王麗玲

[摘? 要] 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)與不等式問題的重要工具，也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識，在高考中備受命題人青睞. 通常函數(shù)與不等式、導(dǎo)數(shù)問題解析過程需要轉(zhuǎn)化問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識來分析函數(shù)性質(zhì)，問題的解法雖較為多樣，但導(dǎo)數(shù)始終是解此類題的關(guān)鍵知識. 文章圍繞一道函數(shù)與不等式問題，開展解法探究，多解思考，并立足教學(xué)，提出相應(yīng)的建議.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù);導(dǎo)數(shù);不等式;構(gòu)造;分類討論

[?]問題探究

問題再現(xiàn)：（2021年八省聯(lián)考數(shù)學(xué)卷第22題）已知函數(shù)f（x）=ex-sinx-cosx，g（x）=ex+sinx+cosx.

（1）證明：當(dāng)x>-時(shí)，f（x）≥0;

（2）若g（x）≥2+ax，求a.

問題解析：上述是一道函數(shù)與不等式壓軸題，考查函數(shù)與不等式、導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，問題所涉兩問均可歸為不等式成立問題，可利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的性質(zhì). 常規(guī)思路是基于不等式構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)來研究其性質(zhì)，逐步探究函數(shù)的值域，從而證明不等式或轉(zhuǎn)化不等式問題.

（1）x的取值范圍影響f（x），需要分別討論x在

-，-

，

-，0

和[0，+∞）三個(gè)區(qū)間內(nèi)的情形，具體如下.

①當(dāng)x∈

-，-

時(shí)，f（x）=ex-sin

x+

>0;

②當(dāng)x∈

-，0

時(shí)，f′（x）=ex-cosx+sinx，f′（0）=0，f″（x）=ex+sinx+cosx=ex+sin

x+

>0，則函數(shù)f′（x）在

-，0

上單調(diào)遞增，則有f′（x）

-，0

上單調(diào)遞減，則f（x）>f（0）=0;

③當(dāng)x=0時(shí)，由函數(shù)的解析式可得f（0）=1-0-1=0，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，構(gòu)造函數(shù)H（x）=-sinx+x（x≥0），則H′（x）=-cosx+1≥0，故函數(shù)H（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，從而有H（x）≥H（0）=0，即-sinx≥ -x，則函數(shù)f（x）=ex-sinx-cosx≥ex-x-1. 令y=ex-x-1，對其求導(dǎo)可得y′=ex-1，當(dāng)x≥0時(shí)，y′≥0，故y=ex-x-1在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值y=e0-0-1=0，推理可得ex-x-1≥0，故函數(shù)f（x）=ex-sinx-cosx≥ex-x-1≥0.

綜上可知，當(dāng)x>-時(shí)，f（x）≥0.

（2）該問探究g（x）≥2+ax時(shí)a的取值，其中a為參數(shù)，可歸為含參不等式恒成立問題，參數(shù)a的取值將影響到不等式的成立，常見的方法是分離參數(shù)法.

①當(dāng)x=0時(shí)，g（0）=2，顯然不等式g（x）≥2+ax時(shí)，有a∈R.

②當(dāng)x>0時(shí)，g（x）≥2+ax等價(jià)于a≤，記F（x）=，對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)F′（x）=. 構(gòu)造函數(shù)φ（x）=（x-1）ex+x（cosx-sinx）-sinx-cosx+2，對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)為φ′（x）=x（ex-sinx-cosx）. 由（1）問可知，x>0，ex-sinx-cosx>0，所以x>0時(shí)，φ′（x）>0，故函數(shù)φ（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，可推得φ（x）>φ（0）=0，則有F′（x）>0，所以函數(shù)F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增. x>0時(shí)，F(xiàn)（x）>F（x）=2，所以a≤2.

③當(dāng)-π0，所以-πφ（0）=0，則有F′（x）>0，所以函數(shù)F（x）單調(diào)遞增. -π

④當(dāng)x≤-π時(shí)，令h（x）=g（x）-ax-2=ex+sinx+cosx-ax-2，驗(yàn)證可知a=2時(shí)，有ex+sinx+cosx-2x-2≥0-+π-2>0，符合條件.

綜上可知，a=2.

問題評析：上述考題屬于函數(shù)與不等式相結(jié)合的導(dǎo)數(shù)分析問題，兩問分別求證特定區(qū)間下不等式恒成立，不等式恒成立時(shí)參數(shù)的取值，問題解析需要利用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識來研究不等式，上述解析時(shí)采用了如下解題技巧.

技巧1：構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的性質(zhì)，求出最值，推導(dǎo)參數(shù)的取值范圍;

技巧2：分離參數(shù)或變量，將不等式問題中的變量置于不等號的一側(cè)，基于另一側(cè)構(gòu)造函數(shù)，從而將不等式問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的值域;

技巧3：分類討論變量，對于其中的參數(shù)或變量采用分類討論的策略，將復(fù)合函數(shù)變?yōu)閰^(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，降低解析難度.

[?]解法拓展

上述考題的第（2）問是核心之問，其解析難度也較大，上述解析時(shí)采用了分離參數(shù)的方法，實(shí)際上該問的解析方法眾多，還可以采用函數(shù)最值、切線不等式兩種方法來構(gòu)建思路，下面具體探究解析過程.

拓展解法——函數(shù)最值

函數(shù)最值法，其核心是將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值，故需要基于不等式構(gòu)造新函數(shù)，然后解析函數(shù)在定義域上的取值. 該問題中需要對參數(shù)進(jìn)行分段討論，論證函數(shù)的最值是否符合題意.

若g（x）≥2+ax，則g（x）-2-ax≥0，即ex+sinx+cosx-2-ax≥0，故可對不等式兩邊同乘e-x（e-x>0），整理可得e-x（sinx+cosx-ax-2）+1≥0，x∈R. 構(gòu)造函數(shù)F（x）=e-x（sinx+cosx-ax-2）+1，x∈R，即探究F（x）≥0時(shí)a的取值即可. 求導(dǎo)函數(shù)F′（x）=e-x（-2sinx+ax+2-a），記φ（x）= -2sinx+ax+2-a，φ′（x）=-2cosx+a.

①當(dāng)a>2，則φ′（x）>0，φ（x）單調(diào)遞增，因?yàn)棣眨?）=2-a<0，φ（π）>0，所以存在x∈（0，π）使得φ（x）=0. 當(dāng)x∈（0，x），φ（x）<0，即F′（x）<0，所以F（x）在（0，x）上單調(diào)遞減，F(xiàn)（x）

②當(dāng)-20，φ′（0）=a-2<0，所以存在x∈（-π，0）使得φ′（x）=0. 當(dāng)x∈（x，0），φ′（x）<0，故φ（x）在（x，0）上單調(diào)遞減，故有φ（x）>φ（0）=2-a>0，則當(dāng)x∈（x，0）時(shí)，F(xiàn)′（x）>0，可知F（x）在（x，0）上單調(diào)遞增，所以x∈（x，0）時(shí)，F(xiàn)（x）

③當(dāng)a≤-2，易知φ′（x）≤0，則φ（x）單調(diào)遞減，則當(dāng)x<0時(shí)，φ（x）>φ（0）=2-a>0，可推知當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)′（x）>0，知F（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增. 所以當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)（x）

④當(dāng)a=2，可得φ′（x）=2-2cosx≥0，則φ（x）單調(diào)遞增. 因?yàn)棣眨?）=0，所以x∈（-∞，0）時(shí)，φ（x）<0，即F′（x）<0，故F（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減;x∈（0，+∞）時(shí)，φ（x）>0，即F′（x）>0，故F（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增. 故可知F（x）≥F（0）=0滿足題意.

綜上可知，若g（x）≥2+ax，可知a=2.

評析：上述探究不等式參數(shù)問題時(shí)采用了函數(shù)最值法，解析過程有兩大細(xì)節(jié)需要關(guān)注：一是處理不等式時(shí)，對不等式的兩邊同除以ex，避免了ex對所構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)正負(fù)值的干擾;二是解析過程充分把握特殊點(diǎn)的函數(shù)值，觀察到F（0）=0這一特殊情形.

[?]教學(xué)反思

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的綜合性極強(qiáng)，上述問題涉及了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識定理，以及構(gòu)造、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化等思想方法，重點(diǎn)考查了學(xué)生的知識綜合、邏輯推理能力. 深入探究不僅可以指導(dǎo)學(xué)生掌握函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的解法策略，還可以拓展學(xué)生思維，提升學(xué)生素養(yǎng)，下面深入反思，提出幾點(diǎn)建議.

1. 盤點(diǎn)難點(diǎn)，牢實(shí)基礎(chǔ)

導(dǎo)數(shù)的知識定理是函數(shù)與不等式、導(dǎo)數(shù)問題解析的核心，而在探究學(xué)習(xí)時(shí)需要針對性地盤點(diǎn)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵知識點(diǎn)，深刻理解導(dǎo)數(shù)知識. 如利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，理解導(dǎo)數(shù)與切線方程的關(guān)系;利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，關(guān)注其中“必要不充分”的實(shí)際意義;利用導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)某點(diǎn)處的極值點(diǎn)，把握存在極值點(diǎn)的條件. 解題教學(xué)中要立足教材內(nèi)容，不能脫離課本來探究解題方法，要將教材的定理定義、概念公式作為學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，學(xué)“精”求“細(xì)”，幫助學(xué)生牢實(shí)基礎(chǔ)，熟練地應(yīng)用知識定理解析綜合性問題.

2. 多解探究，方法總結(jié)

往往函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式問題的解法不唯一，上述以一道函數(shù)與不等式問題為例，呈現(xiàn)了四種解題方法，涉及了分離參變量、函數(shù)最值法、切線不等式、極值定義等，從不同的視角進(jìn)行問題解析，按照不同方法構(gòu)建了相應(yīng)的解題思路. 開展多解探究可幫助學(xué)生深刻理解問題，把握問題的本質(zhì)，同時(shí)可有效拓展學(xué)生的思維. 而在實(shí)際教學(xué)中不僅需要立足考題開展多解探究，還應(yīng)注重問題總結(jié)、方法訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題特征，圍繞考題進(jìn)行解法分析，關(guān)注核心概念、思路構(gòu)建、技巧解析，讓學(xué)生回歸解法本身，從根本上掌握解題方法.

3. 拓展思考，素養(yǎng)提升

開展解法探究，應(yīng)注重解后分析、拓展思考，即依托考題探究來拓展解法，激活學(xué)生的創(chuàng)新思維. 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式問題常作為壓軸題出現(xiàn)，在探究時(shí)要注重剖析數(shù)學(xué)的思維過程，講評中揭示思路的構(gòu)建過程，挖掘其中的思路線索，讓學(xué)生的思維得到充分的歷練. 尤其是對于創(chuàng)新性極強(qiáng)的高考題，要引導(dǎo)學(xué)生分步探究，破除思維困局，給學(xué)生留足思考空間，讓學(xué)生思考新解法，探究新思路，通過不斷的解題探究讓學(xué)生“學(xué)”有所“思”，“思”有新“得”. 同時(shí)探究過程注重?cái)?shù)學(xué)思想，方法技能的傳達(dá)，使學(xué)生的綜合素養(yǎng)同步提升.