力.

3)通過(guò)在初始步長(zhǎng)上選擇大步長(zhǎng)進(jìn)行迭代，直到首次出現(xiàn)過(guò)估計(jì)狀態(tài)則回溯至上一次迭代，改用小步長(zhǎng)逼近真實(shí)稀疏度，這種變步長(zhǎng)的方法能夠使算法同時(shí)保證良好的估計(jì)精度和較低的運(yùn)行時(shí)間.