夏 鵬，李 旭

1.江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學院無錫旅游商貿(mào)分院，江蘇無錫,214045;

2.浙江理工大學科技與藝術(shù)學院，浙江紹興,312369

通過數(shù)學模型研究生態(tài)系統(tǒng)各種復雜的現(xiàn)象一直是熱門的研究課題[1-2]。為了更好優(yōu)化整合生態(tài)資源，Liu[3]在2009年建立了如下的生態(tài)數(shù)學模型：

(1)

其中，模型(1)中(x,t)∈Ω×R+，對于(x,t)∈?Ω×R+邊界條件為：

(2)

初始條件為：

(3)

1 理論分析

本節(jié)主要討論擴散速率、死亡率、轉(zhuǎn)化率和趨化系數(shù)對穩(wěn)態(tài)下微生物種群分布會產(chǎn)生怎樣的影響。因為處理好各參數(shù)與微生物種群之間的關系，可以更好地幫助我們從理論依據(jù)上去保護生態(tài)系統(tǒng)。在數(shù)學上，我們建立當k=2時，系統(tǒng)(1)—(3)定態(tài)解存在性和穩(wěn)定性條件。在一維條件下，即Ω=(0,l)，其中l(wèi)為正實數(shù)，那么系統(tǒng)重新寫作下列模型：

(4)

邊界條件和初始條件分別寫為：

(5)

且N0(x)>0,w10(x)>0,w20(x)>0。

(6)

在一維區(qū)間[0,l]上帶有諾依曼邊界條件的負拉普拉斯算子特征值問題[6]：

那么上述線性系統(tǒng)(6)中Λm等價寫成下列矩陣形式：

(7)

(8)

因此，由特征值穩(wěn)定性理論分析[7]，我們有下面結(jié)果：

命題1因為線性系統(tǒng)t=Λ0有主特征值λ0=1-d0μ0=1，那么定態(tài)解E0總是不穩(wěn)定的，即系統(tǒng)(4)至(5)是持久的。

命題2如果γ1

命題3如果γ1>b1，那么線性系統(tǒng)t=Λ1有一個特征值λ0=γ1-b1>0，因此，特征值E1是不穩(wěn)定的。那么系統(tǒng)(4)至(5)食物鏈長度大于1，即p≥2。

2 數(shù)值研究

本節(jié)我們將通過MATLAB中PDE工具包來數(shù)值仿真研究系統(tǒng)參數(shù)如何影響系統(tǒng)(4)至(5)種群存在性[8]，其中邊界條件為(5)式，初始條件取

w10(x)=w20(x)=5

(9)

事實上，只要初始條件滿足(5)式中條件，有相同的結(jié)果。故可以得到下列結(jié)論。

結(jié)論1當死亡率bi和轉(zhuǎn)化率γi固定，即使改變擴散系數(shù)和所有趨化參數(shù)值，具有邊界條件(5)和初始條件(9)的系統(tǒng)(4)也會進入相同的定態(tài)，這表明擴散和趨化性不會影響所考慮系統(tǒng)的定態(tài)，這與理論結(jié)果相符。因此令d0=d1=d2=1，且σ1=σ2=c1=c2=1。

結(jié)論2假設死亡率固定為b1=0.1,b2=0.2，將具有邊界條件(5)和初始條件(9)的系統(tǒng)(4)中轉(zhuǎn)化率γ1,γ2設為不同值。發(fā)現(xiàn):

(1)當γ1>b1,γ2>b2時，這三個生物種群共存于這個封閉區(qū)域。即食物鏈長度p=3。而且令γ2≥γ1，那么當γ1與γ2值差別越大時，這三個生物種群密度呈周期狀演化越明顯(圖1—圖3)。

(2)通過嘗試各種參數(shù)值，當γ1≤b1，那么三個生物不可能共存。因為從現(xiàn)實生活中也容易知道當初級消費者營養(yǎng)轉(zhuǎn)化率小于死亡率時，初級消費者數(shù)量會銳減，營養(yǎng)不會向下一級傳遞，所以不可能共存。這個現(xiàn)象也可以觀察比較圖1和圖4。其中圖4食物鏈長度為2。這些數(shù)值結(jié)果與命題1—3極為一致。

結(jié)論3當營養(yǎng)轉(zhuǎn)化率保持固定，比較圖1和圖5，其中圖5食物鏈長度為1，如果我們改變死亡率b1，使得b1≥γ1，那么初次消費者將要滅絕，則在封閉區(qū)域內(nèi)，二級消費者無論營養(yǎng)轉(zhuǎn)化率γ2取多大，由于缺乏食物，它們也不能存活。然而假設b1≤γ1，但是b2>γ2且足夠大，那么初級消費者可以演變到正常數(shù)而二級消費者往往會滅絕。這可以比較圖1和圖6，其中圖6食物鏈長度為2，這些仿真也證實了命題1—3。

圖1 生物種群密度變化圖(b1=0.1,b2=0.2,γ1=0.25,γ2=6)

圖2 生物種群密度變化圖(b1=0.1,b2=0.2,γ1=1,γ2=6)

圖3 生物種群密度變化圖(b1=0.1,b2=0.2,γ1=0.5,γ2=0.6)

圖4 生物種群密度變化圖(b1=0.1,b2=0.2,γ1=0.1,γ2=0.6)

圖5 生物種群密度變化圖(b1=0.25,b2=0.2,γ1=0.25,γ2=6)

圖6 生物種群密度變化圖(b1=0.1,b2=1.5,γ1=0.5,γ2=0.6)

3 結(jié)束語

在這項工作中，我們給出了理論分析和數(shù)值計算，為了展示系統(tǒng)參數(shù)是如何影響具有自產(chǎn)營養(yǎng)的封閉生態(tài)系統(tǒng)的食物鏈。結(jié)果表明，在所考慮的模型中，擴散和趨化對系統(tǒng)沒有產(chǎn)生影響。但是，食物從低層到高層的轉(zhuǎn)化率γi,(i=1,2,3…)即第i種微生物的消費能力對生物體的共存及其生存方式起著至關重要的作用。因此，對自然界生態(tài)系統(tǒng)維持共存提供了一定的理論基礎。