文|錢學(xué)翠

數(shù)學(xué)思維具有獨(dú)特的內(nèi)隱性與抽象性，常常以概念、公式等抽象的形式出現(xiàn)，這對(duì)于抽象思維能力較弱的小學(xué)生而言，存在一定的認(rèn)知難度，導(dǎo)致其難以進(jìn)入深度學(xué)習(xí)狀態(tài)。正是基于此，思維可視化便進(jìn)入了我們的視野。本文將重點(diǎn)圍繞思維可視化之“為何”與“何為”展開探究，促進(jìn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生。

一、思維可視化之“為何”

在弄清思維可視化到底“為何”之前，我們有必要先弄清其內(nèi)涵。顧名思義，思維可視化就是通過(guò)直觀形象的手段，將抽象的、不易直接發(fā)現(xiàn)的思維展示在人們眼前。就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，可視化就是將那些隱藏的思維過(guò)程，通過(guò)可見(jiàn)的圖示或?qū)嵨锏刃问秸宫F(xiàn)出來(lái)的過(guò)程。那數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵又是什么呢？南京師范大學(xué)教授吳永軍指出：“深度學(xué)習(xí)是一種整體的學(xué)習(xí)狀態(tài)，是學(xué)習(xí)者全身心投入的過(guò)程，既是一個(gè)大腦內(nèi)部信息加工的過(guò)程，也是一個(gè)充滿情感、意志、精神、興趣的全面參與的過(guò)程?！笨梢?jiàn)，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)也必然是學(xué)生積極投入，并沉浸于對(duì)知識(shí)的理解與運(yùn)用遷移的過(guò)程之中的學(xué)習(xí)方式。這兩者雖然看似兩個(gè)概念，但如果我們從心理、智力、效能這三個(gè)維度進(jìn)行對(duì)比分析，就不難發(fā)現(xiàn)其存在的關(guān)聯(lián)性。（見(jiàn)表1）

表1

效能維度更有利于學(xué)生在理解知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行知識(shí)體系的建構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移效能。學(xué)習(xí)者浸潤(rùn)于深度學(xué)習(xí)環(huán)境之中，深入探究，能高效地獲取有意義的知識(shí)與能力，并遷移運(yùn)用。

由表1 可見(jiàn)，“深度學(xué)習(xí)，是師生共同經(jīng)歷的一場(chǎng)智慧之旅?！边@一點(diǎn)正好與可視化學(xué)習(xí)的內(nèi)涵不謀而合，兩者具有內(nèi)在的共通性，這為我們進(jìn)一步探究思維可視化在深度學(xué)習(xí)中的作用提供了可能。下面我們?nèi)詮纳鲜鋈齻€(gè)維度出發(fā)，來(lái)理解思維可視化之“為何”，即思維可視化對(duì)深度學(xué)習(xí)所起的具體作用。

1.激“趣”。

從心理維度看，數(shù)學(xué)思維的可視化意味著教師在教學(xué)過(guò)程中，需要將原本深?yuàn)W的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化成可視的內(nèi)容，讓學(xué)生在妙趣橫生的情境中進(jìn)行學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。有了強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)后，學(xué)生在學(xué)習(xí)中會(huì)全身心投入到對(duì)知識(shí)的探求之中，既獲得了極為豐富的情感體驗(yàn)，也學(xué)到了知識(shí)。如在教學(xué)三角形的“高”這一概念時(shí)，教者精心創(chuàng)設(shè)了小老鼠拖三角形餅干進(jìn)洞的情境。學(xué)生通過(guò)不斷地轉(zhuǎn)換餅干的位置，直至幫助小老鼠把餅干拖進(jìn)洞里的操作，理解了三角形“高”的含義以及底和高的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣可視化的手段一下子調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，當(dāng)學(xué)生浸潤(rùn)于這樣充滿趣味的課堂中，深度學(xué)習(xí)的狀態(tài)就會(huì)有明顯改善。

2.促“解”。

從智力維度來(lái)看，“趣”是一種外在形式，而“理解”則是“智力層面的建構(gòu)，是人腦為了弄懂許多不同的知識(shí)片段而進(jìn)行的抽象活動(dòng)”。認(rèn)知心理學(xué)中的“雙重編碼”理論認(rèn)為：人的大腦存在兩個(gè)相互獨(dú)立，但又彼此關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)，其中一個(gè)是淺層次的表象系統(tǒng)，另一個(gè)則是相對(duì)復(fù)雜的理解系統(tǒng)，表象系統(tǒng)促進(jìn)了理解系統(tǒng)的建構(gòu)。就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，這里的表象實(shí)際上就是一些具體可視的學(xué)習(xí)方法，這些可視化的學(xué)習(xí)方法，能將學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，通過(guò)結(jié)構(gòu)化、模塊化的可視圖表呈現(xiàn)出來(lái)，促進(jìn)理解。比如在復(fù)習(xí)“圖形的計(jì)算”時(shí)，學(xué)生利用思維導(dǎo)圖，將所學(xué)過(guò)的所有圖形進(jìn)行整理，形成一張完整的知識(shí)體系圖，學(xué)生通過(guò)這張圖，對(duì)“圖形的計(jì)算”進(jìn)一步加深了理解。（見(jiàn)圖1）

圖1

3.致“用”。

從效能維度來(lái)看，思維可視化還可以幫助學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的遷移，從而學(xué)以致“用”。這是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中關(guān)鍵能力的體現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正目標(biāo)。此處的“用”是基于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解基礎(chǔ)之上的“遷移”，將所學(xué)的知識(shí)與能力運(yùn)用到新的數(shù)學(xué)情境之中，去解決那些困惑的、具有挑戰(zhàn)性的復(fù)雜情境中的問(wèn)題，這是布盧姆所提出的關(guān)于“應(yīng)用”的核心內(nèi)涵。以圓柱內(nèi)容為例，在知識(shí)遷移運(yùn)用階段，針對(duì)“為什么有這么多東西要做成圓柱體”這一問(wèn)題，采用分解圖的方式，學(xué)生就能水到渠成，形成能力的遷移。（見(jiàn)圖2）

圖2

二、思維可視化之“何為”

當(dāng)我們對(duì)思維可視化之“為何”有了一個(gè)清晰的認(rèn)知后，就可以更好地探討思維可視化到底“何為”，即“如何來(lái)做”這一問(wèn)題。因?yàn)橹挥姓莆樟恕叭绾蝸?lái)做”的技術(shù)手段，才能為數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)注入活力。下面就通過(guò)學(xué)生看得見(jiàn)、摸得著的身邊的事例，以及畫草圖、建導(dǎo)圖、列表格等方法，來(lái)進(jìn)一步進(jìn)行探討。

1.動(dòng)手做：讓數(shù)學(xué)概念更真切。

思維可視化的重點(diǎn)是在于“傳遞”，通過(guò)圖像的方式將教師掌握的思維方式傳達(dá)給學(xué)生，讓學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)。在“傳遞”的過(guò)程中，如何讓學(xué)生接受相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)就十分重要。根據(jù)心理學(xué)原理，當(dāng)新學(xué)習(xí)的知識(shí)與已有知識(shí)存在關(guān)聯(lián)時(shí)，記憶效果會(huì)更佳。可見(jiàn)，教師運(yùn)用思維可視化進(jìn)行教學(xué)，應(yīng)以學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)為元素，采取動(dòng)手做的形式，展示思維過(guò)程，這樣才能達(dá)到與生活對(duì)接的效果，讓數(shù)學(xué)概念更真切。

例如在教學(xué)“有余數(shù)的除法”這一課時(shí)，學(xué)生在之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了沒(méi)有余數(shù)的除法計(jì)算，但是在實(shí)際生活中，有余數(shù)的除法更為常見(jiàn)。為此，教師可以為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境，將學(xué)生在生活中遇到的問(wèn)題原型，在課堂當(dāng)中展示出來(lái)。比如有10 個(gè)面包，平均分給5 個(gè)人，每個(gè)人能分到幾個(gè)？如果平均分給4 個(gè)人，每個(gè)人又能分到幾個(gè)？學(xué)生通過(guò)思考，自己擺一擺，當(dāng)平均分給5 個(gè)人時(shí)，每人分2個(gè)，這是之前學(xué)習(xí)過(guò)的沒(méi)有余數(shù)的除法；當(dāng)平均分給4 個(gè)人時(shí)，每個(gè)人也是2 個(gè)，但是多出了2 個(gè)。

圖3

教師通過(guò)這一可視化教學(xué)方式，將數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)接，同時(shí)引出學(xué)生沒(méi)有學(xué)到的知識(shí)，即對(duì)于多的2 個(gè)應(yīng)該怎樣表示。此時(shí)教師引入“余數(shù)”的概念來(lái)表示，那么這個(gè)“2”應(yīng)該如何寫在算式當(dāng)中？對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)高于學(xué)生生活情境的內(nèi)容，需要?jiǎng)幽X筋進(jìn)行思考，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入深度學(xué)習(xí)。

2.畫“草圖”：讓解題思路更簡(jiǎn)便。

思維可視化，還有一種簡(jiǎn)單的方式就是畫草圖。草圖，是一種簡(jiǎn)潔而又直觀反映數(shù)學(xué)思維的方法，它可以將原本相對(duì)復(fù)雜的思維過(guò)程，簡(jiǎn)單地表達(dá)出來(lái)，進(jìn)而幫助學(xué)生梳理出解決問(wèn)題的思維過(guò)程，破解學(xué)生思維難點(diǎn)，讓解題思路更簡(jiǎn)便。

例如有一道練習(xí)題：修路隊(duì)原計(jì)劃每天修路3 千米，5 天修完，實(shí)際上4 天就完成了任務(wù)，那么平均每天比原計(jì)劃多修了多少千米？我們平時(shí)在遇到這類題目時(shí)，通常采用這樣的解題思路：首先算出這條路的總工作量，然后再根據(jù)“工作效率=工作總量÷工作時(shí)間”這一關(guān)系來(lái)計(jì)算出實(shí)際每天的工作量，最后再用“實(shí)際每天的工作量-原計(jì)劃每天工作量”得出結(jié)果，這種常規(guī)的思路是正確的，但是這樣列式解答相對(duì)比較復(fù)雜，我們不妨引導(dǎo)學(xué)生采用畫草圖的方式來(lái)試一試。（見(jiàn)圖4）

圖4

3.建“導(dǎo)圖”：讓知識(shí)體系更完整。

數(shù)學(xué)知識(shí)一環(huán)套一環(huán)，它們形成了一個(gè)完整的知識(shí)體系，學(xué)生不斷從已有經(jīng)驗(yàn)走向新知。由此可見(jiàn)，教師應(yīng)該有“瞻前顧后”的知識(shí)體系觀，啟發(fā)學(xué)生看到知識(shí)與知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過(guò)建立思維導(dǎo)圖，建構(gòu)具有個(gè)性化特色的“數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖”。這種思維可視化的學(xué)習(xí)方法，無(wú)形之中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)梳理知識(shí)，形成數(shù)學(xué)知識(shí)的思維網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)圖，讓知識(shí)體系更完整。

如在教學(xué)“表內(nèi)除法”時(shí)，由于學(xué)生腦海中對(duì)除法的相關(guān)知識(shí)是散亂的，對(duì)除法的定義、名稱以及計(jì)算方法都不太清楚。此時(shí)，教師不必急著講授新知，而應(yīng)遵循數(shù)學(xué)知識(shí)體系，從舊知入手，引導(dǎo)學(xué)生自建思維導(dǎo)圖。學(xué)生通過(guò)回憶，將這些知識(shí)在思維導(dǎo)圖中一一列出，即使內(nèi)容不全，也可以相互提醒，互相協(xié)作，共同建構(gòu)完整的知識(shí)體系導(dǎo)圖。（見(jiàn)圖5）

圖5

針對(duì)那些還存在疑惑或?qū)W習(xí)困難的學(xué)生，教師則要從點(diǎn)到線，從線到面，一步步擴(kuò)散知識(shí)，將與除法有關(guān)內(nèi)容作一個(gè)大盤點(diǎn)。這樣一個(gè)建構(gòu)思維導(dǎo)圖的過(guò)程，實(shí)際上是從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”入手，將他們不斷向完整的知識(shí)體系方向引領(lǐng)。整個(gè)過(guò)程，學(xué)生探索熱情高漲，思維活躍，最終高效地完成了思維導(dǎo)圖，為數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)注入了活力。

4.列表格：讓數(shù)學(xué)思維更嚴(yán)謹(jǐn)。

表格是一種能夠?qū)⒅R(shí)進(jìn)行橫向、縱向?qū)Ρ鹊目梢暬瘜W(xué)習(xí)形式，也是學(xué)生參與數(shù)學(xué)思維可視化訓(xùn)練頗具難度的一個(gè)項(xiàng)目。在列舉表格的過(guò)程中，學(xué)生需要從知識(shí)的前后關(guān)聯(lián)，或者知識(shí)的發(fā)展軌跡來(lái)進(jìn)行填寫，這樣的訓(xùn)練過(guò)程，會(huì)讓學(xué)生的思維更加嚴(yán)謹(jǐn)。

比如數(shù)學(xué)的單位換算，不能僅限于對(duì)數(shù)學(xué)單位的認(rèn)識(shí)，還應(yīng)該學(xué)會(huì)進(jìn)行單位換算，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，也是構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的一個(gè)橋梁。隨著年級(jí)遞增，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容不斷增加，要記住的數(shù)學(xué)公式也在增加。但是總有些學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)中的單位換算掌握不牢，特別是有關(guān)長(zhǎng)度和面積的計(jì)算，他們總是在解決問(wèn)題的時(shí)候犯錯(cuò)誤，對(duì)于單位的換算也頻頻出錯(cuò)。幫學(xué)生理清知識(shí)體系，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式，我們可以將小學(xué)所學(xué)的單位換算整理成單位換算表（表略）。

學(xué)生在整理的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)度單位在換算時(shí)，除了千米和米的進(jìn)率是1000，其余相鄰的兩個(gè)長(zhǎng)度單位之間的進(jìn)率都是10；在面積單位中還可以引入“公畝”這一單位，計(jì)算面積時(shí)都是用兩個(gè)數(shù)量相乘，所以相鄰的兩個(gè)面積單位之間的進(jìn)率就是10×10=100；同理，相鄰的兩個(gè)體（容）積單位之間的進(jìn)率就是10×10×10=1000，這一系列做法，增強(qiáng)了知識(shí)結(jié)構(gòu)的完整性，讓數(shù)學(xué)思維更嚴(yán)謹(jǐn)。

綜上所述，思維可視化之“為何”，突出其存在的價(jià)值，“何為”則呈現(xiàn)了其在深度學(xué)習(xí)中的具體操作樣態(tài)。本文雖僅從思維可視化之“為何”與“何為”這兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行探討，未免有失偏頗，但仍可以喚起大家對(duì)思維可視化教學(xué)的思考。特別是在具體教學(xué)實(shí)踐中，由于受學(xué)生的認(rèn)知差異、學(xué)習(xí)內(nèi)容的復(fù)雜程度等諸多因素影響，思維可視化的教學(xué)手段也需不斷調(diào)整，從而為學(xué)生的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)注入活力。