萬 潤,王 琳,盛步云

(武漢理工大學(xué) a.機(jī)電工程學(xué)院;b.湖北省數(shù)字制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430070)

0 引言

近年來，隨著制造業(yè)的發(fā)展，自由曲面零件越來越廣泛應(yīng)用于汽車、飛機(jī)、大型船舶等工業(yè)領(lǐng)域。曲面的加工質(zhì)量直接關(guān)系到產(chǎn)品的質(zhì)量和使用壽命，因此對(duì)自由曲面零件進(jìn)行高效率與高精度的檢測(cè)和輪廓度誤差評(píng)定有著重要的研究意義[1]。

對(duì)于復(fù)雜曲面輪廓度的評(píng)定，依據(jù)算法原理主要可以分為二類，一類是基于最小二乘原理，最具代表性的是在1992年提出的最近點(diǎn)迭代算法[2]，常用于曲面定位問題中。一類是基于最小條件的最小區(qū)域法，要求包容全部測(cè)點(diǎn)的理論曲面等距面的距離最小，由于一般曲面的表達(dá)式未知，且計(jì)算量復(fù)雜，多采用啟發(fā)式優(yōu)化算法解決這類非線性優(yōu)化問題，如遺傳算法、粒子群算法[3-4]等, 但遺傳算法在進(jìn)行輪廓度誤差評(píng)定時(shí)，由于局部搜索性能較差，容易產(chǎn)生早熟收斂的問題，而且在進(jìn)化后期搜索效率不高，在解決大規(guī)模計(jì)算量問題上比較費(fèi)時(shí)；而粒子群算法在運(yùn)算后期則容易陷入局部最優(yōu)。

在確定最小包容區(qū)域過程中，測(cè)量點(diǎn)到曲面的距離計(jì)算也是其中一個(gè)重要的問題[5-6]，文獻(xiàn)[5]用網(wǎng)格劃分曲面，通過不斷細(xì)分網(wǎng)格來逼近測(cè)點(diǎn)到曲面的實(shí)際距離，但必須已知曲面的函數(shù)表達(dá)式且計(jì)算過程復(fù)雜，難以平衡計(jì)算精度和效率，文獻(xiàn)[6]把空間點(diǎn)到自由曲面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到STL模型的有向距離，但沒有考慮到出現(xiàn)狹長三角面片的情況，存在適應(yīng)性缺陷。

為解決以上問題，本文采用一種基于天牛須搜索的粒子群優(yōu)化算法，以測(cè)點(diǎn)集與理論輪廓面達(dá)到最佳匹配為目標(biāo)，尋找一組平移、旋轉(zhuǎn)變換矩陣來確定理論曲面的最小包容區(qū)域，并且針對(duì)出現(xiàn)狹長三角面片的情況做了優(yōu)化處理，進(jìn)一步簡化了測(cè)點(diǎn)投影點(diǎn)與三角面片關(guān)系判定條件，提高了算法的實(shí)用性和適應(yīng)性。

1 自由曲面輪廓度評(píng)定模型的建立

1.1 曲面輪廓度誤差的定義及關(guān)鍵步驟

根據(jù)GB/T 1958-2004，輪廓度評(píng)定要求滿足最小條件原則，即所有測(cè)量點(diǎn)均位于上下兩包絡(luò)面邊界所限定的包容區(qū)域內(nèi)，且包容區(qū)域的寬度或直徑為最小，其誤差值是包容被測(cè)曲面輪廓且距理論曲面輪廓法向距離最小的兩曲面間的寬度。

輪廓度評(píng)定一般需要解決兩個(gè)關(guān)鍵步驟的問題，一是計(jì)算測(cè)點(diǎn)到復(fù)雜理論曲面的最小距離，二是建立復(fù)雜曲面輪廓度誤差評(píng)定的數(shù)學(xué)模型并求解。針對(duì)步驟一，將曲面CAD模型轉(zhuǎn)換為STL模型，測(cè)點(diǎn)到曲面的最小距離就簡化為尋找距離測(cè)點(diǎn)最近的三角面片的問題；針對(duì)步驟二，根據(jù)最小條件原則和齊次坐標(biāo)變換理論建立相應(yīng)的輪廓度評(píng)定數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用基于天牛須的改進(jìn)粒子群算法求解。

圖1 曲面輪廓度誤差示意圖

1.2 點(diǎn)到自由曲面STL模型最短距離計(jì)算

STL模型是通過一系列三角面片來逼近CAD模型的，其數(shù)據(jù)文件主要包含二進(jìn)制和文本兩種格式，主要描述三角面片的頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)信息和單位法矢量數(shù)據(jù)信息[7]。文獻(xiàn)[6]通過判斷測(cè)點(diǎn)投影點(diǎn)與STL模型三角面片的位置關(guān)系，來求取其到曲面的最短距離，相較于傳統(tǒng)的需要已知曲面表達(dá)式的分割逼近法適用性更高。但存在兩點(diǎn)不足，一是投影點(diǎn)與三角面片位置關(guān)系的判斷條件不夠簡化，二是如果STL模型中存在狹長的三角面片，則以測(cè)點(diǎn)到三角面片頂點(diǎn)的最近距離為擇優(yōu)目標(biāo)篩選出的三角面片集不一定包含距離測(cè)點(diǎn)最近的三角面片，導(dǎo)致算法失效。針對(duì)上述不足一，采取向量運(yùn)算代替相對(duì)繁瑣的角度量計(jì)算，將投影點(diǎn)與三角面片關(guān)系整體分為三類情形來判斷，針對(duì)不足二，選擇測(cè)點(diǎn)到三角面片頂點(diǎn)和中心點(diǎn)兩者之間的最小距離，綜合篩選三角面片集。

計(jì)算測(cè)點(diǎn)到自由曲面距離的具體步驟如下：

步驟1：計(jì)算測(cè)點(diǎn)Pi(xi,yi,zi)到每個(gè)三角面片頂點(diǎn)及中心點(diǎn)的距離，標(biāo)記距離最近點(diǎn)為Qi點(diǎn)。

步驟2：如果點(diǎn)Q為三角面片頂點(diǎn)，則搜索以Q點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有的三角面片并放入集合S內(nèi)；如果點(diǎn)Q為三角面片中心點(diǎn)，則搜索與該三角面片共頂點(diǎn)的所有三角面片并放入集合S內(nèi)。

步驟3：分別計(jì)算測(cè)點(diǎn)Pi到集合S內(nèi)三角面片的距離，依據(jù)測(cè)點(diǎn)投影的位置，測(cè)點(diǎn)到三角面片的距離計(jì)算有以下三種情形：

情形1：投影點(diǎn)Sp在三角面片內(nèi)部，此時(shí)測(cè)點(diǎn)P到三角面片的最短距離就是測(cè)點(diǎn)P到投影點(diǎn)Sp的距離。

情形2：投影點(diǎn)Sp在三角面片外部，但處于三角形某一邊延長線與另一邊延長線的區(qū)域范圍內(nèi)，此時(shí)最短距離就是測(cè)點(diǎn)到這兩條邊的共頂點(diǎn)的距離。

情形3：測(cè)點(diǎn)投影在三角面片外部，但處于三角形某一邊與另一邊延長線的區(qū)域范圍內(nèi)，此時(shí)測(cè)點(diǎn)P到三角面片的最短距離就是測(cè)點(diǎn)到三角面片上該邊的距離。假設(shè)投影點(diǎn)Sp的位置不滿足上述兩者的情形，則必然滿足情形3，只需計(jì)算測(cè)點(diǎn)P到三角面片三條邊的距離，其中最小值即為測(cè)點(diǎn)到該三角面片的最短距離。

按照以上3步計(jì)算點(diǎn)到所有三角面片的距離，以最小值作為點(diǎn)到曲面距離。

(a) 情形1 (b) 情形2 (c) 情形3圖2 投影點(diǎn)和三角面片關(guān)系示意圖

1.3 曲面輪廓度評(píng)定的數(shù)學(xué)模型

由于在實(shí)際測(cè)量過程中存在系統(tǒng)誤差，測(cè)量坐標(biāo)系與設(shè)計(jì)坐標(biāo)系難以完全重合，測(cè)量曲面相對(duì)于理論曲面會(huì)有一定的偏移與擾動(dòng)。依據(jù)最小條件原則，只有當(dāng)測(cè)點(diǎn)集與理論輪廓面達(dá)到最佳匹配時(shí)，才能使包容所有測(cè)量點(diǎn)的兩理論等距曲面之間的距離最小，因此必須對(duì)測(cè)點(diǎn)集進(jìn)行剛性平移、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換，使得最大變動(dòng)量最小化。設(shè)實(shí)測(cè)曲面上的測(cè)點(diǎn)為pi(xi,yi,zi),i=1,2,…,n，其中n為測(cè)量點(diǎn)數(shù)量，其坐標(biāo)變換矩陣為：

T=Trans(δx,δy,δz)Rot(x,α)Rot(y,β)Rot(z,γ)

(1)

式中，平移變換矩陣為：

(2)

旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

(3)

(4)

(5)

其中，δx,δy,δz為實(shí)際加工曲面沿理論曲面坐標(biāo)系x,y,z軸的平移量，α,β,γ為實(shí)測(cè)曲面繞理論曲面坐標(biāo)系x,y,z軸的旋轉(zhuǎn)量。

測(cè)量點(diǎn)經(jīng)過坐標(biāo)變換后的新坐標(biāo)為：

(6)

則最小區(qū)域法評(píng)定復(fù)雜曲面輪廓度誤差的數(shù)學(xué)模型為：

f=min{max[2di(δx,δy,δz,α,β,γ)],i=1,2,3,…,n}

(7)

其中，di(δx,δy,δz,α,β,γ)為測(cè)點(diǎn)到理論設(shè)計(jì)曲面的距離，由模型可以看出，輪廓度誤差的評(píng)定過程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)多元非線性尋優(yōu)過程，要求尋找一組最優(yōu)的變換參數(shù)，使所有測(cè)點(diǎn)到曲面的最大距離最小。

2 基于天牛須搜索的粒子群優(yōu)化算法

2.1 BAS算法(天牛須)

天牛須搜索算法是2017年提出的一種高效的智能優(yōu)化算法[8]，當(dāng)甲蟲捕食或?qū)ふ耀C物時(shí)，它會(huì)用兩只觸角隨機(jī)地探索附近的區(qū)域，當(dāng)位于一側(cè)的觸角探測(cè)到高濃度的氣味時(shí)，甲蟲就會(huì)轉(zhuǎn)向同一側(cè)，否則，它就會(huì)轉(zhuǎn)向另一側(cè)。雙觸角甲蟲的搜索行為可以與待優(yōu)化的目標(biāo)函相關(guān)聯(lián)，從而形成新的優(yōu)化算法。和遺傳算法、粒子群算法等智能算法類似，相比較傳統(tǒng)的微分類優(yōu)化算法，天牛須算法同樣可以在缺乏具體的函數(shù)表達(dá)式和最快下降方向等信息基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)高效尋優(yōu)與求解。具體的算法流程如下：

(1)假設(shè)天牛可以隨機(jī)向任何方向前進(jìn)，隨機(jī)生成方向向量，標(biāo)準(zhǔn)化：

(8)

其中，n為待優(yōu)化參數(shù)的維度。

(2)計(jì)算天牛左右須的坐標(biāo)也即左右觸角的位置：

xtr=xt+dtb
xtl=xt-dtb

(9)

其中，xt為t時(shí)刻天牛的位置，dt是t時(shí)刻天牛質(zhì)心到觸須的距離，xtl為第t次迭代時(shí)的左側(cè)觸須坐標(biāo),xtr為第t次迭代時(shí)的右側(cè)觸須坐標(biāo)。

(3)根據(jù)左右兩須對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，決定天牛下一時(shí)刻移動(dòng)位置：

xt+1=xt+δtbsign(f(xtr)-f(xtl))

(10)

δt為t時(shí)刻的步長，f為待優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，sign代表符號(hào)功能。

(4)步長與搜索距離更新：

dt=ηddt-1+d0
δt=ηδδt-1

(11)

ηd和ηδ分別為搜索距離和步長的更新衰減系數(shù)，d0表示兩觸角之間的初始距離。

2.2 基于天牛須搜索的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法

粒子群算法雖然在收斂速度上具有優(yōu)勢(shì)，但側(cè)重于種群和粒子本身的歷史經(jīng)驗(yàn)對(duì)每一個(gè)粒子的影響，而忽略了在搜索過程中粒子自身對(duì)空間環(huán)境的判斷，也無法對(duì)粒子的速度進(jìn)行動(dòng)態(tài)的調(diào)節(jié)，容易陷入局部最優(yōu)。針對(duì)上述問題，可以選擇引入天牛須的思想提高粒子的自主尋優(yōu)和全局搜索能力[9-10]。

相較于標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法，基于天牛須搜索的改進(jìn)粒子群算法中的每個(gè)粒子就相當(dāng)于BAS中的一只天牛，雖然其初始位置和速度不變，但在每次的迭代過程中，天牛位置的更新規(guī)則不再只由歷史最優(yōu)值和當(dāng)前全局最優(yōu)值所決定，而是引入天牛須搜索的思想，添加了天牛自身對(duì)周圍環(huán)境的判斷。

(1)位置更新時(shí)，按照PSO和BAS的方式各自更新后加權(quán)得到新的位置。也就是，利用了BAS的觸須方向和步長，同時(shí)也利用了粒子的速度：

(12)

(13)

曲面輪廓度評(píng)定的具體過程如下：

(1)初始化參數(shù)，設(shè)置種群規(guī)模為N，最大迭代次數(shù)n，參數(shù)維度m，位置更新權(quán)重λ，初始步長d0，觸須之間長度初始值d1。

(2)隨機(jī)初始化天牛的位置x和速度v，確定適應(yīng)度函數(shù)，獲得天牛群體的個(gè)體最優(yōu)值和全局最優(yōu)值。

(3)根據(jù)式(12)和式(13)計(jì)算天牛的下一步位置與速度。

(4)更新天牛搜索步長和兩觸須之間的長度，并計(jì)算更新后的天牛群的個(gè)體最優(yōu)值和全局最優(yōu)值。

(5)判斷是否滿足迭代終止條件，若滿足，則返回當(dāng)前全局最優(yōu)值，否則返回步驟(3)繼續(xù)搜索，直至達(dá)到最大迭代次數(shù)。

3 仿真分析

為了測(cè)試改進(jìn)后的粒子群算法對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)粒子群在評(píng)定曲面輪廓度上是否有更高的準(zhǔn)確性，選用自由曲面一進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，該STL模型由242個(gè)三角面片和165個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成。在曲面上均勻選取400個(gè)理論測(cè)點(diǎn)，考慮到存在的系統(tǒng)誤差，將理論測(cè)點(diǎn)沿x,y,z軸平移0.1 mm、0.3 mm、-0.6 mm，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)-0.05 rad、-0.04 rad、0.07 rad，并添加服從正態(tài)分布N(0,0.04)的隨機(jī)性矩陣作為加工誤差，得到模擬實(shí)測(cè)點(diǎn)集。即：

(14)

其中，

設(shè)計(jì)曲面和仿真測(cè)點(diǎn)分布如圖3a所示，圖3b為改進(jìn)后的粒子群算法完成模型求解后重新定位的測(cè)點(diǎn)分布，6個(gè)最優(yōu)變換參數(shù)結(jié)果如表1所示。

(a) 定位前的測(cè)點(diǎn)分布

(b) 定位后的測(cè)點(diǎn)分布圖3 自由曲面一仿真測(cè)點(diǎn)定位前后分布圖

表1 自由曲面一定位的6個(gè)參數(shù)

選用自由曲面二進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，該STL模型由1776個(gè)三角面片，954個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成。在曲面上隨機(jī)選取400個(gè)理論點(diǎn)，添加系統(tǒng)誤差e=[0.1,0.2,-0.1,-0.01,-0.02,0.02]，同樣添加服從正態(tài)分布N(0,0.04)的隨機(jī)性矩陣作為加工誤差，得到模擬實(shí)測(cè)點(diǎn)集合。設(shè)計(jì)曲面和仿真測(cè)點(diǎn)分布如圖4所示，圖4b為改進(jìn)后的粒子群算法完成模型求解后重新定位的測(cè)點(diǎn)分布，6個(gè)最優(yōu)變換參數(shù)結(jié)果如表2所示。

(a) 定位前的測(cè)點(diǎn)分布

(b) 定位后的測(cè)點(diǎn)分布圖4 自由曲面二仿真測(cè)點(diǎn)定位前后分布圖

表2 自由曲面二定位的6個(gè)參數(shù)

根據(jù)測(cè)點(diǎn)到曲面的距離模型計(jì)算輪廓度誤差，對(duì)于自由曲面一，改進(jìn)后的粒子群算法和粒子群算法求得的輪廓度誤差分別為1.130 8 mm和 1.136 7 mm。如果是均勻提取100個(gè)點(diǎn)作為理論測(cè)點(diǎn)，則計(jì)算的輪廓度誤差分別是0.951 4 mm和1.036 1 mm。對(duì)于自由曲面二，改進(jìn)后的粒子群算法和粒子群算法求得的輪廓度誤差分別為1.226 1 mm和 1.262 0 mm。由以上兩個(gè)實(shí)驗(yàn)可知基于天牛須搜索的改進(jìn)粒子群評(píng)定的曲面輪廓度結(jié)果更加精確。

4 結(jié)束語

為了提高曲面輪廓度評(píng)定結(jié)果的準(zhǔn)確性，建立了輪廓度誤差評(píng)定的數(shù)學(xué)模型，并采用引入天牛搜索思想的改進(jìn)粒子群算法進(jìn)行求解。將測(cè)點(diǎn)到自由曲面的距離轉(zhuǎn)化成測(cè)點(diǎn)到STL模型的距離，并對(duì)于存在狹長三角面片的情況作了補(bǔ)充處理，同時(shí)也簡化了測(cè)點(diǎn)投影點(diǎn)與三角面片關(guān)系的判斷條件。通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與對(duì)比，采用基于天牛須搜索的粒子群算法相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)粒子群可以有效提高曲面輪廓度誤差的評(píng)定精度。

DOI：10.5430/ijrc.V1n1p1.