張彥斌，陳子豪，王科明，蘆風(fēng)林

(1.河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽 471003；2.機(jī)械裝備先進(jìn)制造河南省協(xié)同創(chuàng)新中心，河南 洛陽 471003)

并聯(lián)機(jī)器人又稱為并聯(lián)機(jī)構(gòu)，是由動平臺、靜平臺，以及連接2個(gè)平臺的若干條分支運(yùn)動鏈構(gòu)成的一種空間閉回路結(jié)構(gòu).因其具有精度高、速度響應(yīng)快、剛度大等優(yōu)點(diǎn)，并聯(lián)機(jī)器人已在現(xiàn)代諸多高端機(jī)器與精密儀器行業(yè)得到成功應(yīng)用，也成為國際機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)[1-2].絕大多數(shù)并聯(lián)機(jī)器人的分支運(yùn)動鏈數(shù)與其獨(dú)立自由度數(shù)相同[3-4]，即所有運(yùn)動鏈均為主動分支，且每條分支中僅含有一個(gè)主動副.這種結(jié)構(gòu)形式下，機(jī)器人的所有分支共同向動平臺提供驅(qū)動力和承擔(dān)外載荷.但也存在另外2種特殊情況，一種是機(jī)構(gòu)分支數(shù)小于其自由度數(shù)，另一種則是分支數(shù)大于其自由度數(shù).前者的優(yōu)點(diǎn)在于機(jī)器人結(jié)構(gòu)更加緊湊，構(gòu)件間的干涉現(xiàn)象降低，有效增大工作空間，但至少1條分支中含有2個(gè)主動副，如六自由度3-UrRS機(jī)構(gòu)[5].后者的顯著特點(diǎn)是含有純約束運(yùn)動鏈，能夠增加機(jī)構(gòu)的剛度和承載力，同時(shí)也降低了對主動分支的結(jié)構(gòu)約束要求，如3-UPS/S機(jī)構(gòu)[6].所謂純約束運(yùn)動鏈?zhǔn)且环N從動分支，其僅對機(jī)構(gòu)動平臺提供約束而不提供驅(qū)動力.盡管具有冗余主動分支并聯(lián)機(jī)器人的分支數(shù)也大于其自由度數(shù)，如AirGait機(jī)構(gòu)[7]，但因其不含純約束運(yùn)動鏈，故未將其歸類于上述情況.

構(gòu)型綜合方法是進(jìn)行并聯(lián)機(jī)器人創(chuàng)新設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)，直接決定著機(jī)器人的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和運(yùn)動特性.目前，國際上常用的并聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型綜合方法有：基于自由度計(jì)算公式的列舉法[8]、基于GF集綜合法[9]、基于方位特征集綜合法[10-11]、基于位移離子群綜合法[12]和基于螺旋理論綜合法[13-14].為解決并聯(lián)機(jī)器人的強(qiáng)運(yùn)動學(xué)耦合性，Gogu[15]提出了基于線性變換理論的完全各向同性并聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型綜合方法，構(gòu)造出多種自由度類型的解耦機(jī)構(gòu)；張彥斌等[16]基于驅(qū)動力螺旋理論建立了無耦合2R型并聯(lián)機(jī)器人的構(gòu)型綜合方法.

兩自由度移動并聯(lián)機(jī)器人作為并聯(lián)機(jī)器人中自由度最少、結(jié)構(gòu)最為簡單的結(jié)構(gòu)類型，在平面加工設(shè)備中具有良好的應(yīng)用前景.目前，關(guān)于無耦合兩自由度移動并聯(lián)機(jī)器人，尤其是含有純約束運(yùn)動分支的無耦合兩自由度移動并聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型綜合尤為少見.本文提出一種含有純約束運(yùn)動分支的無耦合2T型并聯(lián)機(jī)器人的構(gòu)型綜合方法，實(shí)現(xiàn)了具有預(yù)期運(yùn)動學(xué)特性機(jī)構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計(jì)，并對綜合出的2種新型并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析，驗(yàn)證了所提出理論方法的正確性.

1 并聯(lián)機(jī)器人動平臺的運(yùn)動特性分析

假定并聯(lián)機(jī)器人中僅含有1條純約束運(yùn)動分支，那么對于非冗余驅(qū)動無耦合2T型并聯(lián)機(jī)器人，其主動分支數(shù)目只能為2.為減小機(jī)器人的運(yùn)動慣性和增強(qiáng)運(yùn)動平穩(wěn)性，設(shè)計(jì)要求主動副安裝在定平臺上，即每條主動分支的第1個(gè)運(yùn)動副作為主動副.

并聯(lián)機(jī)器人動平臺的運(yùn)動特性通常是以各分支運(yùn)動鏈末端構(gòu)件運(yùn)動特性的交集來確定[17]，即

(1)

式中：MP為動平臺的運(yùn)動輸出特征矩陣；Mli為第i條分支運(yùn)動鏈末端構(gòu)件的運(yùn)動輸出特征矩陣；n為分支運(yùn)動鏈的總數(shù).

另外，也可先確定各分支運(yùn)動鏈約束空間特性的并集，然后再求解動平臺的運(yùn)動輸出特性[18]，即

(2)

S=Sm⊕Sc

(3)

式中：Sc為動平臺的約束空間特性；Sci為第i條分支的約束空間特性；Sm為動平臺的運(yùn)動空間特性；S為空間自由剛體的位形空間特性；⊕為直和符號.且有

dim(S)=dim(Sm)⊕dim(Sc)

(4)

式中dim(·)為空間的維數(shù).在笛卡兒空間下自由度剛體的維數(shù)dim(S)=6.

并聯(lián)機(jī)器人動平臺的運(yùn)動特性一般由分支運(yùn)動鏈的運(yùn)動特性或約束特性所決定.而無耦合并聯(lián)機(jī)器人動平臺的運(yùn)動特性不僅與分支運(yùn)動特性有關(guān)，還與各主動副通過分支運(yùn)動鏈?zhǔn)┘拥絼悠脚_上的驅(qū)動力類型，以及所有分支驅(qū)動力間的耦合形式有關(guān).對于無耦合2T型并聯(lián)機(jī)器人，其動平臺運(yùn)動輸出特性則直接取決于兩主動副分別施加到動平臺上的驅(qū)動力的類型及其耦合形式.

并聯(lián)機(jī)器人分支驅(qū)動力的類型包括線力矢和偶力矢.當(dāng)作用在動平臺上的驅(qū)動力僅有2個(gè)時(shí)，動平臺可能具有的運(yùn)動特性如表1所示.根據(jù)表1可知，只有施加在機(jī)器人動平臺上的2個(gè)驅(qū)動力為線力矢時(shí)，才能驅(qū)動動平臺做二自由度平面移動，且2個(gè)線力矢不能平行.若施加在動平臺上的力為線力矢和偶力矢的組合，或者2個(gè)力均為偶力矢，都不能驅(qū)動其做二維移動.

表1 機(jī)構(gòu)動平臺運(yùn)動輸出特性與分支驅(qū)動力特性之間的關(guān)系Table 1 Relationship between the output characteristics of the moving platform and the characteristics of the limb actuation force

2 主動分支運(yùn)動鏈的結(jié)構(gòu)綜合

2.1 機(jī)構(gòu)輸入- 輸出運(yùn)動間的數(shù)學(xué)模型

若并聯(lián)機(jī)器人的自由度為n，那么其動平臺輸入-輸出速度間的運(yùn)動學(xué)表達(dá)式可寫為

(5)

式中

根據(jù)式(5)可知，正雅可比矩陣Jdir由各分支的驅(qū)動力螺旋$ai構(gòu)成，而逆雅可比矩陣Jinv為對角陣，且對角線上的元素分別為同一條分支的驅(qū)動力螺旋$ai與主動運(yùn)動螺旋$i1的互易積.因此，根據(jù)式(5)可寫出2T型并聯(lián)機(jī)器人的速度表達(dá)式，即

(6)

令ki=$ai°$i1，若滿足條件ki≠0，則式(6)可改寫為

(7)

對于無耦合2T型并聯(lián)機(jī)器人，因其輸入-輸出速度之間存在一一對應(yīng)的線性映射關(guān)系，故雅可比矩陣必為對角陣.因此，機(jī)構(gòu)輸入-輸出運(yùn)動之間的數(shù)學(xué)模型為

(8)

式中：ζ1=La1/k1；ζ2=Ma2/k2.

2.2 第1條主動分支的結(jié)構(gòu)綜合

設(shè)定坐標(biāo)系O-XYZ固接于機(jī)器人定平臺，動坐標(biāo)系o-xyz固接于動平臺，且兩坐標(biāo)系的3個(gè)坐標(biāo)軸對應(yīng)平行，如圖1所示.令第1條主動分支獨(dú)立驅(qū)動動平臺沿X軸方向移動，而其他主動分支在此方向上不提供驅(qū)動力.

圖1 主動分支的驅(qū)動力螺旋與主動螺旋Fig.1 Actuation screws and actuated screws of active limb

由于要求機(jī)構(gòu)動平臺具有無耦合運(yùn)動特性，因此式(8)中雅可比矩陣對角線上的第一個(gè)元素ζ1必不為零，故有La1≠0，且Ma1=0.同時(shí)，根據(jù)式(6)～(8)可知，機(jī)器人輸入與輸出速度之間的運(yùn)動傳遞與分支驅(qū)動力螺旋$a1的方向矢量在Z軸上的分量Na1無關(guān)，即可取Na1=0.那么該主動分支的主動副施加到動平臺上驅(qū)動力螺旋$a1的形式為

(9)

式(9)表明驅(qū)動力螺旋$a1是一條平行于x軸的零節(jié)距螺旋，即為沿x軸方向的一個(gè)線力矢，見圖1.該驅(qū)動力螺旋軸線必然通過o-yz平面上一點(diǎn)A(0,ya1,za1)，則有Qa1=za1，Ra1=-ya1.

在一般機(jī)構(gòu)位形下，其運(yùn)動傳遞必不能失真，因此元素ζ1既不能為零也不能趨于無窮大，故有

k1=$a1°$11≠0

(10)

式中，$11為第1條主動分支的主動螺旋，其形式可能為無窮大節(jié)距螺旋或零節(jié)距螺旋.

1)當(dāng)$11為無窮大節(jié)距螺旋時(shí)

這種情況下，$11=[0 0 0;L11M11N11]，將$11代入式(10)得

k1=L11≠0

(11)

式(11)表明，k1值僅與主動螺旋$11的方向矢量在X軸上的分量L11有關(guān)，而與其在另外兩坐標(biāo)軸上的分量無關(guān)，故可取L11=1，M11=N11=0.因此，可確定出該分支主動螺旋的形式為

(12)

顯然，第1條主動分支的主動螺旋可為平行于X軸的無窮大節(jié)距螺旋(見圖1)，即該分支主動副可選取沿X軸方向運(yùn)動的移動副.

類型Ⅰ-1 平行于X軸的零節(jié)距螺旋，如果存在此類形式螺旋，其數(shù)量至少為2，最多為3，且2個(gè)螺旋之間不能插入其他零節(jié)距螺旋.

類型Ⅰ-2 垂直于X軸的無窮大節(jié)距螺旋，其數(shù)量最多為2，此類螺旋可插入任意位置.

類型Ⅰ-3 與驅(qū)動力螺旋$a1軸線相交的零節(jié)距螺旋為惰性螺旋(idle screw)，其數(shù)量最多為2.

2)當(dāng)$11為零節(jié)距螺旋時(shí)

k1=P11+za1M11-ya1N11≠0

(13)

根據(jù)式(13)可知，k1的值僅與$11的方向矢量在Y軸和Z軸的分量有關(guān)，而與其在X軸上的分量無關(guān)，故取L11=0.因$11固接于定平臺，可令其轉(zhuǎn)動軸線過定坐標(biāo)系原點(diǎn)，于是得P11=Q11=R11=0.那么，式(13)可進(jìn)一步簡化為

k1=za1M11-ya1N11≠0

(14)

式(14)中的坐標(biāo)參數(shù)ya1和za1為變量，其數(shù)值隨著機(jī)構(gòu)的運(yùn)動而發(fā)生變化，且在一般機(jī)構(gòu)位形下均不為零.若式(14)中參數(shù)M11和N11均不為零，可能出現(xiàn)k1=0的情況，這與要求相悖，故兩者之一可取為1，另一個(gè)則為0.又因M11和N11僅決定了主動螺旋$11的軸線方向，而不會改變其性質(zhì)，這里取M11=1、N11=0.于是可確定出這種情況下第1條分支主動螺旋的形式，即

(15)

同理，根據(jù)驅(qū)動力螺旋與非主動螺旋互易積為零的特性和螺旋的線性相關(guān)條件，可確定出所有非主動螺旋的類型和數(shù)量，具體如下：

類型Ⅱ-1 平行于X軸的零節(jié)距螺旋，若存在這種螺旋，其數(shù)量至少為2、最多為3.

類型Ⅱ-2 與驅(qū)動力螺旋$a1相交且平行于Y軸的零節(jié)距螺旋，其數(shù)量有且僅有1個(gè)，并與主動運(yùn)動螺旋相鄰.

類型Ⅱ-3 垂直于X軸的無窮大節(jié)距螺旋，其數(shù)量最多為2.

類型Ⅱ-4 與驅(qū)動力螺旋$a1軸線相交且垂直于Y軸的零節(jié)距螺旋，其數(shù)量最多為1.

當(dāng)分支主動螺旋和非主動螺旋確定后，可根據(jù)分支連接度的不同列舉出所有結(jié)構(gòu)形式的運(yùn)動鏈結(jié)構(gòu)，其中基本的分支結(jié)構(gòu)類型有：2P、2P1R、1P3R、2P2R、2P3R、1P4R、5R、1P5R、2P4R和6R型.通過將基本分支中相鄰運(yùn)動副的組合可得到含有C副、U副和S副的運(yùn)動鏈結(jié)構(gòu).另外，基本分支中的P副可用一個(gè)Pa副(由4個(gè)軸線平行的R副組成平行四邊形結(jié)構(gòu))替換；而2個(gè)相鄰且軸線平行的P副和R副則可由一個(gè)Pu副(由2個(gè)軸線平行的R副和2個(gè)U副組成的平行四邊形結(jié)構(gòu))替換，可得到含有平面閉回路結(jié)構(gòu)的新型分支運(yùn)動鏈.

表2 第1條主動分支運(yùn)動鏈的類型及結(jié)構(gòu)Table 2 Type and structure of the first active limb kinematic chain

續(xù)表2

2.3 第2條主動分支的結(jié)構(gòu)綜合

設(shè)第2條主動分支僅為動平臺沿Y軸方向的移動提供驅(qū)動力.根據(jù)機(jī)構(gòu)速度雅可比矩陣對角線上第2個(gè)元素ζ2為非零的條件，可寫出該分支驅(qū)動力螺旋$a2的形式為

(16)

即$a2為平行于Y軸的線力矢，且其必過o-xz面上一點(diǎn)B(xa2,0,za2)，則有Ra2=xa2、Pa2=-za2.

由于雅可比矩陣中元素ζ2必須為非零實(shí)數(shù)，故可得

k2=$a2°$21=Q21-za2L21+xa2N21≠0

(17)

為使得式(17)在機(jī)構(gòu)一般位形下均成立，那么該分支的主動螺旋$21的形式應(yīng)為

(18)

根據(jù)式(18)可知，主動螺旋$21的形式既可為平行于Y軸的無窮大節(jié)距螺旋，也可為平行于X軸的零節(jié)距螺旋.

同樣，根據(jù)主動螺旋與驅(qū)動力螺旋之間的關(guān)系，能夠確定出分支中所有可行非主動運(yùn)動螺旋的具體類型和數(shù)目.

1)當(dāng)$21為無窮大節(jié)距螺旋時(shí)

這種情況下，分支中非主動運(yùn)動螺旋的可能形式為：

類型Ⅰ-1 平行于Y軸的零節(jié)距螺旋，如果存在此類形式螺旋，其數(shù)量至少為2，最多為3.

類型Ⅰ-2 垂直于Y軸的無窮大節(jié)距螺旋，其數(shù)量最多為2，且兩螺旋的軸線不能平行.

類型Ⅰ-3 與驅(qū)動力螺旋$a2軸線相交的零節(jié)距螺旋，為惰性螺旋，其數(shù)量最多為2.

2)當(dāng)$21為零節(jié)距螺旋時(shí)

此時(shí)，分支非主動運(yùn)動螺旋的形式為：

類型Ⅱ-1 與驅(qū)動力螺旋$a2相交且平行于X軸的零節(jié)距螺旋，其數(shù)量有且僅有1個(gè).

類型Ⅱ-2 平行于Y軸的零節(jié)距螺旋，若存在這種螺旋，其數(shù)量至少為2，最多為3.

類型Ⅱ-3 垂直于Y軸的無窮大節(jié)距螺旋，其數(shù)量最多為2.

類型Ⅱ-4 與驅(qū)動力螺旋$a2軸線相交且垂直于X軸的零節(jié)距螺旋，為惰性螺旋，其數(shù)量最多為1.

當(dāng)主動和非主動運(yùn)動螺旋確定后，按照分支連接的不同即可列舉出所有可行運(yùn)動鏈結(jié)構(gòu).因與第1條分支具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)形式，將表2中運(yùn)動副符號的下標(biāo)x和y對調(diào)便可得到第2條分支的結(jié)構(gòu)形式.

3 純約束運(yùn)動分支的結(jié)構(gòu)綜合

由于純約束運(yùn)動分支僅對機(jī)器人動平臺提供約束而不提供驅(qū)動力，故其結(jié)構(gòu)上的關(guān)鍵功能是將動平臺限定在一個(gè)平行于坐標(biāo)面XOY的平面內(nèi).因此，純約束運(yùn)動鏈的基礎(chǔ)運(yùn)動螺旋系為

(19)

式(19)表明兩螺旋分別平行于X、Y軸的無窮大節(jié)距螺旋.

根據(jù)式(19)可求出基礎(chǔ)運(yùn)動螺旋系的約束螺旋系，有

(20)

純約束運(yùn)動分支至少需約束掉動平臺沿Z軸方向的移動自由度，故式(20)中約束螺旋$r4必然存在，而其他3個(gè)約束螺旋則不一定存在.所以根據(jù)式(19)(20)可確定出純約束運(yùn)動鏈中運(yùn)動螺旋類型及數(shù)目，具體為：

類型1 垂直于Z軸的無窮大節(jié)距螺旋，其數(shù)量最多為2.

類型2 平行于Z軸的零節(jié)距螺旋，其數(shù)量最多為3，但當(dāng)其數(shù)量為1時(shí)，該螺旋為惰性螺旋.

類型3 垂直于Z軸的零節(jié)距螺旋，為惰性螺旋，其數(shù)目最多為2，且兩螺旋軸線不能平行.

同理，按照分支連接度的不同列舉出純約束運(yùn)動分支的所有結(jié)構(gòu)形式，如表3所示.

表3 純約束運(yùn)動分支運(yùn)動鏈的類型及結(jié)構(gòu)Table 3 Type and structure of the constraint limb kinematic chain

表3中，不含惰性副的基本形式有3種，即2P、1P2R和3R型.其中僅給出了基本運(yùn)動鏈的結(jié)構(gòu)形式，如果將相鄰運(yùn)動副合并或進(jìn)行運(yùn)動副替換，則可得到含有多自由度運(yùn)動副或平面閉回路結(jié)構(gòu)的分支運(yùn)動鏈，這里不再具體列舉.

4 無耦合2T型并聯(lián)機(jī)器人的構(gòu)型綜合

當(dāng)所有分支運(yùn)動鏈都綜合完成后，從表2任取2條運(yùn)動鏈作為主動分支并從表3中取出1條運(yùn)動鏈作為純約束分支，然后按照相應(yīng)的配置方位將動平臺和定平臺連接起來，即可得到二自由度無耦合移動并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu).為保證所綜合出的機(jī)構(gòu)具有預(yù)期的運(yùn)動學(xué)特性，3條分支的選取和裝配必須滿足下述條件：

1)3條分支運(yùn)動鏈的連接度之和(即分支中所有運(yùn)動副的自由度之和)應(yīng)小于等于14；

2)若分支中含有惰性副，3條運(yùn)動鏈中的轉(zhuǎn)動副不允許存在軸線平行的情況；

3)為使得機(jī)構(gòu)具有較好對稱性，以及便于加工制造和降低生產(chǎn)成本，2條主動分支盡可能選取同一種結(jié)構(gòu)形式.

根據(jù)上述原則，理論上共可以綜合出2 380種具有較好對稱結(jié)構(gòu)形式的無耦合2T型并聯(lián)機(jī)器人，其中78種不含有惰性運(yùn)動副.需要注意的是，當(dāng)2條主動分支的連接度均小于或等于3時(shí)，不需要約束分支也能構(gòu)成2T型并聯(lián)機(jī)器人.但相較于兩分支2T型并聯(lián)機(jī)器人，含有純約束運(yùn)動分支的機(jī)構(gòu)不僅能增加機(jī)器人的承載能力和穩(wěn)定性，還能夠降低主動分支的結(jié)構(gòu)約束要求.

例如，從表2中選取RURR型運(yùn)動鏈作為2條主動分支，再從表3中選取RRR型運(yùn)動鏈作為純約束分支，則可構(gòu)成三分支2-RURR/RRR型并聯(lián)機(jī)器人，如圖2所示.

圖2 2-RURR/RRR型并聯(lián)機(jī)器人Fig.2 2-RURR/RRR parallel robot

當(dāng)選取兩主動分支中的第1個(gè)R副為主動副時(shí)，可推導(dǎo)出其速度方程，即

(21)

根據(jù)式(21)可知，機(jī)構(gòu)雅可比矩陣為對角陣，因此主動關(guān)節(jié)輸入速度矢量和動平臺輸出速度矢量之間存在一對一的控制關(guān)系，即該機(jī)器人具有無耦合運(yùn)動學(xué)特性.

若分別從表2、3中選取CPR和RPR型運(yùn)動鏈作為2條主動分支和純約束分支，可得到新型2-CPR/RPR并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)，如圖3所示.

圖3 2-CPR/RPR型并聯(lián)機(jī)器人Fig.3 2-CPR/RPR parallel robot

當(dāng)取兩C副中的線性位移作為主動輸入時(shí)，機(jī)構(gòu)的速度方程為

(22)

式(22)表明該機(jī)構(gòu)雅可比矩陣為單位陣，其運(yùn)動條件數(shù)恒等于1，所以該并聯(lián)機(jī)器人在整個(gè)工作空間具有完全各向同性的運(yùn)動學(xué)性能.

5 機(jī)構(gòu)自由度特性分析

為驗(yàn)證所綜合出機(jī)器人機(jī)構(gòu)均具有預(yù)期的自由度特性，下面將以圖3所示2-RURR/RRR型并聯(lián)機(jī)器人為例，對其進(jìn)行自由度分析和計(jì)算.

根據(jù)圖3機(jī)構(gòu)第1條分支運(yùn)動鏈的配置形式可寫出其分支運(yùn)動螺旋系為

(23)

式中：$ij為第i條分支中第j個(gè)單自由度關(guān)節(jié)的運(yùn)動螺旋；aij、bij和cij為對應(yīng)關(guān)節(jié)軸線的位置參數(shù)，并不需要求出其具體數(shù)值.

利用互易積原理，根據(jù)式(23)可求出第1條主動分支的約束螺旋，即

(24)

(25)

式(25)表明該分支同樣約束了動平臺繞Z軸的轉(zhuǎn)動自由度.

而機(jī)構(gòu)純約束分支的運(yùn)動螺旋系可寫為

(26)

利用互易積原理求出式(26)的約束螺旋系為

(27)

因此，3條分支共同約束了動平臺繞X、Y、Z三個(gè)軸線方向的轉(zhuǎn)動自由度和沿Z軸方向的移動自由度，故該機(jī)構(gòu)動平臺僅具有沿X、Y軸方向移動自由度.

而并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)可利用G-K修正公式進(jìn)行計(jì)算，即

(28)

式中：M為機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)；d為機(jī)構(gòu)的階數(shù)，其中d=6-λ，為公共約束數(shù)；n為構(gòu)件數(shù)；g為運(yùn)動副的個(gè)數(shù)；fi為第i個(gè)運(yùn)動副的自由度；v為冗余約束數(shù)；ζ為局部自由度數(shù).

對于圖3所示機(jī)構(gòu)，其各參數(shù)分別為λ=0、d=6、n=10、g=11、v=1、∑fi=13、ζ=0.將上述參數(shù)代入式(28)得M=2，即該機(jī)構(gòu)僅具有2個(gè)自由度.

上述分析表明，圖3所示2-RURR/RRR并聯(lián)機(jī)器人僅有2個(gè)自由度，且其分別為沿X、Y軸方向移動，從而驗(yàn)證了本文所綜合出機(jī)構(gòu)均具有預(yù)期的自由度特性.

6 結(jié)論

1)本文提出一種含有純約束運(yùn)動鏈的無耦合二維移動型并聯(lián)機(jī)器人的構(gòu)型綜合方法，并基于該方法實(shí)現(xiàn)了三分支二自由度移動并聯(lián)機(jī)器人的設(shè)計(jì)，得到78種不含有惰性副的新型機(jī)構(gòu).所綜合出的機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡單、運(yùn)動解耦性好、控制設(shè)計(jì)容易等特點(diǎn).

2)2種機(jī)構(gòu)的實(shí)例分析表明，利用本文提出的構(gòu)型綜合方法所設(shè)計(jì)出并聯(lián)機(jī)器人均具有無耦合運(yùn)動學(xué)特性，且僅具有2個(gè)移動自由度，從而驗(yàn)證了該方法的正確性和有效性.