裴秀艷，李波，

1.運城職業(yè)技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)部，山西 運城 044000；2.建設(shè)銀行運城鹽湖支行，山西 運城 044000

0 引言

眾所周知，客戶在銀行排隊等候接受服務(wù)是一類常見的排隊現(xiàn)象.作為客戶來說，毫無疑問是想在盡可能短的時間享受最快捷、最完善的服務(wù).而作為銀行服務(wù)來說要想縮短客戶的排隊等候時間，需要增加服務(wù)窗口，但這勢必會造成銀行運營成本的增加.如何尋求客戶需求與銀行服務(wù)滿意度二者之間的平衡，就需要優(yōu)化銀行服務(wù)窗口的設(shè)置，使得合適的窗口數(shù)極大限度地滿足客戶的需求，提高客戶對銀行服務(wù)的滿意度，提升銀行的服務(wù)效率，從而增加銀行的市場競爭力.

1 排隊系統(tǒng)簡介

排隊模型在日常生活生產(chǎn)中有頗為廣泛的應(yīng)用，如：顧客在超市排隊等候結(jié)賬；乘客在車站排隊購票；十字路口排隊等待信號燈的車輛；等待打印輸出的文件；撥打電話信號占線等排隊現(xiàn)象.上述排隊有的是看得見的有形排隊，有的是看不見的無形排隊[1].日常生活中的排隊現(xiàn)象通過建立數(shù)學(xué)模型，都可以轉(zhuǎn)化為排隊論的問題進(jìn)行研究，尋求最佳的優(yōu)化解決方案.

研究隨機服務(wù)系統(tǒng)工作過程的數(shù)學(xué)理論和方法稱為排隊論，又稱隨機服務(wù)系統(tǒng)，它是運籌學(xué)的一個重要分支.一般來說，排隊系統(tǒng)[2]由3個基本部分組成：

(1)到達(dá)規(guī)則：描述顧客到達(dá)系統(tǒng)的規(guī)律，是單個到達(dá)還是批量到達(dá)，到達(dá)時間間隔服從的時間分布.

(2)排隊規(guī)則:a.等待制：顧客到達(dá)系統(tǒng)時，若所有服務(wù)臺均繁忙，顧客需要排隊等待接受服務(wù)，即認(rèn)定為等待制.等待接受服務(wù)的順序可以是誰先到達(dá)誰先服務(wù)，也可是后到先服務(wù)，或者是帶有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)(例如：醫(yī)院對危重癥患者優(yōu)先治療)；b.損失制：顧客到達(dá)系統(tǒng)后，若所有服務(wù)臺均繁忙，則隨即離開系統(tǒng)；c.混合制：及上述兩種情況的綜合，如：可容納的等待空間有限，多余的顧客必須離開系統(tǒng)即損失制，其余的為等待制.

(3)服務(wù)規(guī)則:可以是單一服務(wù)臺，也可是多服務(wù)臺.多服務(wù)臺有并聯(lián)和串連兩種排列方式.接受服務(wù)的時間可服從隨機分布或者是確定時間分布(例如：自動洗車裝置的洗車時間).

排隊系統(tǒng)按照3個基本組成部分可以進(jìn)行分類，通常用符號X/Y/Z來表示(圖1所示).X表示到達(dá)時間間隔服從的分布；Y表示服務(wù)時間服從的分布；Z表示服務(wù)臺個數(shù)，其中，用M表示到達(dá)時間間隔或者是服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布.

圖1 排隊論的基本結(jié)構(gòu)Fig.1 Basic structure of queuing theory

2 銀行排隊模型的建立

在銀行排隊系統(tǒng)中，服務(wù)臺為銀行窗口柜臺，服務(wù)員為銀行柜員，等待接受服務(wù)的客戶稱為顧客，三者組成一個隨機服務(wù)系統(tǒng)，即銀行排隊模型.

2.1 銀行排隊系統(tǒng)的M/M/C排隊模型

假設(shè)銀行排隊系統(tǒng)中設(shè)有C個服務(wù)窗口，所以其服務(wù)臺為C個并聯(lián)的服務(wù)臺，顧客的到達(dá)時間間隔和服務(wù)時間均服從負(fù)指數(shù)分布，因此，可以將銀行服務(wù)系統(tǒng)構(gòu)建為M/M/C排隊模型[3]，現(xiàn)將該模型具體描述如下：

(1)到達(dá)規(guī)則：顧客的到達(dá)時間間隔T服從泊松分布，即顧客的到達(dá)時間間隔服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，其分布函數(shù)為：FT(t)=1-e-λt(t≥0)，相繼兩位顧客的平均間隔時間為E(t)=1/λ，且顧客的到達(dá)是相互獨立的.

(2)排隊規(guī)則：顧客到達(dá)系統(tǒng)后，可選擇任一服務(wù)臺接受服務(wù)，若服務(wù)臺空閑，則可立即接受服務(wù)；若服務(wù)臺繁忙，則需排隊等待被服務(wù)，服務(wù)規(guī)則為先到先服務(wù).(3)服務(wù)規(guī)則：設(shè)銀行柜員的平均服務(wù)率服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布，服務(wù)時間V即對一顧客的服務(wù)時間，則服務(wù)時間V當(dāng)顧客到達(dá)數(shù)n≥c時服從參數(shù)為cμ的指數(shù)分布，其分布函數(shù)為：Fv(t)=1-e-μt(t≥0)，顧客的平均服務(wù)時間為E(V)=1/cμ.

2.2 系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖及穩(wěn)態(tài)方程組

在1個服務(wù)臺的情況下，系統(tǒng)的服務(wù)強度為ρ=λ/μ，而銀行排隊系統(tǒng)是多服務(wù)臺并聯(lián)的情況，因此ρ=λ/cμ.當(dāng)ρ>1時，即到達(dá)率大于服務(wù)率，則系統(tǒng)會出現(xiàn)無限排隊的情況下，所以只有當(dāng)時，系統(tǒng)才會達(dá)到穩(wěn)態(tài)，分析可得穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖[4]如圖2所示：

圖2 M/M/C系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.2 State transition diagram of M/M/C system

由系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，分析可得穩(wěn)態(tài)下的狀態(tài)概率方程[5]

利用遞推法對上述概率方程進(jìn)行求解，可得穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)n個顧客數(shù)的概率：

(1)

2.3 系統(tǒng)的主要排隊指標(biāo)

要研究銀行的優(yōu)化窗口數(shù)，必須對系統(tǒng)的排隊隊長，顧客的等待時間等排隊指標(biāo)進(jìn)行分析.然后利用排隊論的相關(guān)理論進(jìn)行分析，得到模型的優(yōu)化解.

(2)

(2)系統(tǒng)的平均隊長

(3)

(3)顧客的等待時間：等待時間是指顧客從進(jìn)入系統(tǒng)到服務(wù)完離開系統(tǒng)共用去的時間，由Little公式可得

(4)

(4)顧客的逗留時間

(5)

3 銀行排隊系統(tǒng)的優(yōu)化

在該銀行排隊M/M/C模型中，顧客的到達(dá)和服務(wù)時間均是隨機的，但服務(wù)臺的c個數(shù)是可以設(shè)定的.顧客總是希望銀行能增加越多的服務(wù)窗口來減少他們的排隊等待時間，盡管增加服務(wù)窗口能提高銀行的服務(wù)效率，卻使銀行的成本費用大幅度增加.因此，在優(yōu)化銀行排隊問題時，應(yīng)兼顧客戶和銀行雙向需求，以費用作為目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行分析.

3.1 建立銀行服務(wù)窗口優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)

假設(shè)銀行排隊最優(yōu)的服務(wù)窗口數(shù)為c0，建立費用函數(shù)Z=x0c+y0L(c)，以費用函數(shù)Z最小為目標(biāo)函數(shù)，即銀行的服務(wù)成本和客戶的等待成本總和最小.其中，x0：單位時間每個服務(wù)臺的平均成本；y0：單位時間內(nèi)每個顧客等待所消耗的費用；c：服務(wù)窗口數(shù)；L：系統(tǒng)的平均隊長.

3.2 邊際分析最優(yōu)的排隊窗口數(shù)

要想滿足費用函數(shù)最小，利用邊際分析法[6]有

Z(c0-1)≤Z(c0)≤Z(c0+1)

將費用函數(shù)Z=x0c+y0L(c)代入，整理后得

(6)

4 實際數(shù)據(jù)分析

4.1 數(shù)據(jù)的采集與處理

以運城市建設(shè)銀行鹽湖支行為研究對象，通過對該行連續(xù)三周的客流量的觀察分析，發(fā)現(xiàn)該行一般在早上9:00～10:00和下午15:00～16:00客流量較大，分別選取客流量較大和客流量一般的兩個時間段進(jìn)行分析，故選取9:00～11:00這個時間段進(jìn)行觀察分析，每間隔10分鐘調(diào)查單位時間內(nèi)到達(dá)的客戶數(shù)，得到的樣本數(shù)據(jù)見表1；同時，統(tǒng)計每位顧客的服務(wù)時間，即顧客從開始接受服務(wù)到服務(wù)完成離去的時間間隔，得到的樣本數(shù)據(jù)見表2.

表1 各時間段到達(dá)的顧客數(shù)Tab.1 Number of customers who arrive at each time

表2 顧客的服務(wù)時間統(tǒng)計Tab.2 Customer service time statistics

4.2 單位時間到達(dá)的顧客數(shù)服從分布的檢驗

從表1的數(shù)據(jù)可得，單位時間顧客的平均到達(dá)率：λ=5.583(人/10 min)=0.558 3(人/min).下面利用χ2擬合檢驗單位時間內(nèi)顧客的到達(dá)數(shù)是否服從Possion分布[7]，數(shù)據(jù)結(jié)果見表3.

表3 χ2擬合檢驗顧客到達(dá)是否服從Possion分布Tab.3 χ2 fitting test whether customer arrival follows Possion distribution

4.3 顧客服務(wù)時間服從分布的檢驗

表4 擬合檢驗服務(wù)時間是否服從負(fù)指數(shù)分布 Tab.4 Fitting test whether service time is subject to negative exponential distribution

4.4 各項排隊指標(biāo)計算值

由公式(1)～公式(5),代入?yún)?shù)λ=0.558 3，μ=0.306 6，當(dāng)服務(wù)臺個數(shù)c取不同的值時，分別求出對應(yīng)的排隊指標(biāo)值.

上述計算結(jié)果表明,當(dāng)銀行設(shè)置2個業(yè)務(wù)窗口時，排隊等候的平均人數(shù)是9人，等候時間為15分鐘，可見排隊現(xiàn)象較嚴(yán)重，會增加客戶的不耐煩度.

按照如上的計算方式，設(shè)置業(yè)務(wù)窗口為c=3，c=4,c=5，計算各排隊指標(biāo)，將計算結(jié)果列入表5.

表5 各排隊指標(biāo)計算值Tab.5 Calculated value of each queuing index

從表5可以看出，當(dāng)業(yè)務(wù)窗口數(shù)從2個增加到3個后，減少的排隊人數(shù)為8.839-0.562=8.277，很好地緩解了客戶的排隊現(xiàn)象；而當(dāng)窗口數(shù)繼續(xù)增加時，雖然也緩解了排隊人數(shù)，但成效不明顯.

4.5 銀行服務(wù)窗口優(yōu)化分析

依據(jù)調(diào)查分析，假設(shè)每個窗口1分鐘的平均成本x0為1.1元，每個客戶等待1分鐘所消耗的費用為0.7元，由3.2節(jié)中建立的邊際分析最優(yōu)的排隊窗口數(shù)模型，結(jié)合表5和式(6),得到的結(jié)果見表6.

通過計算x0/y0≈1.571，發(fā)現(xiàn)該值落在區(qū)間(0.465,6.627)，此時銀行開設(shè)的窗口數(shù)為3個.同時，由表6的最后一列也可知，當(dāng)開設(shè)3個窗口時，總費用最小，即Zmin=z(3)=x0c+y0L=1.1×3+0.7×9.010=4.968 1.

表6 排隊系統(tǒng)的總費用Tab.6 Total cost of queuing system

綜上所述，在該時間段內(nèi)銀行開設(shè)c0=3個服務(wù)窗口時，既能滿足客戶的需求，也能使在此期間產(chǎn)生的運營成本和客戶的損失最小，達(dá)到銀行與客戶之間雙向利益的最佳平衡，此結(jié)論與該銀行當(dāng)前的實際情況相符.

5 結(jié)論

本文基于排隊論的相關(guān)理論知識，對銀行服務(wù)窗口的優(yōu)化設(shè)置進(jìn)行研究.通過對銀行的實地調(diào)研分析，經(jīng)過數(shù)據(jù)整理得到了銀行排隊模型中的相關(guān)參數(shù)，同時利用統(tǒng)計學(xué)中的相關(guān)知識對所求參數(shù)進(jìn)行檢驗，保證了模型求解中參數(shù)的可靠性.在設(shè)置目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化模型時，建立了銀行運營成本和客戶損失間的費用函數(shù)，并利用邊際分析法對該目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解，驗證了最優(yōu)的服務(wù)窗口數(shù)，使得銀行和客戶的雙方利益最大化.本文的求解方法具有普遍適用性，但此模型也是一種理想化的模型，實際問題中，還有很多特殊的因素需要考慮其中，因此，本文的研究結(jié)果和準(zhǔn)確數(shù)值之間會存在一定誤差，但仍具有一定的理論參考價值.