周 斯 名

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 吉林 長(zhǎng)春 130000)

0 引言

關(guān)于Lie中心化子及其等價(jià)形式的研究一直深受研究人員的關(guān)注.對(duì)于任意環(huán)R，以及線性映射φ：R→R，如果滿足對(duì)任意的x,y∈R，都有φ(xyx)=xφ(y)x,文獻(xiàn)[1]證明了φ是中心化子.設(shè)U是可交換環(huán)R上的三角代數(shù)，對(duì)任意的x,y∈R以及線性映射φ:U→U,當(dāng)xy=0時(shí),滿足φ([x,y])=[φ(x),y]=[x,φ(y)],則存在a∈Z(U)及線性映射τ∶U→Z(U),使得對(duì)任意x∈U,文獻(xiàn)[2]證明了φ(x)=ax+τ(x),其中τ作用在滿足xy=0的交換子[x,y]為零.如果存在正整數(shù)m，n使得(m+n)φ([A,B])=m[φ(A),B]+n[A,φ(B)]對(duì)所有A,B∈B(X)成立，則存在λ∈F及在換位子為零的可加映射h∶B(X)→F使得對(duì)任意A∈B(X),文獻(xiàn)[3]證明了φ(A)=λA+h(A)I.相關(guān)結(jié)論見(jiàn)文獻(xiàn)[4-9].受上述結(jié)論的啟發(fā)，本文刻畫(huà)關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)上中心化子的表達(dá)形式.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1設(shè)R是環(huán)或代數(shù).如果一個(gè)可加(線性)映射φ∶R→R滿足對(duì)任意A,B∈R,有φ(AB)=φ(A)B(φ(AB)=Aφ(B)),則稱φ是左(右)中心化子;若φ既是左中心化子又是右中心化子,稱φ是中心化子.

定義1.2設(shè)R是環(huán)或代數(shù).如果一個(gè)可加(線性)映射φ∶R→R滿足對(duì)任意A,B∈R,有φ([A,B])=[φ(A),B]=[A,φ(B)],則稱φ是Lie中心化子.

關(guān)聯(lián)代數(shù)的概念最早由Ward[12]引出，之后人們對(duì)關(guān)聯(lián)代數(shù)上的映射進(jìn)行了研究(參考文獻(xiàn)[13-22]).

定義1.3若集合X中的二元關(guān)系≤滿足以下兩個(gè)條件：

(1)?x∈X有x≤x,

(2)?x,y,z∈X,若有x≤y和y≤z?x≤z,

則稱X是一個(gè)預(yù)序集，記作(X,≤).

定義1.4取預(yù)序集X中的任意兩個(gè)元素x、z,區(qū)間[x,z]定義為{y∈X|x≤y≤z}.若預(yù)序集X中的所有區(qū)間都是有限的，則稱X是局部有限預(yù)序集.

定義1.5設(shè)R是含單位元的交換環(huán)(X,≤)是一個(gè)局部有限預(yù)序集，即≤滿足自反性、傳遞性對(duì)任意的x,y∈X,且x≤y，至多存在有限個(gè)元素z∈X滿足x≤z≤y，由此可在R上定義關(guān)于x的關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)∶={f∶X×X→R|f(x,y)=0,若x≤y不成立}.

代數(shù)運(yùn)算如下：

其中乘積fg在函數(shù)論中被稱為卷積.

引理1.1若δ[16]滿足δ(x,y)=δxy，x≤y其中δxy∈{0，1}是Kronecker符號(hào)，則δ是關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)中的單位元.

給定一個(gè)f∈I(X,R),有

若任意的x,y∈X滿足x≤y,則可定義關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)上的基元exy

對(duì)任意的eij,ekl∈I(X,R)，根據(jù)卷積定義我們有eijekl=δjkeil，可以證明A∶={exy|x≤y}構(gòu)成I(X,R)的一組線性基.

2 主要定理及證明

定理2.1設(shè)(X,≤)是一個(gè)有限預(yù)序集,R是含單位元的交換環(huán).I(X,R)是在R上定義關(guān)于X的關(guān)聯(lián)代數(shù)，設(shè)φ∶I(X,R)→I(X,R)是一個(gè)R-線性算子，則φ是中心化子，當(dāng)且僅當(dāng)滿足

其中系數(shù)滿足如下關(guān)系

證明必要性

分兩種情況進(jìn)行證明：

若φ是中心化子，則φ(eii)=φ(eii)eii=eiiφ(eii),可得φ(eii)=eiiφ(eii)eii.

充分性

當(dāng)j=k=i時(shí)，若i=l,可得

則φ(eii)=φ(eii)eii=eiiφ(eii),可得φ是中心化子.

當(dāng)j=k≠i時(shí)，若i=l,可得

則φ(eijeji)=φ(eij)eji=eijφ(eji),可得φ是中心化子.

當(dāng)j=k時(shí)，若i≠l,可得

當(dāng)j≠k時(shí)，可得

其中φ(0)=0φ(0)=φ(0)0=0,則φ(eijekl)=φ(0)=0,可得φ是中心化子.

由此可知對(duì)于任意x,y∈R,R是任意環(huán)，滿足關(guān)系φ(xyx)=xφ(y)x,則φ是中心化子.

定理2.2設(shè)(X,≤)是一個(gè)有限預(yù)序集,R是具有單位元的2-扭自由的交換環(huán).I(X,R)是在R上定義關(guān)于X的關(guān)聯(lián)代數(shù),設(shè)φ是關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)上的一個(gè)Lie中心化子，則

滿足系數(shù)

證明由Lie中心化子定義可知

φ([eii,eij])=[φ(eii),eij]=[eii,φ(eij)],

設(shè)

i≤j且i≠j,有

(1)

(2)

類似的，對(duì)于φ([eij,ejj])=[φ(eij),ejj]=[eij,φ(ejj)],有

(3)

(4)

(5)

引理2.1I(X,R)是在R上定義關(guān)于X的關(guān)聯(lián)代數(shù)，設(shè)φ∶I(X,R)→I(X,R)是一個(gè)R-線性算子，若φ是中心化子，則存在λ∈Z(I(X,R)),使得對(duì)于任意a∈I(X,R)，有φ(a)=λa.

證明若φ是中心化子，則對(duì)于?a∈I(X,R),有φ(a)=φ(δa)=φ(δ)a.其中?x∈I(X,R),有φ(δ)x=φ(δx)=φ(x)=φ(xδ)=xφ(δ),則φ(δ)∈Z(I(X,R)),引理2.1得證.

定理2.3設(shè)(X,≤)是一個(gè)有限預(yù)序集,R是含單位元的交換環(huán).I(X,R)是在R上定義關(guān)于X的關(guān)聯(lián)代數(shù)，對(duì)任意的x,y∈I(X,R),滿足φ([x,y])=[φ(x),y]=[x,φ(y)]，則存在a∈Z(I(X,R))及線性映射τ∶I(X,R)→Z(I(X,R))，使得對(duì)任意x∈I(X,R)，φ(x)=ax+τ(x)，其中τ作用于在滿足交換子[x,y]為零.

根據(jù)引理2.1可知若φ是中心化子，則存在λ∈Z(I(X,R)),使得對(duì)于任意a∈I(X,R)，有φ(a)=λa,則結(jié)論得證.