杜瑞芝

L.G.弗雷格（L.G.Frege）是德國數(shù)學家、邏輯學家和哲學家.早年他在耶拿大學、弗雷格哥丁根大學學習數(shù)學、物理、化學和哲學，1873年獲博士學位后在母校耶拿大學任教，直至退休.他是數(shù)理邏輯和分析哲學的奠基人，主要著作有《算術基礎》《涵義與指稱》《概念語言》《算術的基本規(guī)律》1～2卷（以下簡稱《基本規(guī)律》）等.

弗雷格首先是作為一位數(shù)學家和邏輯學家而聞名于世的.他在數(shù)學上的主要成就是使自C.F.高斯（C.F.Gauss）以來所建立的數(shù)學體系更加精確和完善，確立了算術演算的基本規(guī)則.他第一個建立了初步自足的命詞演算系統(tǒng)和量詞理論，并且首次提供了現(xiàn)代意義下的數(shù)理邏輯的一個體系，因而成為數(shù)理邏輯的奠基人.他還提出數(shù)學可以化歸為邏輯的思想，成為邏輯主義的創(chuàng)始人.弗雷格還是一位杰出的哲學家.他的絕大部分著作都具有明顯的哲學特征.弗雷格對哲學的重新規(guī)定，標志著當代西方分析哲學的開端.

一、建立了邏輯演算體系

弗雷格主要從事純邏輯的研究.他用數(shù)學方法研究邏輯問題，其研究成果總結(jié)在1879年出版的《概念語言》中.18世紀德國哲學家A.特倫德倫堡（A.Trendelenburg）的著作對弗雷格有較大的影響.通過研究特倫德倫堡的工作，弗雷格了解到G.W.萊布尼茨（G.W.Leibniz）關于邏輯語言的觀點，并追隨特倫德倫堡，把他的邏輯符號系統(tǒng)稱作“概念語言”.經(jīng)過5年的精心研究，弗雷格完成了一部劃時代的著作——《概念語言》.在這本書里，弗雷格把從R.H.洛采（R.H.Lotze）和特倫德倫堡，以及從萊布尼茨和I.康德（l.Kant）那里得到的觀點，變成了一種全新的邏輯.這本不足80頁的書是弗雷格的不朽之作.弗雷格在此建立的邏輯有效地終結(jié)了亞里士多德邏輯兩千多年來一直占據(jù)的統(tǒng)治地位，完成了始于幾百年前G.伽利略（G.Galilei）破除亞里士多德物理學的進程.在《概念語言》中，弗雷格創(chuàng)造了一種表意的語言，即“純粹思想的語言”.正如他在這本書的副標題中所說——它可以使我們完全精確地表達判斷的概念內(nèi)涵.他覺得日常語言是表達嚴密思想的障礙.當所表達的關系越復雜時，日常語言就越不能滿足要求.因此他創(chuàng)造了這種概念語言.利用這種語言，弗雷格成功地構造了一個嚴格的邏輯演算體系.

下面簡要介紹一下弗雷格邏輯演算的內(nèi)容.

1.弗雷格嚴格區(qū)別了命題的表達和斷定.他引進斷定符號“”.用“”表示“是被斷定的”，將垂直短線“”稱為判斷短線、水平短線“”稱為內(nèi)容短線.“”是一個整體，它只表達可斷定的內(nèi)容，即命題的表達.而“”才表示命題的斷定.如“”表示“不同的磁極相互吸引”這一斷言，而“”只是表達了不同磁極相互吸引這一思想.

2.弗雷格明確提出真值蘊涵的思想，并指出它與日常語言的區(qū)別.他采用否定和蘊涵作為基本的邏輯聯(lián)結(jié)詞，用“”表示“非”.符號“△”表示“△蘊含”.他列舉了和△的四種可能的真值組合：（1）??? 肯定，△肯定;（2）??? 肯定，△否定;（3）??? 否定，△肯定;（4）??? 否定，△否定.弗雷格說，當為真時，△蘊含常可被斷定，在此情形下，△可以是任一命題，其具體內(nèi)容完全無所謂.??? 和△不必有因果關系，與日常語言中的“如果……則”……不同.

3.弗雷格引進了一個內(nèi)容同一的符號.設和△為任意名稱，即不一定是命題記號，他規(guī)定，“”的意思是“名稱和名稱△有相同的概念內(nèi)容，使得總是能由△替換，反之亦然”.他還指出，由他的新符號所聯(lián)結(jié)的名稱不僅代表它們的內(nèi)容而且代表名稱自身.后來，他改用符號“=”，“=”不被看成兩個名字之間的關系，而是看成名字的指稱之間的關系.“=”用于專門的指稱，相當于等詞;用于命題的指稱（真值），則相當于現(xiàn)在的等值符號.

4.弗雷格把數(shù)學中的函數(shù)概念引入邏輯演算，從而建立了量詞的理論.他采用變目和函項兩個術語，表示變目，記號表達變目的一個不確定的函項.記號表達按順序所取的兩個變目和△的一個函項.假定如下一種函項：當它由變目填滿時，它表達可能的判斷內(nèi)容.于是，“”讀作“有性質(zhì)Φ”，“”讀作“與△有關系Ψ”.弗雷格使用這種符號的主要優(yōu)點是，它比普通語言所表達的更令人滿意.在此基礎上，弗雷格引進了全稱量詞和存在量詞.

5.弗雷格建立了8條公理，用現(xiàn)代的符號表示為：

（1）??? ;

（2）??? ;

（3）??? ;

（4）??? ;

（5）??? ;

（6）??? ;

（7）??? ;

（8）??? .

弗雷格在上述公理的基礎上，進行了大量的推演，成功地構造了一種基本自足的邏輯演算，從而給出了歷史上第一個嚴格的關于邏輯規(guī)律的公理系統(tǒng)——現(xiàn)代的邏輯系統(tǒng).它實質(zhì)上包含了作為現(xiàn)代數(shù)理邏輯基礎的兩個演算系統(tǒng)——命題演算系統(tǒng)和一階謂詞演算系統(tǒng).

不幸的是，弗雷格這本劃時代的小冊子被數(shù)學家和哲學家們忽視了.他在《概念語言》中建立的新邏輯沒有馬上被人理解.其中使用復雜而陌生的符號來表達新奇的概念，確使讀者望而生畏.德國數(shù)學家E.施羅德（E.Schrder）發(fā)表了長篇文章，對該書進行全面批評.事實上，直到B.A.W.羅素（Russell）1901年開始發(fā)現(xiàn)弗雷格著作的價值之前，《概念語言》幾乎沒有讀者.

《概念語言》出版之后，弗雷格開始形成邏輯主義的觀點.在最初幾年，他由于自己的著作沒有受到重視而大受挫折，沒有發(fā)表任何作品.但他仍然在重新思考和深刻挖掘自己的哲學和數(shù)學觀點，并逐漸形成了他的數(shù)學哲學的三個主要原則：

第一，他反對在數(shù)學基礎問題上的經(jīng)驗主義，否認數(shù)學來源的經(jīng)驗基礎，強調(diào)數(shù)學真理的先天性;

第二，他認為數(shù)學真理是客觀的，這種客觀性基于數(shù)學的非經(jīng)驗的基礎.在他看來，客觀性是思想的必要條件;

第三，他主張一切數(shù)學最終都可化歸為邏輯，數(shù)學概念可以定義為邏輯普遍要求的概念，數(shù)學公理可以從邏輯原則中得到證明.

這第三條原則后來被羅素作為邏輯主義的基本主張而廣為傳播，弗雷格因此成為邏輯主義的創(chuàng)始人之一.

二、將自然數(shù)的理論“邏輯化”

弗雷格發(fā)展了《概念語言》中關于數(shù)學序列的理論.在那里他用“遺傳性”定義了“y屬于從x開始的f-序列”和“y是x的f-后裔”，為自然數(shù)的定義和說明數(shù)學歸納法作了理論和技術上的準備.弗雷格給出的自然數(shù)定義的核心在于使用了，一一對應”的概念：屬于兩個概念F和G的對象借助于關系Φ一一對應，如果：（1）每一個屬于概念F的對象對于屬于概念G的一個對象，有關系Φ;（2）對于屬于概念G的每一個對象，存在一個屬于概念F并與前者有關系中的對象;（3）對所有x，y和z而言，如果x對y和z有關系中，那么y和z就是同樣的;（4）對所有x，y和z而言，如果x和y對z有關系Φ，那么x和7就是同樣的.

弗雷格在此基礎上構造了以下三個定義：

（1）“概念F與概念G是等數(shù)的”與“存在一個關系Φ，使得屬于概念F的對象與屬于概念G的對象一一對應”其意義是相同的.

（2）屬于概念F的數(shù)是“與概念F等數(shù)”這一概念的外延.

（3）“n是一個數(shù)”與“存在一個概念使得n是屬于它的數(shù)”其意義是相同的.

接著他又定義了“n在自然數(shù)序列中是m的直接后繼”：“存在一個概念F和一個歸于它的對象x，使得屬于概念F的數(shù)是n，屬于概念‘歸于F但不同于x’的數(shù)是m”.這實質(zhì)上是后繼函數(shù)的定義.

在這些工作的基礎上，弗雷格取0作為數(shù)列的起點，提出了如下定義：

0是屬于概念“不同于自身”的數(shù);

1是屬于概念“同于0”的數(shù);

2是屬于概念“同于0或同于1”的數(shù);

3是屬于概念“同于0或同于1或同于2”的數(shù);

……

可見，1在自然數(shù)序列中是0的直接后繼，2在自然數(shù)序列中是1的直接后繼，等等.

事實上，弗雷格所用到的“一一對應”概念與康托爾所謂的集合的“等價”意義是一樣的，弗雷格指出，他的數(shù)與康托爾理論中集合的“勢”或“基數(shù)”是相同的.兩個概念同數(shù)，就是兩個集合等價.概念“與概念F等數(shù)”的外延，就是與集合F等價的一切集合構成的集合.所以弗雷格實際上是把數(shù)定義為集合的集合，或類的類.利用康托爾的語言概括弗雷格關于數(shù)的定義：

（1）一個集合的基數(shù)是所有等價于它的集合的集合.

（2）0=df·{^}（空集合的單元集）

1=df·{0}，

2=df·{0，1}，

3=df·{0，1，2}.

弗雷格的后續(xù)函數(shù)的定義實際上是說：后續(xù)函數(shù)把等價集合的集合m映射到一個新的集合的集合Φ（m）（即n），Φ（m）中的每一個集合是由在m中的某一個集合加上一個新分子而得到.

由此可見，自然序列中的每一個數(shù)，有一個直接后繼的數(shù).這樣，自然數(shù)就由0和后繼函數(shù)而確定下來.

康托爾在1884年也給出數(shù)的定義，但弗雷格的定義比康托爾的更為精確.

弗雷格從邏輯角度出發(fā)定義了數(shù)和自然數(shù)，他對自然數(shù)的歸納定義也是對數(shù)學歸納法的最好說明.他認為，借助于上述定義，自然數(shù)的概念就被化歸成了邏輯的概念;自然數(shù)的理論則可以借助于上述定義和邏輯得到建立，這樣，算術理論就被“邏輯化”了.

三、進一步完善邏輯演算系統(tǒng)

《基本規(guī)律》是弗雷格的另一部著作.弗雷格認為，邏輯的原則是完全可靠的，一旦完成了上述工作，數(shù)學“就被固定在一個永恒的基礎上了.”

1893年，他出版了《基本規(guī)律》第一卷，它是《算術的基礎》的理論的嚴謹發(fā)展，書中改進了《概念語言》符號系統(tǒng)，提出了不同的公理，闡述了高階謂詞演算.從《概念語言》到《基本規(guī)律》，弗雷格的邏輯發(fā)生了三個主要變化：（1）他在自己的系統(tǒng)中加上了函項的值域這一概念;（2）區(qū)分了意義的兩個方面，即“所指”和“意義”;（3）更為嚴格地規(guī)定了與對象相對的函項的性質(zhì)，明確提出了“第一層函項”和“第二層函項”的區(qū)別.第一層函項就是以前所定義的函項，其變目是對象，第二層函項就是函項的函項，其變目是函項，例如在Mβ（F（β））中，Mβ就是第二層函項，其變目是F.弗雷格還把概念分為第一層概念和第二層概念.這些邏輯上的變化在《基本規(guī)律》第一卷之前的5篇文章中就已經(jīng)提出并作了解釋.

弗雷格在《基本規(guī)律》第一卷中建立了另一個邏輯系統(tǒng)——二階謂詞演算，并提出了新的公理.他用‘xF（x）代表F（x）的值域，例如，若F（x）表達“x是人”，則它的值域‘xF（x）就表達“人類”.他還引進代表定冠詞的函項符號＼x.如＼xF（x），讀為“那個具有性質(zhì)F的x”.

在這個新系統(tǒng)中，除分離規(guī)則和代入規(guī)則之外，弗雷格還把原來系統(tǒng)的一些公理和定理作為新的推理規(guī)則.在這一系統(tǒng)中處理了命題演算、謂詞演算、類理論和關系理論，更重要的是進行了推導算術的工作.

《基本規(guī)律》第一卷出版后，再次受到冷遇.然而，弗雷格并沒有放棄自己的目標，他繼續(xù)撰寫《基本規(guī)律》第二卷，其中主要論述實數(shù)的理論，并用較多的篇幅批評當時流行的觀點.但是，弗雷格并沒有完成他的計劃.因為要理解數(shù)學科學的性質(zhì)，除了算術以外，還必須考慮無窮集合的理論——集合論.弗雷格沒有深入研究集合論，沒有接觸到關于無窮集合的各種問題，特別是悖論問題.

弗雷格在極度消沉中度過了長達十幾年的時間.最初，他相信能有補救的辦法使他的系統(tǒng)避免矛盾.他首先提出一種設想：可能有一些概念沒有相應的類.然后他用修改第V公理的辦法來阻止羅素悖論的衍生.但是，后來邏輯學家的工作證明，他所做的努力并不足以使他的系統(tǒng)避免不一致.他還打算論述集合論的邏輯悖論（1906）.經(jīng)過幾年的努力之后，弗雷格似乎不那么相信能夠找到解決矛盾的辦法.雖然他沒有公開放棄自己的主張，但也不再做進一步的努力.直到1918年，弗雷格才徹底放棄把算術化歸為邏輯的一切希望，放棄了《基本規(guī)律》第三卷的寫作計劃.

從此以后，他的研究興趣仍在數(shù)學基礎上，并很自然地轉(zhuǎn)向幾何學，提出了幾何學是整個數(shù)學的基礎的主張.弗雷格在1903年以后就很少再發(fā)表論著了.

雖然弗雷格的邏輯主義綱領沒有實現(xiàn)，但是他的獨創(chuàng)性工作對數(shù)學和哲學的發(fā)展都產(chǎn)生了重要影響.他的成就在有生之年沒有得到廣泛的承認，在通過少數(shù)幾位有洞察力的人的努力下，他的思想才逐漸得到理解，并最終得到了發(fā)展.