林玉婷,韋程?hào)|,陳麗玲,羅文婷,唐璐薇,周昭君

(南寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 南寧 530100)

1 引言

壽命試驗(yàn)是生存分析和可靠性分析中的基本工作之一，由于各種原因，試驗(yàn)通常會(huì)出現(xiàn)刪失數(shù)據(jù)，而根據(jù)刪失方式的不同，刪失分為第一類(lèi)刪失、第二類(lèi)刪失和隨機(jī)刪失.廣義指數(shù)分布是壽命試驗(yàn)研究中常用到的分布，是1999年Gupta和Kundu提出的一種重要分布，它可以有效地克服威布爾分布和伽馬分布的不足[1]，在壽命試驗(yàn)研究中有較好的分析性，因此受到許多學(xué)者的關(guān)注.對(duì)于模型參數(shù)的研究，廣大研究者使用極大似然估計(jì)法、貝葉斯估計(jì)法等等，統(tǒng)計(jì)推斷中的貝葉斯方法依賴于先驗(yàn)分布和損失函數(shù)的選擇.E-Bayes(期望貝葉斯)估計(jì)最早是由Han[2]提出的，是一種參數(shù)估計(jì)的新方法，該方法適用于樣本小或可靠性高的刪失數(shù)據(jù).文[2]還討論了一個(gè)真實(shí)數(shù)據(jù)，證明了E-Bayes方法的有效性.韓明[3]進(jìn)一步討論了E-Bayes估計(jì)的漸近性質(zhì).郭環(huán)[4]討論了廣義指數(shù)分布在定數(shù)截尾數(shù)據(jù)下的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，給出了E-Bayes估計(jì)和多層貝葉斯估計(jì)的估計(jì)模型，運(yùn)用蒙特卡洛算法得到了參數(shù)的數(shù)值解.韓明[5]討論了在平方損失下，Poisson分布參數(shù)E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)的參數(shù)估計(jì)模型，并且研究它們的性質(zhì).接下來(lái)韓明[6]在前面工作的基礎(chǔ)上，在不同損失函數(shù)下，推導(dǎo)出了Poisson分布參數(shù)的E-Bayes估計(jì)和E-MSE，用蒙特卡洛的方法模擬提出的估計(jì)方法，并且檢驗(yàn)了它的性能.Han[7]討論了指數(shù)分布未知參數(shù)E-Bayes估計(jì)和它的期望后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)，并且在不同超參數(shù)先驗(yàn)分布下建立了E-Bayes估計(jì)模型和期望后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)模型.Hassan Okasha[8]討論了在自適應(yīng)I型漸近混合刪失數(shù)據(jù)下威布爾分布的E-Bayes估計(jì)，使用平方和LINEX損失函數(shù)得到了E-貝葉斯估計(jì)和相應(yīng)的E-均方誤差，研究了它們的性質(zhì).李東兵和胡文林[9]討論了指數(shù)分布中參數(shù)為失效率λ的E-Bayes估計(jì)和多層Bayes估計(jì)的問(wèn)題,并建立它們各自的模型，運(yùn)用某型發(fā)動(dòng)機(jī)的無(wú)失效儲(chǔ)存數(shù)據(jù)，計(jì)算了參數(shù)的E-Bayes和多層Bayes的估計(jì)值，經(jīng)過(guò)比較分析發(fā)現(xiàn)兩種估計(jì)方法都是穩(wěn)健的.許道軍[10]在熵?fù)p失函數(shù)下，根據(jù)三種不同的超先驗(yàn)分布，給出了產(chǎn)品可靠度的E-Bayes估計(jì)模型和它的性質(zhì)，并驗(yàn)證了結(jié)果可靠度的E-Bayes估計(jì)具有好的穩(wěn)健性，說(shuō)明得到的估計(jì)方法是可行的.本文在前人研究的基礎(chǔ)上，對(duì)廣義指數(shù)分布未知參數(shù)的E-Bayes估計(jì)進(jìn)行了討論，引入了E-Bayes估計(jì)的定義.在平方損失函數(shù)下，討論了三種不同超先驗(yàn)分布對(duì)參數(shù)的E-Bayes估計(jì)的影響，通過(guò)R軟件mcmc程序包進(jìn)行數(shù)值模擬分析，檢驗(yàn)我們廣義指數(shù)分布形狀參數(shù)的估計(jì)效果.

2 參數(shù)估計(jì)

2.1 模型描述

假設(shè)有N個(gè)壽命實(shí)驗(yàn)樣本，ti為樣本的失效時(shí)間，并設(shè)樣本xi獨(dú)立同分布且服從廣義指數(shù)分布.第一個(gè)試驗(yàn)個(gè)體失效后，從剩下的N-1個(gè)試驗(yàn)個(gè)體中隨機(jī)抽取R1個(gè)存活個(gè)體；第二個(gè)個(gè)體失效后，再?gòu)腘-2-R1個(gè)試驗(yàn)個(gè)體中隨機(jī)抽取R2個(gè)存活個(gè)體，如此下去，當(dāng)?shù)趎個(gè)樣本的失效時(shí)間ti在T在之前時(shí)，試驗(yàn)在xn點(diǎn)結(jié)束,這種刪失模式為逐步Ⅱ型刪失試驗(yàn)[11].

假設(shè)每個(gè)試驗(yàn)個(gè)體服從廣義指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)如下：

f(x)=αλ(1-e-λx)α-1e-λx，

F(x)=(1-e-λx)α，

其中α和λ分別為形狀參數(shù)和尺度參數(shù)，x≥0,α和λ≥0.

假設(shè)(X1∶N,X2∶N,…,Xn∶N)是逐步Ⅱ型刪失樣本，R=(R1,R2,…,Rn)是刪失模式，尺度參數(shù)已知，則逐步Ⅱ型刪失模式下試驗(yàn)個(gè)體的似然函數(shù)為

其中C=N(N-1-R1)…(N-n+1-R1-…-Rn-1).

2.2 基于逐步Ⅱ型刪失數(shù)據(jù)的E-Bayes估計(jì)

假設(shè)試驗(yàn)個(gè)體都服從廣義指數(shù)分布，并且α的先驗(yàn)分布是伽馬分布，即α～Gamma(a,b)，則α的先驗(yàn)概率密度函數(shù)為

(1)

由貝葉斯定理，可得到α的后驗(yàn)密度函數(shù)，即

(2)

由式(2)可知，參數(shù)α的后驗(yàn)密度函數(shù)正比于似然函數(shù)與先驗(yàn)分布函數(shù)的乘積，所以我們可得

(3)

為了得到α的Bayes估計(jì)，首先引入一個(gè)引理.

引理1[8]在平方損失下，對(duì)于任何先驗(yàn)分布，α的Bayes估計(jì)為

選取α的先驗(yàn)分布為伽馬分布，則先驗(yàn)分布密度函數(shù)為

(4)

由引理1我們可以得到α的Bayes估計(jì)如下.

定理1 在平方損失下，對(duì)于先驗(yàn)分布為伽馬分布的廣義指數(shù)形狀參數(shù)α的Bayes估計(jì)為

證明由于α的先驗(yàn)分布如式(4)所示，所以由貝葉斯定理可得到α的后驗(yàn)分布為式(3)，因此由引理1可得α的Bayes估計(jì)為

由于以上積分比較復(fù)雜，不易求出，因此我們運(yùn)用Lindley近似法得到α的Bayes估計(jì).

近似計(jì)算法是Lindley提出來(lái)的[13]，它的形式如下：

其中θ=(θ1,…,θn)，l(θ)是似然函數(shù)的對(duì)數(shù)形式，u(θ)，g(θ)是θ的任意函數(shù).

假設(shè)g(θ)是θ的先驗(yàn)密度函數(shù)，則u(θ)的后驗(yàn)均值為

其中ρ(θ)=lng(θ)，l(θ)+g(θ)是后驗(yàn)分布的對(duì)數(shù)形式.

對(duì)于廣義指數(shù)兩參數(shù)α未知，λ已知的情況，有

其中

我們將此應(yīng)用到本文未知參數(shù)為α的估計(jì)式中，有ρ=lnπ(α)=(a-1)lnα-bα.

我們對(duì)對(duì)數(shù)似然中的α求二階偏導(dǎo)可得

在平方損失函數(shù)下，u(α)=α,故后驗(yàn)期望為

由此定理得證.

為了得到未知參數(shù)的E-Bayes估計(jì)，我們引入一個(gè)定義.

(6)

結(jié)合式(5)、(6)，我們給出α的三種E-Bayes估計(jì).

定理2 在平方損失下，α的E-Bayes估計(jì)為

證明由定理1和定義1可得

由此定理得證.

3 數(shù)值模擬

采用MCMC算法進(jìn)行數(shù)值模擬.首先給出產(chǎn)生廣義指數(shù)分布下逐步II型刪失數(shù)據(jù)的算法，這個(gè)算法是由Balakrishnan[16]在1999年提出來(lái)的.我們用R軟件模擬生成數(shù)據(jù)，生成步驟如下：

(1)從均勻分布U(0,1)產(chǎn)生n個(gè)隨機(jī)樣本w1,w2,…,wn;

(3)讓ui=(1-vnvn-1…vn-i-1),i=1,2,…,n；

我們給定α=0.5，λ=0.5，假設(shè)超參數(shù)a=0.5，b=0.25，用R軟件中mcmc程序包里的metrop()函數(shù)進(jìn)行貝葉斯估計(jì)的計(jì)算，在接受率為20%左右的情況下調(diào)整函數(shù)的各個(gè)參數(shù)，重復(fù)模擬10 000次，得到形狀參數(shù)α的Bayes估計(jì)和E-Bayes估計(jì)并且得到它們的均方誤差,下面的表1和表2給出了模擬的結(jié)果.

表和mse的計(jì)算結(jié)果(a=0.5,b=0.25,c=1,n=30,50,80,100)

表和mse的計(jì)算結(jié)果(a=0.5,b=0.25,c=0.5,n=30,50,80,100)

4 結(jié)論

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，基于逐步Ⅱ型刪失數(shù)據(jù)討論了廣義指數(shù)形狀參數(shù)的E-Bayes估計(jì)問(wèn)題，引入E-Bayes估計(jì)的定義，在平方損失函數(shù)下建立了E-Bayes估計(jì)的定理，研究了三個(gè)超參數(shù)先驗(yàn)分布對(duì)E-Bayes估計(jì)的影響，通過(guò)數(shù)值模擬，比較了E-Bayes估計(jì)與Bayes估計(jì)的性能.模擬結(jié)果表明，得到的估計(jì)效果都比較穩(wěn)健，E-Bayes估計(jì)在均方誤差方面優(yōu)于Bayes估計(jì)，在不同的先驗(yàn)分布下，估計(jì)的效果最好.本文的結(jié)果對(duì)于解決其他分布在逐步Ⅱ型刪失數(shù)據(jù)下的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題具有參考意義.