羅麗

高中數(shù)學(xué)知識(shí)是對(duì)初中數(shù)學(xué)的延伸、拓展，初高中數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著很多的聯(lián)系.在解答一些高中數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們?nèi)裟茏儞Q思考問(wèn)題的方向，借助初中數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)求解，能達(dá)到化難為易的目的.下面就結(jié)合實(shí)例來(lái)談一談如何巧妙利用初中數(shù)學(xué)知識(shí)，解答與高中數(shù)學(xué)中的平面幾何、解三角形、圓有關(guān)的問(wèn)題.

例1.（廣東省江門市2021屆普通高中高三12月調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題，第16題）正方形的邊長(zhǎng)為1，、分別為邊、上的點(diǎn)，△的周長(zhǎng)為2，則∠=______.

分析：該題主要考查平面幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，若采用高中知識(shí)求解，需通過(guò)解三角形、進(jìn)行三角恒等變換、利用三角函數(shù)的性質(zhì)，才能順利解出.而利用初中平面幾何知識(shí)：全等三角形、周長(zhǎng)公式、四邊形的性質(zhì)可以高效解題.

解：如圖1所示，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得=，連接，由題意可得△≌△，則∠=∠，=，

由于△的周長(zhǎng)為2，可得=2--=1-+1-=+=+=， ????????????????????????????圖1

又由于=，=CP，可得△≌△，則∠=∠，

在四邊形中，由于∠+∠=∠+∠=180o，

所以∠+∠=180o，而∠=90o，則有∠=90o，

所以∠==45o.

在利用初中平面幾何知識(shí)解答高中平面幾何問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)平面幾何圖形合理添加輔助線，以便構(gòu)造全等三角形、平行四邊形、直角三角形等，利用全等三角形的性質(zhì)、邊角的關(guān)系、平面四邊形的性質(zhì)等建立關(guān)系式.

例2.（2020屆浙江省杭州四中高三上學(xué)期期中考試，第16題）在△中，∠為直角，點(diǎn)在線段上，滿足=2=2，記∠=，若對(duì)于給定的，這樣的△是唯一確定的，則=______.

分析：該題屬于解三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，需靈活運(yùn)用基本不等式、三角函數(shù)、解析幾何等等知識(shí)來(lái)處理.而利用初中階段圓的知識(shí)可以有效破解難題.

解：作△的外接圓，如圖2所示，

根據(jù)題目條件可知，對(duì)于給定的，這樣的△是唯一確定的，那么直線與△的外接圓的交點(diǎn)必須是唯一的，即直線與圓的相切，

結(jié)合圓的切割線定理，可得=·=2×3=6，

解得=.

我們通過(guò)構(gòu)造三角形的外接圓，結(jié)合圖形進(jìn)行分析，快速確定直線與圓的位置關(guān)系，利用圓的切割線定理便可快速解題.

例3.在△中，分別為角所對(duì)的邊，若=2，△的面積為1，則的最小值為_____.

分析：運(yùn)用高中數(shù)學(xué)知識(shí)解答本題，需根據(jù)邊長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)線段的比例關(guān)系以及面積的定值來(lái)確定第三邊的最值，要靈活運(yùn)用解三角形中的余弦定理、三角形的面積公式、三角函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)法等來(lái)處理.而利用初中相關(guān)公式則可以快速解題.我們根據(jù)三角形面積的海倫公式建立新的關(guān)系式，把解三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，利用方程的判別式來(lái)建立相應(yīng)的不等式，通過(guò)解不等式即可求得邊長(zhǎng)的最值.

解：由三角形面積的海倫公式==1，其中=，

而=2，則16=（++）（-++）（-+）（+-）=-（++）+2（++）=-（++16）+2（+4+4），

則9-10++16=0，

而關(guān)于的一元二次方程的判別式△=（-10）-36（+16）=64-576≥0，

可得≥3，解得≥，即的最小值為.

總之，運(yùn)用初中數(shù)學(xué)知識(shí)也能巧妙破解高中數(shù)學(xué)問(wèn)題，特別是在遇到與高中數(shù)學(xué)中的平面幾何、解三角形、圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用初中的平面幾何、三角函數(shù)、函數(shù)、方程等知識(shí)，能快速、有效地破解難題.所以同學(xué)們要夯實(shí)基礎(chǔ)，將初高中數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，這樣在解題時(shí)便能靈活運(yùn)用基本知識(shí)，將問(wèn)題加以巧妙轉(zhuǎn)化.

（作者單位：山東省聊城第三中學(xué) ）